Shodnost a podobnost trojúhelníků
V některých důkazech v dalších kapitolách budeme pracovat s větami o shodnosti a podobnosti trojúhelníků. Dále uvádíme přehled těchto vět v souladu s [1].
U jednotlivých vět jsou v závorce uvedeny zkratky složené z písmen s - strana, S - delší strana, u - úhel. Pomocí těchto zkratek se v dalším textu budeme odkazovat na dané věty o shodnosti nebo podobnosti.
Shodnost trojúhelníků
Věta
(sss) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v délkách všech tří stran.
Věta
(sus) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v délkách dvou stran a velikosti vnitřního úhlu, který tyto strany svírají.
Věta
(usu) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v délce jedné strany a velikostech vnitřních úhlů k této straně přilehlých.
Věta
(Ssu) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se v délkách dvou stran a velikosti vnitřního úhlu proti delší z těchto stran.
Shodnost trojúhelníků \(ABC\) a \(MNO\) zapisujeme \(\triangle ABC ≅ \triangle MNO\).
Mějme dva shodné trojúhelníky \(ABC\) a \(MNO\), viz obr. 1.5. Jelikož jsou trojúhelníky shodné, rovnají se délky stran \(AB\) a \(NO\), \(BC\) a \(MO\), \(AC\) a \(MN\). Tyto rovnosti musíme zohlednit v zápisu shodnosti, shodnost tedy zapíšeme následujícím způsobem: \(\triangle ABC ≅ \triangle NOM\).
Obrázek 1.5: Trojúhelníky \(ABC\) a \(MNO\)
Podobnost trojúhelníků
Věta
(sss) Dva trojúhelníky jsou podobné, mají-li shodné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran.
Věta
(sus) Dva trojúhelníky jsou podobné, mají-li shodné poměry délek dvou dvojic stran a mají-li shodnou velikost vnitřního úhlu, který tyto strany svírají.
Věta
(uu) Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve velikostech dvou vnitřních úhlů.
Věta
(Ssu) Dva trojúhelníky jsou podobné, mají-li shodné poměry délek dvou dvojic stran a mají-li shodnou velikost vnitřního úhlu proti delší z těchto stran.
Podobnost trojúhelníků \(ABC\) a \(MNO\) zapisujeme \(\triangle ABC ∼ \triangle MNO\); v zápisu podobnosti musíme zohlednit pořadí odpovídajících si stran.
Obdobně jako u vět o shodnosti platí, že pokud jsou dva trojúhelníky podobné dle jedné z uvedených vět, jsou podobné i podle vět zbývajících.
Ve větách o podobnosti je zmíněn poměr délek stran. Platí tedy, že pokud jsou trojúhelníky \(ABC\) a \(MNO\) podobné, délka strany \(AB\) je \(k\)-násobkem délky strany \(MN\), kde \(k\) je kladné číslo. Symbolicky píšeme \(|AB|=k \cdot |MN|\). Stejně tak musí platit, že \(|BC|=k \cdot |NO|\) a \(|CA|=k \cdot |OM|\).
