Osa úsečky
Další množinou bodů dané vlastnosti je osa úsečky. Naším úkolem v tomto případě bude nalézt množinu bodů, které mají od dané úsečky stejnou vzdálenost.
Příklad 2.2.1
Na appletu na obr. 2.8 je dána úsečka \(AB\), střed úsečky \(S\) a kružnice se středem \(A\), resp. \(B\), a poloměrem \(r\), který lze měnit posuvníkem. Průsečíky kružnic \(X_1\) a \(X_2\) mají od bodu \(A\) a \(B\) stejnou vzdálenost. Měňte velikost poloměru \(r\) na posuvníku nebo zapněte animaci v levém dolním rohu appletu. Zkoumejte, jaké vlastnosti má množina vykreslená body \(X_1\) a \(X_2\). Jaký útvar vznikne, aby pro jeho body platilo \(|AX|=|BX|\)?
Obrázek 2.8: Applet - vykreslení osy úsečky
Všimli jsme si, že se v appletu na obr. 2.8 zobrazila přímka, která je kolmá k úsečce \(AB\) a prochází bodem \(S\). Kolmost přímky k úsečce \(AB\) plyne ze shodnosti trojúhelníků \(X_1BS\) a \(X_1AS\) (dle věty sss). Úhly \(BSX_1\) a \(ASX_1\) proto jsou shodné a jejich součet musí být 180°, tedy úhly \(BSX_1\) a \(ASX_1\) jsou kolmé.
Dokažme tedy, že daná přímka splňuje požadavky kladené na množinu bodů dané vlastnosti.
Obrázek 2.9: Osa úsečky s vyznačenými body \(C\) a \(Y\)
K ověření obou podmínek z definice množiny bodů jsou v obr. 2.9 vyznačeny pomocné body C, Y a střed \(S\) úsečky \(AB\).
1. Nyní ukážeme, že každý bod přímky \(o_{AB}\) má od krajních bodů úsečky stejnou vzdálenost. Výsledná přímka je kolmá k úsečce \(AB\) a prochází jejím středem \(S\). Zřejmě |AS|=|SB|, proto jsou \triangle SAX a \triangle SBX shodné (podle věty sus), tedy pro každý bod \(X\) dané přímky platí, že |AX|=|BX|.
2. Ověření druhé podmínky, že každý bod neležící na dané přímce nemá od bodů \(A\) a \(B\) stejnou vzdálenost, je o něco obtížnější. Uvažujme bod \(Y\), který neleží na ose \(o\) ani na přímce \(AB\). Z trojúhelníkové nerovnosti musí v \triangle BYC platit
|BY|<|YC|+|BC|
a zároveň víme, že pro každý bod \(C\) osy \(o\) platí, že |AC|=|BC|. Proto|BY|<|YC|+|AC|.
Úsečky YC a AC dohromady tvoří úsečku \(AY\), tedy platí nerovnost|BY|<|AY|,
a bod Y tedy nepatří do dané množiny. Nyní uvažujme bod \(Y\), který neleží na ose \(o\), ale leží na přímce \(AB\), přičemž \(Y\) se nerovná \(S\). Na obr. 2.10 jsou vyznačeny tři možné polohy bodu \(Y\) pouze na polopřímce \(AS\). Bod \(Y_1\) leží na opačné polopřímce k polopřímce \(AS\) vně úsečky \(AS\), bod \(Y_2\) je shodný s bodem \(A\) a bod \(Y_3\) je vnitřním bodem úsečky \(AS\).
Obrázek 2.10: Osa úsečky s vyznačenými polohami bodu \(Y\)
Začneme bodem \(Y_1\), jehož vzdálenost od bodu \(A\) je \(|Y_1A|\). Vzdálenost od bodu \(B\) je \(|Y_1A|+|AB|\). Je tedy zřejmé, že vzdálenost bodu \(Y_1\) od bodů \(A, B\) není stejná.
Je-li bod \(Y\) shodný s bodem \(A\), tj. \(Y=Y_2\), je vzdálenost bodů \(A\) a \(Y_2\) nulová, zatímco vzdálenost bodů \(Y_2\) a \(B\) je rovna velikosti úsečky \(AB\). Opět tedy vzdálenost bodu \(Y_2\) od bodů \(A\) a \(B\) není stejná.
Je-li bod \(Y\) shodný s \(Y_3\), tj. \(Y=Y_3\), musí platit, že \(|AY_3|<|AS|\). Bod \(S\) je středem úsečky \(AB\), platí tedy rovnost \(|AS|=|BS|\). Zároveň platí, že vzdálenost \(|BS|<|BY_3|\). Odtud dostaneme nerovnost \(|AY_3|<|BS|<|BY_3|\). Tedy vzdálenost bodu \(Y_3\) od bodů \(A\) a \(B\) není stejná.
Obdobným způsobem bychom postupovali, pokud by bod \(Y\) ležel na polopřímce \(BS\). Ověřili jsme tedy, že kolmice procházející bodem \(S\) je skutečně množinou bodů, která má od bodů \(A, B\) stejnou vzdálenost a body neležící na této kolmici stejnou vzdálenost od bodů \(A, B\) nemají. Tuto množinu nazýváme osou úsečky \(AB\). Jedna z nejčastějších definic osy úsečky jako množiny bodů dané vlastnosti je následující.
Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od daných bodů A, B, A \ne B, stejnou vzdálenost, se nazývá osa úsečky AB; značíme ji o_{AB}.
Symbolicky výše uvedenou definici zapisujeme o_{AB}=\{X\in E_2; |AX|=|BX|\}.
Nejjednodušším příkladem využití osy úsečky je kružnice opsaná trojúhelníku.
Příklad 2.2.2
Na appletu na obr. 2.11 je zobrazen trojúhelník \(ABC\), osy stran trojúhelníku \(o_{AB}, o_{AC}, o_{BC}\), průsečík těchto os \(S\) a kružnice \(k\) opsaná trojúhelníku \(ABC\). Měňte polohu vrcholů trojúhelníku a zkoumejte, kde se nachází střed \(S\) kružnice opsané.
Obrázek 2.11: Applet - kružnice opsaná
Z appletu lze odhadnout, že střed kružnice opsané je průsečíkem os stran trojúhelníku, tento bod označíme \(S\).
Uvedené tvrzení lze dokázat pomocí definice osy úsečky. Jelikož kružnice opsaná prochází všemi vrcholy trojúhelníku, musí být vzdálenost středu \(S\) opsané kružnice od vrcholů trojúhelníku stejná. Bod \(S\) má stejnou vzdálenost od vrcholů \(A, B\) právě tehdy, když \(S\) je bodem \(o_{AB}\), a od vrcholů \(B, C\) právě tehdy, když \(S\) je bodem \(o_{BC}\). Platí tedy následující vztahy:
(|AS|=|BS| \land |BS|=|CS|) \Rightarrow |AS|=|BS|=|CS|
Dokázali jsme tedy, že bod \(S\) má stejnou vzdálenost od bodů \(A, B\) i \(C\). Zároveň vzdálenost bodů \(A, B\) a \(C\) od středu \(S\) je poloměrem \(r\) opsané kružnice.
Průsečík os \(o_{AB}\) a \(o_{BC}\) je bodem i osy \(o_{AC}\). Všechny tři osy mají jeden společný průsečík, a to právě bod \(S\).
