Osa rovinného pásu
Další množinou bodů, kterou známe ze základní školy, je osa rovinného pásu. Mějme dány dvě rovnoběžné přímky \(p\) a \(q\). Naším úkolem bude nalézt množinu bodů, které mají od obou přímek stejnou vzdálenost.
Příklad 2.4.1
Na následujícím appletu na obr. 2.18 je zobrazen rovinný pás určený dvěma rovnoběžkami \(p\) a \(q\), kde p \ne q. Úsečka \(PQ\) je kolmá k přímkám \(p\) a \(q\) a bod \(X\) je středem úsečky \(PQ\). Pohybujte bodem \(P\) nebo zapněte animaci v levém dolním rohu appletu. Jaký vznikne útvar, aby platilo |pX|=|qX|?Obrázek 2.18: Applet - osa rovinného pásu
Z appletu na obr. 2.18 vidíme, že vznikne přímka, která je rovnoběžná s přímkami \(p\) a \(q\) a má od obou stejnou vzdálenost. Této přímce říkáme osa rovinného pásu vymezeného přímkami \(p\), \(q\).
Toto pozorování však musíme dokázat.
Obrázek 2.19: Osa rovinného pásu s vyznačenými body \(X_1\), \(X_2\), \(X_3\), \(Y\)
1. Nejdříve ukážeme, že každý bod přímky \(o_{pq}\) splňuje podmínku \(|pX|=|qX|\). Splnění dané podmínky pro každý bod \(X\) na ose plyne z toho, jakým způsobem určujeme vzdálenost dvou rovnoběžných přímek. Potom platí \(|po_{pq}|=|qo_{pq}|\).
2. Dále je třeba zdůvodnit, že každý bod \(Y\), který na ose \(o_{pq}\) neleží, nesplňuje podmínku \(|pX|=|qX|\). Zvolíme-li bod \(Y\), který neleží na ose \(o_{pq}\), jeho vzdálenost od přímek \(p\) a \(q\) hledáme na kolmici vedené bodem \(Y\) k přímce \(p\) a \(q\). V obr. 2.19 je zobrazen bod \(Y_1\) uvnitř pásu a jelikož neleží na ose, není středem úsečky \(P_1Q_1\). Vzdálenost \(Y_1P_1\) a \(Y_1Q_1\) je tedy různá. Obdobně pro bod \(Y_2\), který leží vně pásu.
Můžeme tedy formulovat následující definici.
Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od daných rovnoběžek p, q, p \ne q, stejnou vzdálenost, se nazývá osa rovinného pásu daného přímkami p, q; značíme ji o_{pq}.
Symbolicky výše uvedenou definici zapisujeme o_{pq}=\{X\in E_2; |Xp|=|Xq|\}.
Další množina bodů, kterou budeme zkoumat, úzce souvisí s osou rovinného pásu. Jedná se o ekvidistantu přímky.
Ekvidistanta přímky
Jak napovídá název, budeme nyní hledat množinu všech bodů, které mají od dané přímky \(p\) stejnou vzdálenost \(d\).
Příklad 2.4.2
Na následujícím appletu na obr. 2.20 je zobrazena přímka \(p\), bod \(S\) ležící na přímce \(p\), kolmice \(k\) k přímce \(p\) procházející bodem \(S\) a kružnice se středem \(S\) a poloměrem \(d\). Body \(X_1\), \(X_2\) jsou průsečíky kružnice a přímky \(k\). Pohybujte bodem \(S\) nebo zapněte animaci v levém dolním rohu appletu. Jaký vznikne útvar, aby platilo |pX|=d?Obrázek 2.20: Applet - ekvidistanta přímky
Množinou bodů, které mají od dané přímky \(p\) stejnou vzdálenost \(d\), je dvojice dvou rovnoběžných přímek stejně vzdálených od přímky \(p\). Jejich sjednocení nazýváme ekvidistantou přímky \(p\).
Nejdříve ověříme podmínky, které musí body hledané množiny bodů splňovat.
1. Ukážeme, že každý bod \(X\), který je bodem sjednocení dvou přímek rovnoběžných s přímkou \(p\), splňuje \(|pX|=d\). Toto plyne přímo z určení vzdálenosti rovnoběžných přímek, tj. každý bod \(X\) na jedné z rovnoběžných přímek má od dané přímky \(p\) stejnou vzdálenost. Tato vzdálenost je v našem případě \(d\).
2. Dále ukážeme, že každý bod \(Y\), který na jedné z rovnoběžek \(e_1\), \(e_2\) neleží, nesplňuje podmínku \(|pX|=d\). Na obrázku 2.21 jsou vyznačeny body \(Y_1\) a \(Y_2\). Bod \(Y_1\) je od přímky \(p\) vzdálený o délku úsečky \(P_1Y_1\), platí tedy, že \(|pY_1|=|Y_1Z_1|+|Z_1P_1|\). Velikost úsečky \(Z_1P_1\) je \(d\), platí tedy, že \(|pY_1|=|Y_1Z_1|+d\). Vzdálenost bodu \(Y_1\) od přímky \(p\) je tedy větší než \(d\).
Vzdálenost bodu \(Y_2\) a přímky \(p\) je \(|pY_2|=|P_2Z_2|-|Z_2Y_2|\), kde \(|P_2Z_2|=d\). Platí tedy \(|pY_2|=d-|Z_2Y_2|\), proto je vzdálenost bodu \(Y_2\) od přímky \(p\) menší než \(d\).
Obrázek 2.21: Ekvidistanta přímky \(p\) s vyznačenými polohami bodů \(X, Y\)
Definice
Množinu všech bodů v rovině, které mají od dané přímky \(p\) danou vzdálenost \(d>0\), nazveme ekvidistantou přímky \(p\); značíme ji \(e_1\) a \(e_2\). Ekvidistantou je sjednocení dvou přímek rovnoběžných k přímce \(p\).
Symbolicky výše uvedenou definici zapisujeme e_1 \cup e_2=\{X\in E_2; |Xp|=d\}, viz obr. 2.21.
Jak bylo zmíněno výše, ekvidistanta přímky skutečně souvisí s osou rovinného pásu. V případě osy rovinného pásu hledáme množinu bodů, které jsou od dvou rovnoběžek \(p\) a \(q\) stejně vzdáleny. Výsledkem je jedna přímka - osa rovinného pásu \(o_{pq}\). Pokud bychom naopak hledali body stejně vzdálené od osy \(o_{pq}\), původní přímky \(p\) a \(q\) by tvořily ekvidistantu přímky \(o_{pq}\).
Další méně častou ekvidistantou, se kterou se můžeme setkat, je ekvidistanta úsečky \(AB\). Hledejme nyní množinu bodů, které mají od zadané úsečky \(AB\) stejnou vzdálenost \(d\).
Příklad 2.4.3
Na následujícím appletu na obr. 2.22 je zobrazena úsečka \(AB\), kružnice se středem \(A\), resp. \(B\), a poloměrem \(d\) a dvě rovnoběžné přímky vzdálené o \(d\) od přímky určené body \(AB\). Rozmyslete, jak vzniká ekvidistanta úsečky a pozorujte, jak se ekvidistanta úsečky \(e\) mění se změnou vzdálenosti \(d\) a se změnou polohy krajních bodů úsečky \(AB\).
Obrázek 2.22: Applet - ekvidistanta úsečky
Při sestrojení ekvidistanty úsečky \(AB\) využíváme znalostí:
- množina všech bodů stejně vzdálených od daného bodu (v tomto případě od bodů \(A\) a \(B\)) je kružnice,
- množina všech bodů stejně vzdálených od přímky (v tomto případě přímka, na které leží úsečka \(AB\)) je ekvidistanta přímky.
Ekvidistantu úsečky si potom lze představit jako sjednocení dvou množin dané vlastnosti, a to kružnice a ekvidistanty přímky. Tento geometrický útvar budeme nazývat ovál.
V appletu na obr. 2.22 je vidět „propojení“ ekvidistanty přímky a kružnice. Ekvidistanta úsečky je tvořena těmi body ekvidistanty přímky, jejichž kolmý průmět se zobrazí na úsečku \(AB\). Z definice vzdálenosti bodu od úsečky ale víme, že vzdálenost úsečky a bodu, jehož kolmý průmět se zobrazí mimo úsečku, je rovna vzdálenosti daného bodu a bližšího krajního bodu této úsečky. V tomto případě se tedy jedná množinu bodů, které mají od zadaného krajního bodu úsečky konstantní vzdálenost, tj. kružnice.
Dále lze pozorovat, že pokud je vzdálenost \(d\), kterou má mít hledaná množina od úsečky, výrazně větší v porovnání s délkou úsečky, větší část ekvidistanty tvoří půlkruhy. Oproti tomu, je-li délka úsečky výrazně větší než vzdálenost \(d\), větší část ekvidistanty úsečky je tvořena ekvidistantami přímky.
