Množiny bodů dané vlastnosti
Než se pustíme do zkoumání jednotlivých případů množin bodů v rovině, rozebereme si nejdříve, co to množiny bodů dané vlastnosti jsou.
Definice
Množinou bodů \(M\) dané vlastnosti rozumíme množinu splňující následující vlastnosti:
- každý bod množiny \(M\) má danou vlastnost,
- každý bod, který má danou vlastnost, je bodem množiny \(M\).
Poznámka
Přestože v definici neuvádíme explicitně „množina všech bodů“, z druhé odrážky definice víme, že hledáme „každý bod“, který danou vlastnost splňuje.
I když to tedy v této práci nebudeme vždy explicitně uvádět, vždy budeme zkoumat množiny všech bodů dané vlastnosti.
Nejjednodušším příkladem množiny bodů dané vlastnosti v rovině je kružnice, kterou definujeme jako množinu bodů, které mají od daného bodu (středu) stejnou vzdálenost \(r\). V definici je tedy uvedena vlastnost, kterou musí všechny body splňovat a zároveň název geometrického útvaru, který danou vlastnost splňuje. Tímto způsobem budeme definovat všechny množiny bodů, se kterými budeme v následujících kapitolách pracovat.
Pro každou hledanou množinu bodů musíme dokázat, že jsou splněny obě podmínky, které jsou uvedeny výše v definici množiny bodů \(M\) dané vlastnosti. Například u kružnice tedy musíme dokázat, že
- všechny body, které leží na kružnici, mají od jejího středu stejnou vzdálenost \(r\),
- všechny body, které mají od středu stejnou vzdálenost \(r\), jsou body kružnice.
Druhá podmínka se obvykle dokazuje sporem, lze ji tedy nahradit tvrzením
- každý bod, který neleží na kružnici, nemá od středu vzdálenost \(r\).
Poznámka
- Nutno si uvědomit, že jelikož provádíme důkaz, že nalezená množina (resp. geometrický útvar) splňuje dané vlastnosti, měli bychom přísně vzato všechny uvedené definice nazývat větami. Pro naše účely je však důležité, který geometrický útvar dané množině odpovídá a jak ho nazýváme, proto i nadále budeme užívat pojmu „definice“.
- Množiny bodů dané vlastnosti lze zkoumat i v prostoru. Pro účely základní a střední školy se však omezíme na množiny bodů v eukleidovské rovině, kterou značíme \(E_2\). Spojení „v rovině“ proto není nutné explicitně uvádět, pokud je to zřejmé.
- Často se chybně uvádí pojem množina bodů daných vlastností. Danou vlastnost má množina pouze jednu, proto je množné číslo neadekvátní.
Na základní a střední škole se obvykle probírají množiny bodů dané vlastnosti definované pomocí vzdálenosti, ale lze se setkat i s množinami, které jsou definované pomocí středů kružnic s danou vlastností. Tomuto tématu je věnována samostatná kapitola Množiny bodů dané vlastnosti definované pomocí středů kružnic.
