Webová aplikace pro výuku množin bodů dané vlastnosti

Osa úhlu

Další množinou bodů, kterou známe ze základní školy, je osa úhlu. Mějme dány dvě polopřímky se společným počátkem, které svírají nenulový úhel \alpha. Naším úkolem bude nalézt množinu bodů úhlu $\alpha$, které jsou od ramen tohoto úhlu stejně vzdáleny.

Abychom našli množinu bodů náležejících úhlu $\alpha$, které mají od ramen úhlu $\alpha$ stejnou vzdálenost, musíme nalézt takové body $X$ náležející úhlu $\alpha$, které mají od \mapsto VA a \mapsto VB stejnou vzdálenost. Vzdálenost bodu $X$ od polopřímky hledáme pomocí kolmého průmětu $P_1$, resp. $P_2$ bodu $X$ na polopřímku $VA$, resp. $VB$, viz. obr. 2.12. Vzdálenost je potom dána velikostí úsečky $XP_1$, resp. $XP_2$.

$Úhel $\alpha$ s vyznačenými body $X$, $P_1$, $P_2$$

Obrázek 2.12: Úhel $\alpha$ s vyznačenými body $X$, $P_1$, $P_2$

Příklad 2.3.1

V následujícím appletu na obr. 2.13 je zobrazen úhel $\alpha$ vymezený polopřímkami VA a VB. V appletu je sestrojen bod $X$, který má stejnou vzdálenost od obou ramen úhlu, tj. vzdálenost $|XP_1|=|XP_2|$. (Zobrazená kružnice se středem $V$ a poloměrem $r$ zajišťuje, že body $P_1$ a $P_2$ mají od bodu $V$ stejnou vzdálenost.) V appletu měňte poloměr $r$ na posuvníku nebo zapněte animaci v levém dolním rohu appletu. Jaký geometrický útvar vykreslují polohy bodu $X$?

Obrázek 2.13: Applet - osa úhlu

Hledanou množinou bodů, které mají od ramen úhlu $\alpha$ stejnou vzdálenost, je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu. Jedná se tedy o přímku, která dělí daný úhel na dva shodné úhly, tedy osa úhlu.

Obrázek 2.14: Osa úhlu s vyznačenými body $X$, $Y$, $P_1$, $P_2$, $P'_1$, $P'_2$

Dokážeme nyní, že množinou bodů je osa úhlu $\alpha$, viz obr. 2.14.

Pro bod $X$ různý od vrcholu $V$ využijeme obr. 2.14, kde jsou zobrazeny body $P_1$ a $P_2$, což jsou paty kolmic k ramenům úhlu procházející bodem $X$. Ze shodnosti \triangle VP_2X a \triangle VP_1X (podle věty usu - trojúhelníky mají společnou přeponu, shodují se v úhlu u vrcholu $V$ a u vrcholů $P_1$ a $P_2$ je pravý úhel - tedy i úhel u vrcholu $X$ je shodný) plyne, že úsečky $XP_1$ a $XP_2$ jsou shodné. Body na polopřímce s počátkem ve vrcholu úhlu jsou tedy hledanou množinou.

2. Nyní zdůvodníme, že každý bod úhlu $\alpha$, který má od polopřímek $VA$ a $VB$ stejnou vzdálenost, je bodem polopřímky $o_\alpha$, tj. osy úhlu. Poznamenejme, že v tomto případě druhou podmínku z definice množiny bodů nedokazujeme sporem jako v předchozích kapitolách, ale přímo z definice. K tomuto důkazu využijeme toho, že osa úhlu rozděluje daný úhel na dva shodné úhly.

Mějme libovolný bod $Y$ náležející úhlu $\alpha$, který má od polopřímek $VA$ a $VB$ stejnou vzdálenost (v obr. 2.14 je bod zobrazen pouze ilustračně, neodpovídají tedy vzdálenosti od polopřímek $VA$ a $VB$). Zároveň víme, že u vrcholů $P'_1$ a $P'_2$ je pravý úhel a trojúhelníky $VYP'_1$ a $VYP'_2$ mají společnou přeponu $VY$. Proto jsou trojúhelníky $VYP'_1$ a $VYP'_2$ shodné podle věty Ssu, z čehož plyne rovnost velikostí úhlů $P'_1VY$ a $P'_2VY$. Úsečka $VY$ tedy dělí daný úhel $\alpha$ na dva shodné úhly, bod $Y$ musí tedy ležet na ose úhlu $\alpha$.

Nyní můžeme formulovat definici osy úhlu jako množinu bodů dané vlastnosti.

Definice

Množina všech bodů v rovině, které náleží úhlu $\alpha$ a zároveň mají od jeho ramen stejnou vzdálenost, se nazývá osa úhlu \alpha; značíme ji o_{\alpha}.

Symbolicky výše uvedenou definici zapisujeme o_{\alpha}=\{X\in \alpha; |X, \mapsto VA|=|X, \mapsto VB|\}.

Pomocí osy úhlu lze definovat i osu různoběžek $p$ a $q$, které svírají dvě dvojice úhlů velikostí \alpha a \beta, viz obr. 2.15.

$Různoběžky s vyznačenými úhly $\alpha$ a $\beta$$

Obrázek 2.15: Různoběžky s vyznačenými úhly $\alpha$ a $\beta$

Sestrojíme-li osy všech čtyř úhlů vymezených přímkami $p$ a $q$, tak sjednocením os vrcholových úhlů dostaneme dvě přímky $o_1$ a $o_2$, viz obr. 2.16. Z definice osy úhlu víme, že osa rozdělí úhel na dva stejné úhly. Zároveň jsou úhly \alpha a \beta navzájem vedlejší, platí tedy \alpha +\beta =180°. Přímky $o_1$ a $o_2$ tedy svírají úhel velikosti \frac{\alpha}{2} +\frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=90°, tj. jsou navzájem kolmé.

Obrázek 2.16: Osa různoběžek

Definice

Množina všech bodů v rovině, které mají od daných různoběžek $p$ a $q$ stejné vzdálenosti, je sjednocení dvou navzájem kolmých přímek.

Symbolicky zapisujeme o_1 \cup o_2=\{X\in E_2; |Xp|=|Xq|\}.

Příkladem využití osy úhlu je určení středu kružnice vepsané.

Příklad 2.3.2

Na appletu na obr. 2.17 je zobrazen trojúhelník $ABC$, osy vnitřních úhlů trojúhelníku $o_{\alpha}, o_{\beta}, o_{\gamma}$, průsečík těchto os $S$ a kružnice $k$ vepsaná trojúhelníku $ABC$. Měňte polohu vrcholů trojúhelníku a zkoumejte, kde se nachází střed $S$ kružnice vepsané.

Obrázek 2.17: Applet - kružnice vepsaná

Vidíme, že střed kružnice vepsané je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku, tento bod označíme $S$.

To lze dokázat pomocí definice osy úhlu. Jelikož se kružnice vepsaná dotýká všech stran trojúhelníku, musí být střed $S$ vepsané kružnice stejně vzdálen od všech stran trojúhelníku. Bod $S$ má stejnou vzdálenost od stran $AB$ a $AC$ právě tehdy, když $S$ je bodem $o_{\alpha}$, a od stran $AB$ a $BC$ právě tehdy, když $S$ je bodem $o_{\beta}$. Platí tedy následující vztahy:

(|AB,S|=|AC,S| \land |AB,S|=|BC,S|) \Rightarrow |AB,S|=|AC,S|=|BC,S|

Dokázali jsme tedy, že bod $S$ má stejnou vzdálenost od všech stran trojúhelníku. Zároveň vzdálenost středu $S$ od stran trojúhelníku je poloměrem $r$ vepsané kružnice.

Z výše uvedených vztahů pro vzdálenosti také vyplývá, že všechny tři osy mají společný průsečík, a to právě bod $S$.

Webová aplikace pro výuku množin bodů dané vlastnosti

Osa úhlu

Příklad 2.3.1

Příklad 2.3.2

Titulní strana

Úvod

Základní pojmy

Připomenutí množin bodů dané vlastnosti ze základní školy

Rozšíření poznatků ze základní školy

Kuželosečky

Rejstřík

Literatura