Příklad 2
Jsou dány kružnice k_1 se středem O_1, k_2 se středem O_2. Sestrojte přímku t takovou, aby byla přímka t tečnou kružnice k_1 a zároveň tečnou kružnice k_2.
Rozbor
Obr. 4.1.7 - Náčrtek příkladu 2
Než začnete řešit tento příklad, pokuste se vyřešit předchozí příklad.
- Předpokládejme, že taková tečna existuje (obr. 4.1.7). Pak bude existovat bod T_1 na kružnici k_1 takový, že tečna t bude kolmá na T_1O_1 (jinak by existovalo více průsečíků přímky t a kružnice k_1 a přímka t by byla sečnou kružnice k_1). Analogicky bude existovat bod T_2 na kružnici k_2 (obr. 4.1.7).
- Průsečík přímky O_1O_2 a tečny t označme S. Pak platí, že trojúhelník ST_1O_1 je podobný trojúhelníku ST_2O_2. Trojúhelník ST_2O_2 získáme jako obraz trojúhelníka ST_1O_1 ve stejnolehlosti se středem S a koeficientem k=\frac{|O_2T_2|}{|O_1T_1|}. V této stejnolehlosti je kružnice k_2 obrazem kružnice k_1.
- Abychom mohli sestrojit tečnu t, potřebujeme sestrojit dva její body. Bod S, střed dané stejnolehlosti, umíme získat - postupujeme stejně jako v předchozím příkladě.
- Dále nám stačí určit jeden z bodů T_1, T_2. Takový bod nalezneme snadno, víme, že úhel ST_1O_1 (resp. ST_2O_2) je pravý, takže využijeme Thaletovu kružnici.
Konstrukce a zápis konstrukce
Applet 4.1.10 - Příklad 2
Poznámka
Pokud mají kružnice k_1, k_2 stejný poloměr, pak existují dvě tečny kružnic rovnoběžné s přímkou O_1O_2, které nezískáme pomocí stejnolehlosti (neexistuje průsečík tečny a přímky O_1O_2). Tyto tečny získáme tak, že vedeme kolmici k přímce O_1O_2 bodem O_1 (resp. O_2). Tečna je rovnoběžka s přímkou O_1O_2 vedená průsečíkem kolmice a kružnice k_1 (resp. k_2).
Diskuse
- Úloha má 4 řešení, pokud kružnice k_1, k_2 nejsou soustředné a nemají žádný společný bod.
- Úloha má 3 řešení, pokud kružnice k_1, k_2 nejsou soustředné, dotýkají se v jednom společném bodě a střed kružnice k_1 (resp. k_2) neleží ve vnitřní oblasti kružnice k_2 (resp. k_1).
- Úloha má 2 řešení, pokud kružnice k_1, k_2 nejsou soustředné a existují dva průsečíky kružnic k_1, k_2.
- Úloha má 1 řešení, pokud kružnice k_1, k_2 nejsou soustředné, dotýkají se v jednom společném bodě a střed kružnice k_1 (resp. k_2) leží ve vnitřní oblasti kružnice k_2 (resp. k_1).
- Úloha má nekonečně mnoho řešení, pokud jsou kružnice k_1, k_2 totožné.
- Úloha jinak nemá řešení.
Další příklady
| Příklad 1 | Příklad 2 |
