Množiny bodů dané vlastnosti definované pomocí středů kružnic
Definice, které jsou uvedeny v předchozích kapitolách, nejsou jedinými možnými definicemi daných množin bodů dané vlastnosti. Všechny dosud uvedené definice využívaly pojmu vzdálenosti. Dalším způsobem, jak lze množiny bodů dané vlastnosti zkoumat, je pomocí zadaného bodu (resp. jiného útvaru), kterým prochází (resp. kterého se dotýkají) všechny možné kružnice.
Kružnice
Připomeňme si definici kružnice z kapitoly Kružnice a kruh.
Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu \(S\) stejnou vzdálenost r>0, se nazývá kružnice \(k\) se středem \(S\) a poloměrem \(r\); značíme ji k(S, r).
Mějme zadaný bod \(S\) a hledejme množinu středů všech kružnic, které daným bodem prochází a mají poloměr \(r\), viz obr. 3.1. Je zřejmé, že všechny středy kružnic budou od bodu \(S\) vzdáleny právě o poloměr \(r\) a z definice uvedené výše víme, že množina všech bodů, které mají od daného bodu stejnou vzdálenost, je kružnice.
Obrázek 3.1: Kružnice jako množina středů kružnic
Definice
Množina středů všech kružnic o poloměru \(r\), které prochází daným bodem \(S\), se nazývá kružnice \(k\) se středem \(S\) a poloměrem \(r\); značíme ji k(S, r).
Osa úsečky
Již jsme definovali osu úsečky \(AB\) v kapitole Osa úsečky následujícím způsobem.
Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od daných bodů A, B, A \ne B, stejnou vzdálenost, se nazývá osa úsečky AB; značíme ji o_{AB}.
Nyní budeme hledat množinu středů kružnic, které prochází krajními body úsečky \(AB\), viz obr. 3.2. Na rozdíl od předchozí definice kružnice však tyto kružnice nemusí mít stejný poloměr.
Obrázek 3.2: Osa úsečky jako množina středů kružnic procházejících body \(A, B\)
Víme, že body \(A\), \(B\) musí mít od hledaných středů stejnou vzdálenost, proto tyto středy leží na ose úsečky \(AB\).
Definice
Množina středů všech kružnic procházejících body A, B, A \ne B, se nazývá osa úsečky AB; značíme ji o_{AB}.
Osa různoběžek
V kapitole Osa úhlu jsme definovali osu různoběžek následujícím způsobem.
Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od daných různoběžek \(p\) a \(q\) stejnou vzdálenost, je sjednocení dvou navzájem kolmých přímek; nazýváme ji osa různoběžek p, q a značíme o_1 \cup o_2.
Naším cílem je definovat osu různoběžek pomocí středů kružnic. Víme, že libovolný bod ležící na ose různoběžek má od daných různoběžek stejnou vzdálenost, viz obr. 3.3. Zaměříme se nyní na průsečík přímek \(p\) a \(q\). Průsečík různoběžek nemůže být středem dotýkající se kružnice, jelikož vzdálenost průsečíku od obou přímek je 0.
Obrázek 3.3: Osa různoběžek bez jejich průsečíku jako množina středů kružnic
Definice
Množina středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžek \(p\) a \(q\), je sjednocení dvou navzájem kolmých přímek bez jejich průsečíku.
Osa rovinného pásu a ekvidistanta přímky
V kapitole Osa rovinného pásu jsme uvedli následující definici.Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od daných rovnoběžek p, q, p \ne q, stejnou vzdálenost se nazývá osa rovinného pásu daného přímkami p, q; značíme ji o_{pq}.
Osa rovinného pásu je přímka, která je rovnoběžná s danými rovnoběžkami a od obou má stejnou vzdálenost. Nepřekvapí nás proto, jak bude vypadat její definice pomocí středů kružnic. Středy všech hledaných kružnic mají stejnou vzdálenost od daných rovnoběžek, tj. leží na jedné přímce tak, jak je zobrazeno na obr. 3.4.
Obrázek 3.4: Osa rovinného pásu jako množina středů kružnic
Definice
Množina středů všech kružnic, které se dotýkají daných rovnoběžek p, q, p \ne q, se nazývá osa rovinného pásu daného přímkami p, q; značíme ji o_{pq}.
V kapitole Osa rovinného pásu jsme uvedli ještě množinu bodů, která s osou rovinného pásu úzce souvisí, a to ekvidistantu přímky. Připomeňme klasickou definici pomocí pojmu vzdálenosti.
Definice
Množinu všech bodů v rovině, které mají od dané přímky \(p\) danou vzdálenost \(d>0\), nazveme ekvidistantou přímky \(p\); značíme ji e_1 \cup e_2.
I nyní se jedná o opačný problém k hledání osy rovinného pásu a pomocí obr. 3.5 snadno odvodíme definici ekvidistanty přímky pomocí středů kružnic.
Obrázek 3.5: Ekvidistanta přímky jako množina středů kružnic
Definice
Množina středů všech kružnic o poloměru \(d>0\), které se dotýkají dané přímky p, nazveme ekvidistantou přímky \(p\); značíme ji e_1 \cup e_2.
Osa mezikruží a ekvidistanta kružnice
Připomeňme definici uvedenou v kapitole Osa mezikruží.Definice
Množinu všech bodů v rovině, které mají od daných kružnic \(k_1(S,r_1)\) a \(k_2(S,r_2)\), \(r_1 \neq r_2\), stejnou vzdálenost, nazveme osou mezikruží ohraničeného kružnicemi \(k_1\), \(k_2\); značíme ji o (S, \frac{r_1 + r_2}{2}).
Na obr. 3.6 je zobrazeno, jakým způsobem lze definovat osu mezikruží pomocí středů kružnic. Hledáme středy takových kružnic, které mají s jednou ze zadaných kružnic vnitřní dotyk a s druhou vnější dotyk. Středy těchto kružnic tedy musí mít stejnou vzdálenost od daných kružnic \(k_1\) a \(k_2\).
Obrázek 3.6: Osa mezikruží jako množina středů kružnic
Definice
Množinu středů všech kružnic, které mají s jednou ze zadaných kružnic \(k_1(S,r_1)\) a \(k_2(S,r_2)\), r_1 \lt r_2, vnitřní dotyk a s druhou vnější dotyk, nazveme osou mezikruží; značíme ji o (S, \frac{r_1 + r_2}{2}).
Poznamenejme, že podmínku, aby kružnice s nalezeným středem měla s jednou ze zadaných kružnic vnitřní dotyk a s druhou vnější dotyk, nelze vynechat. Pokud bychom připustili vnitřní dotyk s oběma zadanými kružnicemi, množina středů těchto kružnic by od zadaných kružnic neměla stejnou vzdálenost.
Poslední množina, kterou známe z kapitoly Osa mezikruží, je ekvidistanta kružnice. V tomto případě se však omezíme pouze na situace, kde \(d>r\).
Definice
Množina všech bodů v rovině, které mají od dané kružnice \(k(S,r)\) danou vzdálenost \(d>r\), nazveme ekvidistantou kružnice \(k\); značíme ji \(e_1\), resp. \(e_2\).
Ekvidistantu kružnice lze definovat pomocí středů kružnic obdobným způsobem jako u ekvidistanty přímky, viz obr. 3.7.
Obrázek 3.7: Ekvidistanta kružnice jako množina středů kružnic
Definice
Množina středů všech kružnic o poloměru \(d>r\), které se dotýkají dané kružnice \(k(S,r)\), nazveme ekvidistantou kružnice \(k\); značíme ji \(e_1\), resp. \(e_2\).
Úloha 3.1.1
Jsou dány soustředné kružnice \(m_1(S, r_1)\), \(m_2(S, r_2)\), kde r_2 \lt r_1, a přímka \(p\), pro kterou platí \(r_2<|Sp| < r_1 \). Sestrojte všechny kružnice, které mají s kružnicí \(m_1\) vnitřní dotyk a s kružnicí \(m_2\) vnější dotyk a dotýkají se přímky \(p\).
Rozbor
Obrázek 3.8: Ilustrace k řešení úlohy 3.1.1
Množinou středů kružnic, které se současně dotýkají daných kružnic \(m_1(S,r_1)\) a \(m_2(S,r_2)\) a leží v mezikruží kružnic \(m_1\) a \(m_2\), je osa mezikruží (v obr. 3.8 označena \(o\)). Poloměr osy mezikruží je roven \(\frac{r_1 + r_2}{2}\).
Střed \(S_k\) hledané kružnice \(k\) musí mít od obou daných kružnic vzdálenost \(\frac{r_1 - r_2}{2}\). Stejnou vzdálenost musí mít tedy i od přímky \(p\). Množina bodů, které mají od přímky \(p\) stejnou vzdálenost \(\frac{r_1 - r_2}{2}\) je rovnoběžka \(q\), pro kterou platí \(|qp|=\frac{r_1 - r_2}{2}\).
Střed \(S_k\) hledané kružnice je průsečíkem kružnice \(o\) a přímky \(q\). Poloměr kružnice \(k\) je roven \(\frac{r_1 - r_2}{2}\).
Konstrukce a zápis konstrukce
Obrázek 3.9: Applet - konstrukce a zápis konstrukce úlohy 3.1.1
Závěr
Při dodržení podmínky \(r_2<|Sp| < r_1 \) nezávisí počet řešení na poloze přímky \(p\). Úloha 3.1.1 má tedy 2 řešení, viz applet na obr. 3.9.
Úloha 3.1.2
Jsou dány dvě rovnoběžné přímky \(p, q\) a bod \(X\), který leží uvnitř pásu daného přímkami \(p\) a \(q\). Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímek \(p, q\) a \(X \in k\).
Rozbor
Obrázek 3.10: Ilustrace k řešení úlohy 3.1.2
Množina středů kružnic, které se dotýkají dvou rovnoběžných přímek \(p\) a \(q\) je osa rovinného pásu daného přímkami \(p\) a \(q\), na obr. 3.10 je označená o_{pq}. Poloměr hledané kružnice musí být roven \(\frac{|pq|}{2}\), proto je střed \(S\) hledané kružnice \(k\) průsečíkem osy rovinného pásu o_{pq} a kružnice \(m(X,\frac{|pq|}{2})\).
Konstrukce a zápis konstrukce
Obrázek 3.11: Applet - konstrukce a zápis konstrukce úlohy 3.1.2
Závěr
Úloha 3.1.2 má 2 řešení, viz applet na obr. 3.11. Počet řešení nezávisí na konkrétní poloze bodu \(X\) uvnitř pásu, což lze ověřit v appletu na obr. 3.11.
