Parabola

S parabolou jste se setkali dříve v souvislosti s kvadratickou funkcí, která má předpis

f:y=ax^2+bx+c,

kde \(a, b, c\) jsou reálná čísla a \(a\neq 0\). Například graf funkce \(f:y=x^2-2x+2\) vypadá následujícím způsobem, viz obr. 4.4.

Graf kvadratické funkce

Obrázek 4.4: Graf kvadratické funkce

Více se o kvadratických funkcích lze dozvědět na webu [2] věnujícím se Kvadratickým funkcím.

Jak bylo řečeno v předchozí kapitole, parabolu znáte již z [12] analytické geometrie, jako množinu bodů definovanou pomocí pojmu vzdálenost.

Definice

Množina všech bodů, které mají od daného bodu \(F\) a přímky \(d\), \(F \notin d\), stejnou vzdálenost, se nazývá parabola; značíme ji P.

Symbolicky výše uvedenou definici zapisujeme P=\{X\in E_2; |XF|=|Xd|\}.

Parabola s vyznačenou přímkou \(p\) a body \(X, F\)

Obrázek 4.5: Parabola s vyznačenou přímkou \(p\) a body \(X, F\)

Z obr. 4.5 je zřejmé, že zobrazená parabola je osově souměrná podle přímky \(o\) procházející vrcholem paraboly. Připomeneme základní pojmy, související s parabolou:

  • ohnisko paraboly: bod \(F\),
  • vrchol paraboly: bod \(V\),
  • řídicí přímka paraboly: přímka \(d\) taková, že \(F \notin d\),
  • parametr paraboly: vzdálenost bodu \(F\) od řídicí přímky

Vrchol paraboly přitom musí být od ohniska stejně vzdálený jako od řídicí přímky, přičemž tato vzdálenost je rovna polovině parametru paraboly.

Parabola jako množina středů kružnic

Následující text byl inspirován publikací [7].

V kapitole Množiny bodů dané vlastnosti definované pomocí středů kružnic jsme se zabývali již známými množinami bodů, avšak hledané body byly středy kružnic s požadovanou vlastností. Obdobným způsobem je možné se zabývat i parabolou. Stejně jako v předchozích částech textu musíme vyjít ze zadaných prvků - tedy ohniska \(F\) a řídicí přímky \(d\).

Příklad 4.2.1

Určete množinu středů kružnic, které se dotýkají přímky \(d\) a prochází bodem \(F\), kde \(F \notin d\). V appletu na obr. 4.6 je uvedena konstrukce požadované množiny středů kružnic. Šipkou v levém dolním rohu zobrazte jednotlivé kroky konstrukce včetně zápisu. Po dokončení konstrukce jedné kružnice splňující dané podmínky měňte velikost poloměru \(r\) na posuvníku, čímž vykreslíte požadovanou množinu bodů.

Obrázek 4.6: Applet - konstrukce středů kružnic tvořících parabolu

Uvedenou konstrukcí v appletu na obr. 4.6 skutečně vznikne parabola. Rovnoběžka \(p\) má vzdálenost \(r\) od hledaného bodu \(X\) a každý bod kružnice \(k_1\) taktéž.

 

Lze tedy definovat parabolu jako množinu středů kružnic, viz obr. 4.7.

Definice

Množina všech středů kružnic, které prochází daným bodem \(F\) a dotýkají se přímky \(d\), \(F \notin d\), se nazývá parabola; značíme ji P.

Parabola jako množina středů kružnic

Obrázek 4.7: Parabola jako množina středů kružnic