Úvod

Tento vzdělávací materiál, který byl vypracován ve dvou podobách - webové stránky a tištěná verze, vznikl jako diplomová práce na Katedře didaktiky matematiky Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze v letech 2023-2024. Cílem diplomové práce je podpořit a doplnit výuku geometrie na základní a střední škole. Práce se věnuje tématu Množiny bodů dané vlastnosti, kterému nebývá ve školské matematice věnován dostatek pozornosti a času.

V první kapitole Základní pojmy si nejdříve definujeme množiny bodů dané vlastnosti obecně a ukážeme si, jak s nimi pracovat. Dále připomeneme několik základních pojmů a poznatků z učiva probíraného na základní škole, které se používají při dokazování vět a tvrzení.

Druhá část práce se zabývá množinami bodů dané vlastnosti, které by žáci měli znát ze základní školy, jako jsou například kružnice, osa úsečky, osa úhlu a další. Na začátku každé podkapitoly jednotlivé množiny nejprve zkoumáme pomocí appletů a následně zformulujeme hypotézu, o jaký geometrický útvar se jedná. Poté tuto hypotézu dokážeme.

Třetí kapitola je rozdělena do dvou částí. Část Množiny bodů dané vlastnosti definované pomocí středů kružnic se zabývá učivem, které se do výuky matematiky na středních školách téměř nezařazuje. Množiny bodů dané vlastnosti lze totiž zkoumat také pomocí zadaného útvaru a kružnic, které se tohoto útvaru dotýkají, nebo jím prochází. Středy všech těchto kružnic potom tvoří námi zkoumanou množinu. Druhá část kapitoly se naopak věnuje tématu na školách naprosto běžnému - hledání množiny, ze které je zadaná úsečka vidět pod daným úhlem.

V poslední kapitole Kuželosečky jako množiny středů kružnic vycházíme z předpokladu, že studenti již o kuželosečkách slyšeli. Nejprve opět připomeneme klasické definice kuželoseček probírané na střední škole a tyto znalosti dále rozšíříme o definice kuželoseček pomocí množin středů kružnic.

Webové stránky jsou doplněny o applety, které napomáhají hlubšímu porozumění učivu. Žáci mají díky appletům možnost nové učivo samostatně zkoumat a až poté jsou nové poznatky korektně formulovány. Applety byly navíc vytvořeny v programu GeoGebra, který je často na školách využíván, proto by s ním někteří žáci mohli být již seznámeni.

Učební text byl tvořen tak, aby uvedené definice a značení byly co nejvíce v souladu s nejčastějšími středoškolskými či základoškolskými učebnicemi, a to zejména [4], [5] a [6]. Při tvorbě textu byla také studována literatura [7], [8], [9], [10] a [11].

Ovládání stránek

Pro lepší přehlednost textu jsou použity barevné rámečky.

Definice jsou uvedeny v modrém rámečku.

Věty a tvrzení jsou uvedeny ve žlutém rámečku.

Poznámka

Poznámky jsou uvedeny v šedém rámečku.

V práci se objevují dvě tlačítka, která slouží k zobrazení, resp. schování, textu. Tlačítko Zobrazit řešení slouží k zobrazení řešení otázky, která se nachází před tlačítkem. Student má tedy čas se nejdříve nad správným řešením zamyslet a až poté řešení zobrazit. Druhé tlačítko Zobrazit řešení zobrazí doplňující učivo. Toto učivo lze přeskočit bez narušení plynulosti textu.

Kromě tlačítek jsou v práci použity applety. Na obr. 0.1 si vyzkoušejte základní ovládání appletu. Posuvník lze ovládat táhnutím myši, šipkami na klávesnici nebo lze spustit animaci v levém dolním rohu. V appletu je bod \(S\), kterým lze myší pohybovat, to je ale možné pouze s body, které jsou k tomu určeny (proto například bodem \(X\) pohybovat nelze). Tažením myši v libovolném místě appletu lze posouvat zobrazení a kolečkem myši lze zobrazení oddalovat či přibližovat. V pravém horním rohu lze applet přepnout do původního nastavení.

Obrázek 0.1: Vzorový applet

Seznam použitých znaků

\(M\), \(N\)množina \(M\), \(N\)
\(X\), \(Y\)bod \(X\), \(Y\)
\(AB\)úsečka s krajními body \(A\), \(B\)
\(|AB|\)délka úsečky \(AB\), vzdálenost bodů \(A\), \(B\)
\(\mapsto AB\)polopřímka \(AB\) s počátečním bodem \(A\)
\(\triangle \;ABC\)trojúhelník s vrcholy \(A\), \(B\), \(C\)
\(E_2\)eukleidovská rovina
\(∡ AVB\)úhel s vrcholem \(V\) a rameny \(\mapsto VA\), \(\mapsto VB\)
\(\alpha, \beta\)úhel \(\alpha, \beta\)
\(\in\)býti prvkem, náležet
\(k(S,\;r)\)kružnice \(k\) se středem v bodě \(S\) a poloměrem \(r\)
\(p \parallel q\)přímka \(p\) je rovnoběžná s přímkou \(q\)
\(P \in p \cap q\)bod \(P\) je průsečíkem přímek \(p\) a \(q\)