\begin{align} \end{align}

Otočení

Definice

Otočení \(R(S, \alpha)\) (neboli rotace) určené bodem \(S\) a orientovaným úhlem \(\alpha\) je zobrazení v rovině, ve kterém se zobrazí bod \(S\) na bod \(S'=S\) a každý bod \(X \neq S\) na bod \(X'\) tak, že \(|XS|=|X'S|\) a orientované úhly \(XSX'\) a \(\alpha\) mají stejnou velikost a jsou shodně orientované.

Bod \(S\) se nazývá střed otočení, orientovaný úhel \(\alpha\) se nazývá úhel otočení.

Zápisem \(R(S, \alpha): X \rightarrow X'\) budeme rozumět, že bod X' je obrazem bodu X v otočení určeném středem \(S\) a orientovaným úhlem \(\alpha\).

Následující applet ukazuje, jak se zobrazí úsečka \(AB\) v otočení určeném středem \(S\) a orientovaným úhlem \(\alpha\). Měňme polohu úsečky \(AB\) a sledujme, jak se bude měnit její obraz.

Applet 3.4.1 - Otočení

Otočení je přímá shodnost.

Otočení je jednoznačně určeno středem \(S\) a orientovaným úhlem \(\alpha\) nebo středem \(S\) a dvojicí bodů \(X\), \(X'\), kde \(X\) je vzor a \(X'\) obraz bodu \(X\), přičemž \(X \neq S\).

Poznámka

Středová souměrnost se středem \(S\) je vlastně speciálním případem otočení kolem středu \(S\) o orientovaný úhel o velikosti 180°.

Samodružné body

Z definice plyne, že samodružným bodem otočení je střed otočení \(S\).

Neexistuje otočení, které by vytvořilo i další samodružné body? Zobrazit řešení

Množinu všech samodružných bodů otočení tvoří pouze střed otočení \(S\) pro \(\alpha \neq k \cdot 360°\), nebo ji tvoří celá rovina pro \(\alpha = k \cdot 360°\), kde \(k\) je celé číslo.

Samodružné přímky

Zkusme v následujícím appletu získat samodružné přímky. Můžeme měnit jak velikost orientovaného úhlu \(\alpha\), tak polohu přímky \(p\) a středu otočení \(S\).

Applet 3.4.2 - Samodružné přímky

Pokud applet pořádně prozkoumáme, přijdeme na to, že samodružné přímky lze vytvořit pouze ve dvou speciálních případech:

  • velikost úhlu \(\alpha\) je \(180°\) a přímka \(p\) prochází středem otáčení \(S\),
  • nebo velikost úhlu \(\alpha\) je \(360°\).
První případ odpovídá zobrazení nazývané středová souměrnost, druhý případ je identita.

Množina všech samodružných přímek otočení je buď prázdná pro \(\alpha \neq k \cdot 180°\), nebo je tvořena všemi přímkami procházejícími středem otočení \(S\) pro \(\alpha = k \cdot 180°\), nebo je tvořena všemi přímkami roviny pro \(\alpha = k \cdot 360°\), kde \(k\) je celé číslo.

Příklady