Úlohy

Následující úlohy byly inspirovány sbírkou úloh [5].

Úloha 4.5.1

Mějme zadanou kružnici \(k(A, r)\) a bod \(B\) uvnitř kružnice \(k\). Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice \(k\) a prochází bodem \(B\).

V appletu na obr. 4.24 je zobrazena kružnice \(k(A, r)\) a bod \(B\) uvnitř kružnice \(k\). Na kružnici \(k\) je zvolen libovolný bod \(T\), kterým lze pohybovat. Střed kružnice, která se dotýká kružnice \(k\) v bodě \(T\) a prochází bodem \(B\) leží na ose úsečky \(TB\). Zároveň střed kružnice, která se dotýká kružnice \(k\) v bodě \(T\), leží na poloměru \(AT\). Hledaný střed kružnice je tedy průsečíkem osy \(o_{BT}\) a úsečky \(AT\). Pohybujte bodem \(T\) nebo zapněte animaci v levém dolním rohu a pozorujte, jakou množinu vykreslují polohy bodu \(X\).

Obrázek 4.24: Applet - ilustrace k řešení úlohy 4.5.1

Z appletu se zdá, že hledanou množinou středů kružnic je elipsa s ohnisky \(A, B\). Abychom dokázali, že výslednou množinou je elipsa s ohnisky \(A, B\), musí pro každý její bod \(X\) platit, že součet jeho vzdáleností od ohnisek je konstantní, tj. \(|AX|=|BX|=konst.\)

Bod \(X\) leží na ose úsečky \(BT\), proto platí \(|TX|=|BX|\). Vzdálenost \(AX\) lze vyjádřit jako

|AX|=r-|TX|

a vzdálenost \(BX\) lze vyjádřit jako

|BX|=|TX|.

Platí tedy \(|AX|+|BX|=r-|TX|+|TX|=r\). Poloměr \(r\) je ale konstantní. Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají přímky \(k\) a prochází bodem \(B\), je tedy elipsa s ohnisky \(A, B\).

Úloha 4.5.2

Mějme zadanou kružnici \(k(A, r)\) a bod \(B\) vně kružnice \(k\). Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice \(k\) a prochází bodem \(B\).

V appletu na obr. 4.25 je zobrazena kružnice \(k(A, r)\) a bod \(B\) vně kružnice \(k\). Na kružnici \(k\) je zvolen libovolný bod \(T\), kterým lze pohybovat. Střed kružnice, která se dotýká kružnice \(k\) v bodě \(T\) a prochází bodem \(B\) leží na ose úsečky \(TB\). Zároveň střed kružnice, která se dotýká kružnice \(k\) v bodě \(T\), leží na přímce \(AT\). Hledaný střed kružnice je tedy průsečíkem osy \(o_{BT}\) a přímky \(AT\). Pohybujte bodem \(T\) nebo zapněte animaci v levém dolním rohu a pozorujte, jakou množinu vykreslují polohy bodu \(X\).

Obrázek 4.25: Applet - ilustrace k řešení úlohy 4.5.2

Z appletu se zdá, že hledanou množinou středů kružnic je hyperbola s ohnisky \(A, B\). Tuto hypotézu lze opět dokázat s využitím definice hyperboly, tj. platí \(||XA|-|XB||=konst.\).

Bod \(X\) leží na ose \(TB\), tedy platí \(|TX|=|XB|\).

Vzdálenost \(|TX|\) lze rozepsat následovně.

|TX|=|BX|=|TA|+|AX|

Úsečka \(TA\) je poloměrem \(r\) kružnice \(k\), tedy

|BX|=r+|AX|.

Odtud dostaneme rozdíl

|BX|-|AX|=r.

Při jinak zvolené poloze bodu \(T\) bychom dostali \(|AX|-|BX|=r\), platí tedy \(||AX|-|BX||=r\), což odpovídá definici hyperboly.

Množinou středů všech kružnic, které se dotýkají přímky \(k\) a prochází bodem \(B\), je tedy hyperbola s ohnisky \(A, B\).