\begin{align} \end{align}

Násobení a dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru

Násobení

Mějme dvě nenulová komplexní čísla \(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)\). Jejich součin můžeme s využitím goniometrických vzorců spočítat takto:

\(a\cdot b=\big(|a|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})\big)\cdot\big(|b|(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})\big)=|a||b|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})=\)

\(=|a||b|\big((\color{green}{\cos\alpha} \color{blue}{\cos\beta} - \color{red}{\sin\alpha} \color{darkmagenta}{\sin\beta})+i(\color{red}{\sin\alpha} \color{blue}{\cos\beta} + \color{darkmagenta}{\sin\beta} \color{green}{\cos\alpha})\big)=|a||b|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big)\)

Součin nenulových komplexních čísel \(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)\) je komplexní číslo

\(|a||b|\big(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\big)\).

Příklad

Vypočítejte součin komplexních čísel \(a=2(\cos190°+i\sin190°)\) a \(b=3(\cos220°+i\sin220°)\).

Řešení

\(a\cdot b=2(\cos190°+i\sin190°)\cdot3(\cos220°+i\sin220°)=\)

\(=2\cdot3\cdot\big(\cos{(190°+220°)}+i\sin{(190°+220°)}\big)=6(\cos410°+i\sin410°)=\)

\(=6(\cos50°+i\sin50°)\)

Dělení

Podobným způsobem můžeme odvodit i dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{|a|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})}{|b|(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}=\dfrac{|a|(\color{green}{\cos\alpha}+i \color{red}{\sin\alpha})}{|b|(\color{blue}{\cos\beta}+i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}\cdot\dfrac{(\color{blue}{\cos\beta}-i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}{(\color{blue}{\cos\beta}-i \color{darkmagenta}{\sin\beta})}=\)

\(=\dfrac{|a|\big((\color{green}{\cos\alpha} \color{blue}{\cos\beta}+\color{red}{\sin\alpha} \color{darkmagenta}{\sin\beta})+i(\color{red}{\sin\alpha} \color{blue}{\cos\beta}-\color{green}{\cos\alpha} \color{darkmagenta}{\sin\beta})\big)}{|b|(\cos^2 \beta+\sin^2 \beta)}=\dfrac{|a|}{|b|}\)\(\big(\cos(\alpha-\beta)+i\sin(\alpha-\beta)\big)\)

Podíl nenulových komplexních čísel \(a=|a|(\cos\alpha+i \sin\alpha)\) a \(b=|b|(\cos\beta+i \sin\beta)\) je komplexní číslo

\(\dfrac{|a|}{|b|}\)\(\big(\cos(\alpha-\beta)+i \sin(\alpha-\beta)\big)\).

Příklad

Vypočítejte podíl \(\dfrac{a}{b}\) komplexních čísel \(a=5(\cos20°+i\sin20°)\) a \(b=2(\cos30°+i\sin30°)\).

Řešení

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{5(\cos20°+i\sin20°)}{2(\cos30°+i\sin30°)}=\dfrac{5}{2}\big(\cos{(20°-30°)}+i\sin{(20°-30°)}\big)=\)

\(=\dfrac{5}{2}\big(\cos{(-10°)}+i\sin{(-10°)}\big)=\dfrac{5}{2}(\cos350°+i\sin350°)\)

Poznámka

Goniometrický tvar komplexních čísel je výhodný pro operace násobení a dělení.

Součet a rozdíl komplexních čísel obvykle provádíme pro komplexní čísla v algebraickém tvaru či ve tvaru uspořádané dvojice.

Mocnina

Pomocí násobení můžeme zavést i \(n\)-tou mocninu nenulového komplexního čísla v goniometrickém tvaru, kde \(n \in \mathbb{N}\).

\(z^{\textstyle n}=(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))^{\textstyle n}=\)

\(=\underbrace{(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))\cdot(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))\cdot\ \ldots\ \cdot(|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha}))}_{\text{$n$}}=\)

\(=|z|^{\textstyle n}(\cos{(\underbrace{\alpha+\alpha+\ldots+\alpha)}_{\text{$n$}}}+i \sin{(\underbrace{\alpha+\alpha+\ldots+\alpha)}_{\text{$n$}}})=\)

\(=|z|^{\textstyle n}(\cos{(n\alpha)}+i \sin{(n\alpha)})\)

Mějme nenulové komplexní číslo \(z=|z|(\cos{\alpha}+i \sin{\alpha})\) a přirozené číslo \(n\in\mathbb{N}\), pak \(n\)-tá mocnina komplexního čísla \(z\) je komplexní číslo

\(z^{\textstyle n}=|z|^{\textstyle n}(\cos{(n\alpha)}+i \sin{(n\alpha)})\).

Pokud je \(z\) komplexní jednotkou (\(|z|=1\)), hovoříme o tzv. Moivreově větě.

Moivreova věta

Pro každé přirozené číslo \(n\) a každé reálné číslo \(\alpha\) platí:

\((\cos\alpha+i \sin\alpha)^{\textstyle n}=\cos{(n\alpha)}+i \sin{(n\alpha)}\).

V následujícím appletu můžete pohybovat obrazem komplexního čísla \(\color{red}{z}\) (které je komplexní jednotkou) a pomocí posuvníku měnit exponent, čímž se bude měnit i poloha obrazu komplexního čísla \(\color{blue}{z^{\textstyle n}}\).

Příklad

Vypočítejte pátou mocninu komplexního čísla \(a=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\).

Řešení

\(a^5=\left( 2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right) \right)^5=2^5\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)^5=\)

\(=32\left(\cos\dfrac{5\cdot4\pi}{3}+i\sin\dfrac{5\cdot4\pi}{3}\right)=32\left(\cos\dfrac{20\pi}{3}+i\sin\dfrac{20\pi}{3}\right)=32\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\)

Úlohy

  1. Vypočítejte v goniometrickém tvaru součin komplexních čísel \(x\) a \(y\):

    • \(x=2,\; y=5\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)

    • \(x=\cos(-110°)+i\sin(-110°),\; y=\sqrt{5}(\cos60°+i\sin60°)\)

    • \(x=2(\cos230°+i\sin230°),\; y=\sqrt{2}(\cos170°+i\sin170°)\)

    • \(x=-1+i,\; y=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{12}+i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)\)

  2. Vypočítejte v goniometrickém tvaru podíl komplexních čísel \(x\) a \(y\):

    • \(x=3\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right),\; y=9\)

    • \(x=6,\; y=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

    • \(x=\cos80°+i\sin80°,\; y=\sqrt{3}(\cos(-10°)+i\sin(-10°))\)

    • \(x=2(\cos50°+i\sin50°),\; y=\sqrt{2}(\cos170°+i\sin170°)\)

    • \(x=1+i,\; y=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

  3. Vypočítejte následující mocniny komplexních čísel:

    • \(z^6=\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^6\)

      Zobrazit řešení

    • \(z^{10}=\left(2\left(\cos\dfrac{3\pi}{8}+i\sin\dfrac{3\pi}{8}\right)\right)^{10}\)

      Zobrazit řešení

    • \(z^{5}=\left(-4+4\sqrt{3}i\right)^{5}\)

      Zobrazit řešení

    • \(z^{12}=\left((3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i)(2\sqrt{3}+2i)\right)^{12}\)

      Zobrazit řešení

  4. Vyjádřete v algebraickém tvaru komplexní číslo \(z=4\left(\cos{\dfrac{5\pi}{12}}+i\sin{\dfrac{5\pi}{12}}\right)\).