Výuka na dálku
Plno výsledků lze zkontrolovat i online:
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/
Seznam témat:
13. týden (pátek 8.1.) - Lagrangeovy multiplikátory
12. týden (pátek 18.12.) - Extrémy funkcí více proměnných
11. týden (pátek 11.12.) - Více implicitních funkcí + úvod do extrémů
funkcí více proměnných
10. týden (pátek 4.12.) - Implicitní funkce
9. týden (pátek 27.11.) - Opakování a drobnosti
8. týden (pátek 20.11.) - Řetízkové pravidlo
7. týden (pátek 13.11.) - Totální diferenciál
6. týden (pátek 6.11.) - Metrické prostory 2
5. týden (pátek 30.10.) - Parciální derivace
4. týden (pátek 23.10.) - Limity funkcí více proměnných
3. týden (pátek 16.10.) - Metrické prostory
2. týden (pátek 9.10.) - Soustavy lineárních ODR s Pravou
stranou
1. týden (pátek 2.10.) - Soustavy lineárních ODR
13. týden (pátek 8.1.) -
Lagrangeovy multiplikátory
13. Lagrangeovy
multiplikátory
13. řešení
13. Obrázky
12. týden (pátek 18.12.) - Extrémy
funkcí více proměnných
12. Extrémy
12. řešení
11. týden (pátek 11.12.) - Více implicitních funkcí + úvod do extrémů
funkcí více proměnných
11. Implicitní funkce
2 + úvod do extrémů
11. řešení
11. obrázky
10. týden (pátek 4.12.) - Implicitní funkce
Kratší verze
Snažíme se zderivovat funkci, kterou ale nemáme přímo zadanou. Víme jen, že jde o
křivku, jež řeší nějakou rovnici. Např. obligátní
y
2+ x
2-1= 0
My z této rovnice vytáhneme funkci více proměnných
F(x,y)=y
2+ x
2-1
a konkrétní bod, který leží na její nulové vrstevnici. Když splníme podmínky 1. Věty ze
cvičení, můžeme danou funkci derivovat (dokonce víckrát). Stačí dodržet vzoreček. Druhá
možnost je derivovat složenou funkci. Obě možnosti najdete v textu
doc.
Kremla
Pěknou zábavu:
10. Implicitní funkce
10. řešení
10. obrázky
Delší verze
Funkce se dají zapsat různě. Kupříkladu y=x
3 i ∛y=x vykreslí stejnou
křivku.
Zkusme další: y=√(x
2-1) nakreslí půlkružnici - což je funkce.
Rovnice
y
2+ x
2-1=0, která je jí docela podobná, pak vykreslí celou kružnici
- což ovšem funkce není.
Dnešním tématem tedy budou funkce zadané implicitně, za pomoci nějaké rovnice. Budeme
řešit otázku, kdy daná vykreslená křivka je funkcí, kterou budeme navíc chtít dále
zderivovat.
Krok 1: Vrstevnice funkce 2 proměnných
Na rovnici
y
2+ x
2-1= 0
se můžeme divat i jinak: Je to vrstevnice (ve výšce 0) pro funkci dvou proměnných
F(x,y)=y
2+ x
2-1.
Tuto funkci můžeme
vykreslit
a prozkoumat její nulovou vrstevnici - což je (obvykle) křivka.
Krok 2: Vrstevnice jako funkce (jedné proměnné)
Rádi bychom měli nejen křivku, ale přímo funkci. A kdyby to nešlo, tak bychom rádi měli
funkci alespoň lokálně - vyřízli bychom z obrázku menší okénko, ve kterém by o funkci už
šlo.
Pro naši křivku to není problém, stačí vzít horní nebo spodní půlkružnici:
y=√(x
2-1)
a y=-√(x
2-1).
Tenhle přístup ale nebude fungovat pro dva body: [-1,0] a [1,0]. Pro jakkoli malé okolí
těchto bodů funkci nevykreslíme (budeme mít vždy dva různé y pro jedno x).
Co hůř, pro trochu komplikovanější výrazy, jako třeba
(x
2+y
2-1)
3-x
2y
3=0
(
obrázek)
je obtížné y vůbec vyjádřit.
A i na takové křivce budou body, kde nepůjde o funkci(vidno z obrázku).
Jak tedy najít body, kde to bude fungovat? Naštěstí máme podmínku: derivace původní funkce 2
proměnných F podle y nesmí být nulová. Jde o třetí podmínku Věty 1:
10. Implicitní funkce
Mějme tedy nějaký hezký bod na vrstevnici.
Při splnění této podmínky (a dvou dalších ve větě) můžeme říct, že na jistém okolí
tohoto bodu naše
vrstevnice definuje funkci.
Krok 3: Derivace implicitní funkce
Máme funkci, chtěli bychom ji derivovat. Přímo to nepůjde, ale můžeme zkusit dva různé
přístupy.
Varianta 1: Prostě použijeme vzorec z Věty.
10. Implicitní funkce
Zderivujeme funkci F podle x, pak podle y, podělíme, nezapomene na znaménko "-".
Protože jsme splnili 3. podmínku, tak máme jistotu, že jsme nedělili 0. Jsme hotovi.
Prohlédněte si příklad na str. 6 - 1. přístup.
Skripta doc.
Kremla
Varianta 2: Budeme se dívat na y jako na funkci x, tedy místo y všude napíšeme y(x).
Obě strany rovnice pak zderivujeme (podle x). Nezapomeneme aplikovat pravidla pro
derivaci, speciálně pro složené funkce.
Dostaneme novou rovnici, z níž vyjádříme y'. Vyšlo to samé, jako pomocí Věty.
Prohlédněte si příklad na str. 6 - 2. přístup.
Skripta doc.
Kremla
Poznámky:
Věta má víc (celkem logických) předpokladů - abychom funkci mohli derivovat, musíme
předpokládat diferencovatelnost. Druhá podmínka říká, že se opravdu pohybujeme na
vrstevnici. Třetí podmínka zajišťuje, že nebudeme dělit nulou.
Krok 4: Další derivace
Přidáme-li jako předpoklad, že původní funkce F(x,y) je spojitě diferencovatelná dvakrát
(třikrát atd.), můžeme pak dvakrát (třikrát atd.) derivovat i naši vzniklou funkci (vrstevnici).
Postupuje se jako prve - buď najdeme vzoreček, např. na
str. 4 doc.
Kremla
nebo vzniklou funkci prostě zderivujeme podruhé - pozor, pořád je to složená funkce.
Prozkoumejte 2. příklad
str. 8 doc.
Kremla
(Příklady se obvykle ptají po derivaci funkce v konkrétním bodě, tady např. v bodě [1,1]
vyšla derivace rovna -1. Když pak hledáme druhou derivaci, je potřeba nederivovat
vzniklé číslo (tady -1), ale funkci těsně před tím, než jsme dosadili (tady
-(2x+y)/(x+2y).)
Krok 5: Funkce více proměnných
Aby to bylo zábavnější, můžeme pracovat i s funkcemi, co mají více proměnných.
Máme pak třeba F(x,y,z) a rádi bychom pracovali s její vrstevnicí - vlastně
vrstevnicovou plochou. Tu bychom rádi vyjádřili jako funkci z(x,y), tedy funkci o dvou
proměnných.
Když ji pak derivujeme, hledáme vlastně (dvě) parciální derivace. Věta funguje i pro
tyto případy, jen při derivování složené funkce používáme řetízkové pravidlo.
Hledejte příklad na
str. 11:
Máme i nějaká Khanova videa (všechna jsou s českými titulky, možná bude potřeba zapnout
rozšířený prohlížeč videa):
Derivace
implicitní funkce - úvodní video
Derivace
implicitní funkce
Derivace
v konkrétním bodě
Ze zdrojů pak zmiňme třeba doc. Tišera:
J. Tišer
No a nakonec dnešní zadání
10. Implicitní funkce
10. řešení
10. obrázky
9. týden (pátek 27.11.) - Opakování a drobnosti
Dnešní zadání
9. Opakování
9. řešení
8. týden (pátek 20.11.) - Řetízkové pravidlo
Krátká verze
Řetízkové pravidlo je vlastně derivace složené funkce pro více proměnných.
Návod dává Věta 1 ze cvičení, v konkrétní podobě je pak v Poznámce 2.
V 1. příkladě jej můžete vyzkoušet na konkrétních funkcích, v dalších příkladech pak i v
trochu obecnějších případech. Pěknou zábavu.
Dnešní zadání:
8. Řetízkové pravidlo
8. řešení
Delší verze
Řetízkové pravidlo říká, jak derivovat složené funkce více proměnných (kde jak vnitřní,
tak vnější funkce mohou mít různý počet proměnných).
Krok 1: Konkrétní funkce
Prohlédněte si Větu 1 a Poznámku 2 (která je aplikací Věty na konkrétnější příklad) a
nakonec i ilustrační obrázek.
Vlastně říká: abychom získali parciální derivaci složené funkce (třeba) podle x, tak
musíme zderivovat vnější funkci podle všech proměnný, vynásobit derivací vnitřní funkce
podle x, a nakonec to všechno sečíst.
Asi nejlépe kouknout na video nebo na příklady:
Video
na Isibalo
Z textů čerpáme:
K Hasík, P.
Kordulová, Z. Kočan
- str. 77
K Hasík, P. Kordulová, Z. Kočan - cvičení
- str. 45
J.
Kuben, Š. Mayerová, P. Račková, P. Šarmanová
- str. 79
Je čas na 1. úlohu:
8. Řetízkové pravidlo
8. řešení
Poznámka: takovéhle příklady se samozřejmě dají řešit dosazením vnitřní funkce a pak
„obyčejným“
parciálním derivováním.
Krok 2: Méně konkrétní funkce
Zajímavější úloha nastává, když vnější nebo vnitřní funkce nemají konkrétní podobu.
Koukněte například na příklad 2 nebo 7.
Pro řešení prve identifikujeme vnější funkci a její proměnné a vnitřní funkci a její
proměnné. Pak aplikujeme řetízkové pravidlo (a nenecháme se rozhodit tím, že některé
funkce nedokážeme konkrétně zderivovat).
Moc bezva příklady jsou tady:
Řetízkové
pravidlo
Je čas na všechny ostatní úlohy:
8. Řetízkové pravidlo
8. řešení
7. týden (pátek 13.11.) - Totální diferenciál
Dnešní zadání
7. Totální
diferenciál
7. řešení
6. týden (pátek 6.11.) - Metrické prostory 2
6. Metrické prostory
II
6. řešení
5. týden (pátek 30.10.) - Parciální derivace
Dnešním tématem jsou parciální derivace. Pro jednoduchost uvažujem funkci dvou
proměnných f(x,y). (Více proměnných funguje analogicky.)
Jelikož má funkce dvě proměnné, můžeme jednu z nich zafixovat a podle druhé
derivovat tak, jak jsme zvyklí. A tomu se říká parciální derivace. Když se zafixuje y
derivuje podle x, mluvíme o parciální derivaci podle x (píšeme ∂f/∂ x), pro y
pak máme
parciální derivaci podle y (píšeme ∂f/∂ y).
Pro parciální derivaci pak fungují obvyklé věty o aritmetice derivací a derivaci složené funkce.
Zajímavá pasáž nastává, jestliže funkci někde nejde mechanicky zderivovat (např.
absolutní hodnota, odmocniny...).
V takovém případě je třeba derivaci dopočítat z definice (a zjistit, zda vůbec
existuje). Následujte definici 1. Parciální definice pak je limita jedné proměnné,
počítáme, jak jsme zvyklí.
Dnešní příklady
5. Parciální derivace
5. řešení
5. obrázky
Delší verze
Mějme funkci 2 proměnných f(x,y). Naším cílem je najít její parciální derivace.
Krok 1: Geometrický význam
Grafem funkce 2 proměnných je nějaká plocha v prostoru. Zafixujme nějaký bod.
Jestliže tuto plochu protneme v daném bodě s
rovinou, která je rovnoběžná s osou z, na řezu získáme obyčejnou funkci jedné proměnné.
Takovou funkci pak můžeme samozřejmě derivovat. Jestliže byla rovina rovnoběžná s osou
x, dostaneme parciální derivaci podle x, jestliže s osou y, dostaneme parciální derivaci
podle y.
Věnuje se tomu
text doc. Kremla
Khanovo
video (aj titulky)
Krok 2: Mechanické derivování
Naším cílem je derivace, zkusíme tedy funkci mechanicky zderivovat.
Prve zafixujeme y, které budeme brát jako parametr, a derivujeme podle x. Platí věty o
aritmetice derivací, o derivaci složené funkce a celkově se k výrazu chováme jako k
funkci jedné proměnné. Výsledkem je parciální derivace podle x: ∂ f/∂ x.
Pak bereme x jako parametr a derivujeme podle proměnné y.
Dostaneme parciální derivace podle y: ∂ f/∂ y.
Nejpozději tady určíme definiční obor původní funkce a obou parciálních derivací.
Zkusíme obojí načrtnout.
(Pozn.: Derivace nemohou mít větší definiční obor než původní funkce.)
Nějaké ty návody:
Bc. práce L. Mračnové
Video isibalo
Krok 3:
Nyní je potřeba zkontrolovat definiční obor původní funkce i parciálních derivací a určit, zda jsme zderivovali všude, kde je
to možné.
Zejména kontrolujeme
- kraje definičního oboru původní funkce;
- body, kde je funkce definovaná, ale mechanické derivování ne (např. odmocniny);
- místa, kde je funkce definovaná po částech;
- funkce: absolutní hodnota, sgn , odmocniny, arcsin a arccos...
V těchto bodech budeme derivovat z definice - tedy počítat limitu. Zkontrolujte 1.
definici.
5. Parciální derivace
Pokud takové problematické (nezderivované) body najdeme,
je ještě potřeba se podívat na náčrtek definičního oboru původní funkce.
Abychom totiž mohli určit parciální derivaci podle x, tedy spočítat limitu, je potřeba k
ní mít správné okolí. Je tedy vůbec možné se k podezřelému bodu přiblížit ve směru osy
x (to jest zleva a zprava)? Když bychom udělali řez plochou, měla by funkce na řezu nějaké okolí bodu (zleva i
zprava)?
Pro derivaci podle y je to analogické. Dokážeme se k danému bodu blížit ve směru osy y
(seshora a zezdola)?
Může se stát, že počítat parciání derivaci podle x má smysl a podle y nemá, nebo naopak.
Krok 4: Dopočítání limity
V nalezených bodech spočteme parciální derivacez definice - jako limity. Zafixujeme
problematický bod a počítáme limitu. Je to limita jedné proměnné t, vše ostatní jsou
parametry, počítáme tedy jako obyčejnou limitu (nikoli jako limitu více proměnných).
Výsledná limita často vyjde závislá na konkrétním x a y, ve kterém jsme. Uděláme tedy
rozvahu o ne/existenci.
A pak už to jen dáme všechno do kupy a napíšeme závěr, ve kterých bodech derivace
existují a kolik vyšly.
Můžete se podívat na příklady ze
sbírky ze stránek prof.
Picka, příklady 11.8.15-11.8.19.
Youtube pak najde i nějaká ta videa, tady se počítá jednoduchá limita z definice (ačkoli
by šla vyřešit čistě mechanicky). Je anglicky, můžete zkusit automatický překlad:
https://www.youtube.com/watch?v=powyITyDfgI
Hurá na příklady:
5. Parciální derivace
5. řešení
5. obrázky
4. týden (pátek 23.10.) - Limity funkcí více proměnných
Ať žijí funkce více proměnných. Zatím tím budeme myslet funkce z ℝ
n do ℝ.
Obvykle ale budeme pracovat s funkcemi z ℝ
2 do ℝ, protože jejich graf se dá
nakreslit, občas s funkcemi z ℝ
3 do ℝ, protože těm dokážeme nakreslit aspoň
definiční obor.
U funkcí více proměnných je (jako obvykle) třeba nejprve určit definiční obor. Hledáme
tedy množinu v ℝ
n, na níž je funkce dobře definovaná.
V hromadných bodech definičního oboru je pak možné počítat limity.
Kratší verze
Limity funkcí vice proměnných obsahují některé záludnosti, které se snažíme potkat v
příkladech. Až na výjimky používáme věty, které jsou analogické k větám pro jednu
proměnnou, jen mívají vícero podmínek.
Výjimkou je Poznámka 6 o dvojnásobné limitě (ta
lze použít pro neexistenci limity) a Věta 8 o polárních souřadnicích (ta nám pomůže s
výpočtem limity).
Používané techniky
- existence - je-li funkce v daném bodě spojitá, dosadíme
- existence - pokud to lze, upravíme, vytkneme, usměrníme odmocniny a převedeme na
předchozí případ
- existence - použijeme nějaké odhady a pak dva policajty
- existence - použijeme větu o omezené a nulové
- existence - vypadá to na známou limitu - VOLSF
- existence - pokud se vyskytuje výraz x2+y2, můžeme zkusit
polární souřadnice (a VOLSF)
- neexistence - spočteme dvojnásobné limity, příklad 1 ze vzoru
- neexistence - spočteme limity po přímkách nebo parabolách (nebo jiných vhodných
křivkách), příklad 4 a 5 ze vzoru
- pozor, nemáme L'Hospitalovo pravidlo
Dnešní příklady
4. Limity funkcí více
proměnných
4. řešení
4. obrázky
4. pár vzorových
příkladů
Zdroje pro tuto kapitolu:
P. Volný - bezva
výklad s obrázky
Kuben,
Mayerová, Račková, Šarmanová - kapitola 1.4
Bc.
práce Z. Kadeřákba - řešené příklady přímo na limity
Hasík, Kordulová, Kočan - teorie
Hasík, Kordulová, Kočan - řešené příklady
P. Hasil, P. Zemánek - sbírka řešených příkladů
Prezentace s náčrtky a postupy v angličtině
Delší verze
Krok 0: Funkce více proměnných
Prve se seznámíme s funkcemi více proměnných.
Pro funkci dvou proměnných máme: definiční obor je podmnožina roviny, graf je objekt ve
3D (nepřesně řečeno si lze představit nějakou plochu), ještě to umíme nakreslit.
Funkce tří proměnných má definiční obor jako podmnožinu 3D prostoru (a umíme ho
nakreslit). Graf je objekt ve 4D, načrtnout už to spíš nejde.
Problém začíná už u snahy zakreslit 4D kouli nebo krychli. Např.
Krychle na wiki
Koule na wiki
Grafu funkce 3 proměnných se lze přiblížit:
řezy,
video,
barvy.
K funkcím více proměnných pak máme úvodní video:
https://isibalo.com/matematika/diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych/uvod-o-funkci-dvou-promennych
Abychom získali nějakou představu o grafu funkce 2 proměnných, tak se hledá definiční
obor, vrstevnice (jako vrstevnice v mapě) a řezy (zjišťujeme, jaká vznikne funkce, když
funkci rozřízneme jako bábovku.
Tyhle otázky řeší texty doc. Kremla
http://homel.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola_4_1.pdf - definiční obory
http://homel.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola_4_2.pdf - grafy
Videa:
https://isibalo.com/matematika/diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych/definicni-obory - definiční obory
https://isibalo.com/matematika/diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych/graf-funkce-vice-promennych - grafy
Nějaká ta anglická videa, Khan:
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-scalar-valued-functions/v/introduction-to-3d-graphs - jak rozumět grafu ve 3D
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-scalar-valued-functions/v/interpreting-graphs-with-slices - grafy ve 3D, metoda řezů
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-scalar-valued-functions/v/contour-plots - grafy ve 3D, vrstevnice
Krok 1: Kde počítat limity
Když máme definiční obor, můžeme řešit limity. Limity lze počítat pouze v hromadných
bodech definičního oboru (body, ke kterým lze dokonvergovat, typicky jsou na jeho
okraji).
Limita je pak definována jako limita v metrickém prostoru - jeden prostor je
ℝ
n, druhý je ℝ, obé s eukleidovskou metrikou. Z toho pak vychází
definice okolí, koulí a konvergence.
Pořád platí, že při hledání limity v bodě a zkoumáme (prstencové) δ-okolí tohoto bodu a
zjišťujeme, zda se zobrazí na ε-okolí limity.
Takto bychom ale mohli počítat jen limity v bodech, jejichž celé okolí (bez středu) se
vejde do definičního oboru dané funkce. Abychom mohli počítat limity i jinde (třeba na
hranici čtvercového definičního oboru), uvažuje se limita vzhledem k množině. Neboli
neuvažujeme celé δ-okolí, ale jeho průnik s definičním oborem. Hezky to vysvětluje
Video na Isibalo:
Definice
limity
Krok 2: Spojité funkce a algebraické úpravy
Jestliže je funkce spojitá v bodě, kde počítáme limitu, stačí dosadit. Spojitost je
pak potřeba odůvodnit. Funguje to analogicky jako u jedné proměnné:
- projekce (f(x,y)=x, f(x,y)=y, f(x,y,z,u,v)=u...) jsou spojité;
- funkce, jak je známe z ℝ1 jsou spojité (sin x na ℝ, ln x na
(0,∞), x2 na ℝ atd.);
- součet, rozdíl, součin a podíl (krom dělení 0) spojitých funkcí je spojitá funkce;
- složení spojitých funkcí je spojitá funkce (Věta 11.10 z přednášky).
Jestliže nám při dosazení vyjde výraz 0/0, můžeme zkusit vytknout vhodný výraz, jestli se něco
nepokrátí.
Isibalo:
spojitost a algebraické úpravy
Vyzkoušejte příklady 3a, 3b v zadání:
4. Limity funkcí více
proměnných
Krok 3: Odhady, omezená a nulová
I pro funkce více proměnných máme 2 policajty a součin funkce omezené a nulové.
(Věta 4,5 a 7 za zadání:
4. Limity funkcí více
proměnných
.)
Užitečné nerovnosti jsou
- |2xy|≤ x2+y2
-
AG nerovnost
- Bernoulli: 1+nx≤ (1+x)n, x≥-1
-
Ekvivalence norem
Zkoušejte např. příklad 4b
P. Habala
nebo 3e ze zadání. Omezená a nulová se někdy nabídne u sin a cos, příklad 4f ze zadání:
4. Limity funkcí více
proměnných
Krok 4: Známá limita+VOLSF
Když to vypadá na známou limitu, stojí za zvážení VOLSF, neboli
Věta 11.12 z přednášky.
Nezapomeneme ověřit podmínku (S) nebo (P) (tu asi častěji).
Příklady např. 3d, 3f
4. Limity funkcí více
proměnných
Krok 5: Polární souřadnice
Svět se dá popsat nejen kartézskými souřadnicemi, ale i polárními. Začínáme v počátku a
bodu A přiřazujeme poloměr = vzdálenost A od počátku a úhel α mezi spojnicí bodu a
osou x. Hledáme ho obvykle mezi [0,2π).
Anglická wiki
Geogebra applet
Jestliže se pak v limitě vyskytují výrazy jako x
2+y
2, můžeme
zkusit nahradit x=r cos α a y=r sin α. Pro limitu jdoucí do [0,0] pak stačí
poslat r do 0 a dívat se, co vyjde.
Aby byl postup korektní, je třeba aplikovat Větu 8
4. Limity funkcí více
proměnných.
Koukněte na celý postup na videu:
Isibalo
polární souřadnice
Příklady pak jsou ve cvičení 5:
4. Limity funkcí více
proměnných
Krok 6: Dvojnásobná limita
Co když limita neexistuje? V takovém případě můžeme zkusit spočítat tzv. dvojnásobné
limity - aneb Poznámka 6 v zadání
4. Limity funkcí více
proměnných
Vlastně zkoumáme limitu funkce, když jdeme po ose x (nebo ose y).
Prozkoumejte video:
Dvojnásobné limity
a např. příklad 2a v zadání
4. Limity funkcí více
proměnných
Krok 7: Cesta po křivkách
Co když limita neexistuje, ale první test - dvojnásobné limity vyšly stejně. V takovém
případě se můžeme zkusit přiblížit do našeho bodu po různých křivkách. Pakliže vyjdou
různé limity po různých křivkách, limita neexistuje.
První volbou bývají přímky. Místo y budeme psát kx.
Zhlédněte video:
Isibalo přímky
nebo příklad 4 ve vzoru:
4. pár vzorových
příkladů
Když selžou přímky, zkoušíme paraboly:
Isibalo
paraboly
a příklad 5 ve vzoru:
4. pár vzorových
příkladů
Příklad 5c pak ukazuje, jak postupovat, když selžou paraboly, ale pořád si myslíme, že
limita neexistuje:
P. Habala
Poznámky
- L'Hospitala pro více proměnných nemáme.
- Blížíme-li se po křivkách do jiného bodu než je [0,0], nezapomeneme křivky
"posunout". Totéž platí pro polární souřadnice (více legrace s nimi bude v Míře a
integrálu).
- Ve 3D se místo polárních používají
Sférické souřadnice
- Obecný návod neexistuje. Z počátku vykreslujte funkce v programu (wolfram, google,
geogebra) a zkoušejte.
- První krok je vždy kontrola definičního oboru.
- Je-li tam na první pohled známá limita nebo omezená a nulová, tak je zkusíme. Jinak
další kroky, řekněme, v tomto pořadí:
- dvojnásobné limity
- přímky
- paraboly
- odhady (na existenci)
- polární souřadnice
3. týden (pátek 16.10.) - Metrické prostory
Vítejte u metrického prostoru - množiny, na níž umíme měřit vzdálenost nebo definovat
konvergenci. A naopak neumíme (alespoň ne obecně) určit velikost prvku nebo neumíme prvky
sčítat a násobit - na to pak máme prostory lineární.
Kratší verze
Dnešní zadání obsahuje vždy definice a poznámky a k nim pak něco příkladů. Pěknou zábavu:
3. Metrické prostory
3. řešení
Zdroje vědění a podpory:
Skripta
přednášky v Moodlu
Z.
Došlá, O. Došlý - výklad s řešenými i neřešenými příklady
Koule v různých metrikách
E. Vodičková - prostory posloupností a
funkcí
Skripta ze stránek prof.
Picka
Kreslení v Geogebře
Delší verze
V delší verzi budeme potřebovat dnešní zadání, které budeme postupně procházet, a také
definice a věty z přednášky:
3. Metrické prostory
3. řešení
Skripta
přednášky v Moodlu
Krok 1: Metrické prostory
Metrický prostor jako takový je množina X spolu s metrikou ρ, která měří vzdálenost
mezi dvěma body a splňuje nějaké ty podmínky. Je čas prozkoumat jeho definici.
3. Metrické prostory
- Definice 1
Čas na příklady. Pro nás budou zajímavé prostory
- prostor Rn s metrikami ρ1, ρ2, ρ∞
- prostor spojitých funkcí C([a,b])s metrikami ρsup, ρint
- prostor omezených posloupností l∞ s metrikou ρ∞
- diskrétní metrický prostor s metrikou ρdiskr, která nabývá jen
hodnot 0 a 1
Najdete je
mezi
stranami 9 a 16 a to i s obrázky.
nebo ve skriptech
v příkladech 10.1.4. až 10.1.14 i
s důkazy, že jde opravdu o metrický prostor (ale chybí l
p).
Méně obvyklé prostory pak najdete např. v prvních skriptech
str.
15-18
nebo tady
str.
19-23
Obecně platí, že plno pojmů a vět se dá představit snadno na R
2, na které
jsme zvyklí. Zároveň určitě doporučuji své představy pak konfrontovat s diskrétním
metrickým prostorem, na kterém naopak leccos funguje spíš neintuitivně.
Čas na
úlohu 2, 5, 6, 9.
Krok 2: Otevřené a uzavřené koule
Začněme otevřenou koulí, což je (celkem intuitivně) množina bodů, jejichž vzdálenost
(čiže vlastně metrika) je menší než daný poloměr. Je-li vzdálenost menší nebo rovna, jde
o uzavřenou kouli.
V R
2 a v R
3 s eukleidovskou metrikou ρ
2
dostaneme kruh (otevřená bez hranice, uzavřená s hranicí) a kouli (bez sféry a se
sférou). V R
1 dostaneme otevřený a uzavřený interval.
V jiných prostorech je to zajímavější. Na přednášce byly koule v podobě čtverce a
kosočtverce. Vyzkoušejte cvičení
11 a 12.
Koule se dají uvažovat samozřejmě ve všech prostorech. Vládnete-li angličtinou, lze
najít nějaké to video:
Koule v diskrétním metrickém
prostoru
Koule v prostoru funkcí
Krok 3: Otevřené množiny
Máme-li otevřené koule, můžeme uvažovat o otevřených množinách - to jsou ty, do kterých
se s každým jejich bodem vejde ještě nějaká (maličká) koule kolem něj.
Ilustruje to první třetina tohoto obrázku:
str.
11
(Nezapomeňme, že ty koule mohou vypadat různě, záleží na metrice.)
Jinak také
Definice 15
.
Krok 4: Konvergence
Definice 13
říká, jak vypadá konvergence posloupnosti v metrickém prostoru. Tedy, posloupnost se
blíží k nějaké limitě, jestliže se vzdálenost těch členů a limity blíží k 0. (V obyčejné
definici limity vlastně napíšeme ρ místo absolutní hodnoty.)
Od této chvíle už limita nemusí být jen číslo, ale jakýkoli prvek daného prostoru.
Zajímavé konvergence najdete na
str. 35-36
nebo
str.
30-31
Krok 5: Uzavřené množiny
Nyní můžeme uvažovat o uzavřených množinách - to jsou takové, ze kterých nelze
vykonvergovat. Aneb
definice 14.
Ještě sem patří pojmy vnitřek (všechny body, které se do množiny vejdou i se svým
nějakým okolím), uzávěr (všechny body, kam lze z množiny dokonvergovat) a hranice (body,
jejichž každé= okolí je částečně venku a částečně uvnitř - poslední třetina obrázku na
str.
11.
K těmto pojmům patří plno zajímavých vět - prozkoumejte
přednášku.
úloha 17, 19 - 25
Krok 1: Metrické prostory
Podporu můžete najít i na:
Z.
Došlá, O. Došlý - výklad s řešenými i neřešenými příklady
Koule v různých metrikách
E. Vodičková - prostory posloupností a
funkcí
Skripta ze stránek prof.
Picka
Kreslení v Geogebře
2. týden (pátek 9.10.) - Soustavy lineárních ODR s Pravou stranou
1. týden (pátek 2.10.) - Soustavy lineárních ODR
Motivace
Soustavy diferenciálních rovnic jsme začli krátkou motivací. Jejich pomocí lze popsat
spoustu reálných jevů (a občas to pak jde i analyticky vyřešit).
Šíření infekčních chorob popisuje
model SI.
(Koho by to zajímalo, jsou i složitější modely, jako
model SIR
.)
Je možno si pak pohrát s interaktivními modely
Geogebra SIR
Shodor SIR
Colgate SIR
Příklady
Nás budou zajímat soustavy diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, tento
týden s nulovou pravou stranou, příští týden s pravou stranou. Metod řešení existuje
víc, my se zaměříme na řešení pomocí λ operátoru.
Postup:
- Zavedeme operátor derivace λ. Pak λ u=u', λ2u=u'',
λ2 u-λ u=u''-u' atd...
- Sestavíme matici A a vytvoříme λE-A (všechno převedeme na levou
stranu).
- Matici převedeme na trojúhelníkový tvar:
- Můžeme prohazovat řádky.
- Můžeme násobit řádky (nenulovým) číslem.
- Můžeme k řádku přičíst P(λ) násobek jiného řádku, kde P(λ) je
polynom.
- Nemůžeme násobit řádek polynomem λ - zvýšil by se řád soustavy.
- Nemůžeme dělit řádky polynomem λ.
- Přepíšeme zpátky na tvar s derivacemi a vyřešíme.
- Případně dořešíme podmínky.
Online sbírka na ODR T. Bárty a D.
Pražáka - nás se týká 2. způsob řešení ve 4. kapitole.
Video:
Soustavy ODR s pravou stranou
řešené pomocí operátoru D (naše λ).