Kružnicové oblouky
Další množina, kterou si rozebereme, se obvykle probírá až na střední škole. Jedná se o množinu bodů, z nichž vidíme úsečku pod daným úhlem \(\alpha\), kde \(\alpha \in\) (0°; 180°).
Příklad 3.2.1
V následujícím appletu na obr. 3.12 je zobrazena úsečka \(AB\), kde \(A \neq B\) (tj. úsečka nenulové délky), a posuvník, pomocí kterého lze měnit zadaný úhel \(\alpha\). Polopřímka \(BX_1\) svírá s úsečkou \(AB\) úhel \(\beta\) a polopřímka \(AX_1\) svírá s úsečkou \(AB\) úhel \(180°-\alpha-\beta\). Tím je zajištěno, aby úhel \(AX_1B\) byl roven \(\alpha\). Bod \(X_2\) je souměrně sdružený s bodem \(X_1\) podle úsečky \(AB\). V appletu měňte velikosti úhlu \(\beta\) pomocí posuvníku a sledujte, jakou množinu vykreslují polohy bodů \(X_1\) a \(X_2\) pro zvolené \(\alpha\). Poté zkoumejte, jak se mění tvar nalezené množiny bodů, pokud změníte velikost úhlu \(\alpha\).
Obrázek 3.12: Applet - kružnicové oblouky
Jaký geometrický útvar vznikne? 
Jelikož množina bodů závisí na úhlu \(\alpha\), budeme nejdříve zkoumat vzniklý útvar ve třech různých situacích. Interval (0°; 180°) rozdělíme na tři možnosti, a to \(\alpha \in\) (0°; 90°), \(\alpha\) = 90° a \(\alpha \in\) (90°; 180°).
\(\alpha \in\) (0°; 90°)
Pomocí appletu na obr. 3.12 jsme zjistili, že množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(\alpha\) jsou dva shodné kružnicové oblouky, jejichž poloměr a poloha středu se mění podle úhlu \(\alpha\).
Obrázek 3.13: Množina bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(\alpha \in\) (0°; 90°)
Musíme dokázat, že každý bod \(X\) dané množiny má požadovanou vlastnost a zároveň každý bod, který do dané množiny nepatří, požadovanou vlastnost nemá. Úhel \(AS_1B\), resp. \(AS_2B \) na obr. 3.13, je středový úhel příslušný ke kružnicovému oblouku \(AB\), který v daném úhlu leží, a zároveň \(∡ AXB\) je obvodový úhel příslušný kružnicovému oblouku \(AB\), který v daném úhlu leží. Je-li bod \(S_1\), resp. \(S_2\), zkonstruován tak, aby platilo \(|∡ AS_1B|=|∡ AS_2B|=2\alpha\), na základě vztahu mezi středovým a obvodovým úhlem příslušných ke stejnému oblouku musí platit \(|∡ AXB|=\alpha\).
Nyní se podíváme na bod \(Y_1\), který leží vně kružnicového oblouku. V trojúhelníku \(BX_2Y_1 \) musí platit, že součet velikostí vnitřních úhlů je roven 180°. Tedy
|∡ BX_2Y_1|+|∡ X_2Y_1B|+|∡ Y_1BX_2|=180°.
Zároveň však víme, že \(∡ AX_2B=\alpha\) je vedlejší k \(∡ BX_2Y_1\). Platí tedy180°-\alpha+|∡ X_2Y_1B|+|∡ Y_1BX_2|=180°,
což lze upravit na|∡ X_2Y_1B|+|∡ Y_1BX_2|=\alpha.
Z toho plyne, že velikost úhlu \(X_2Y_1B\) je menší než \(\alpha\). Zbývá dokázat, že bod \(Y_2\) ležící uvnitř kruhového oblouku také danou vlastnost nesplňuje. Obdobnou úvahou lze zjistit, že pro \(\triangle BY_2X_2\) platí
|∡ BX_2Y_2|+|∡ X_2Y_2B|+|∡ Y_2BX_2|=180°,
\alpha+|∡ X_2Y_2B|+|∡ Y_2BX_2|=180°.
Úhel \(X_2Y_2B\) je vedlejší k úhlu \(AY_2B\), platí tedy
\alpha+180°-|∡ AY_2B|+|∡ Y_2BX_2|=180°,
\alpha+|∡ Y_2BX_2|=|∡ AY_2B|.
Proto velikost úhlu \(AY_2B\) musí být větší než \(\alpha\). Tím jsme zdůvodnili následující tvrzení.
Množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(\alpha \in\) (0°; 90°), jsou dva větší kružnicové oblouky \(AB\) kružnic \(k_1(S_1, |AS_1|)\) a \(k_2(S_2, |AS_2|)\), které jsou souměrně sdružené podle přímky \(AB\), vyjma bodů \(A\) a \(B\). Pro body \(S_1\) a \(S_2\) platí \(|∡ AS_1B|=|∡ AS_2B|=2\alpha\) a zároveň leží na ose úsečky \(AB\).
\(\alpha\) = 90°
Snadno ověřitelným případem je pravý úhel. Jistě si uvědomíme, že se jedná o kružnici, ze které vyloučíme body \(A\) a \(B\). Tento útvar jsme rozebrali v kapitole Kružnice a kruh, jedná se o Thaletovu kružnici, viz obr. 3.14.
Množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem 90°, je Thaletova kružnice nad průměrem \(AB\).
Obrázek 3.14: Množina bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem 90°
\(\alpha \in\) (90°; 180°)
V appletu na obr. 3.12 bylo možné měnit velikost úhlu \(\alpha\) i na hodnoty z intervalu (90°; 180°). Lze tedy rovnou formulovat následující tvrzení.
Množinou bodů v rovině, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(\alpha \in\) (90°; 180°), jsou dva menší kružnicové oblouky \(AB\) kružnic \(k_1(S_1, |AS_1|)\) a \(k_2(S_2, |AS_2|)\), které jsou souměrně sdružené podle přímky \(AB\), vyjma bodů \(A, B\). Pro body \(S_1\) a \(S_2\) platí \(|∡ AS_1B|=|∡ AS_2B|=360°-2\alpha\) a zároveň leží na ose úsečky \(AB\).
Důkaz uvedeného tvrzení plyne z důkazu pro úhel \(\alpha \in\) (0°; 90°) a využívají se v něm vlastnosti tětivového čtyřúhelníku. 
Obrázek 3.15: Množina bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(\alpha \in\) (90°; 180°)
Příklad 3.2.2
Z uvedených důkazů plyne konstrukce množiny bodů, ze kterých je danou úsečku \(AB\) vidět pod úhlem \(\alpha\). V appletu na obr. 3.17 lze měnit velikost úhlu \(\alpha\). Šipkou v levém dolním rohu zobrazte jednotlivé kroky konstrukce včetně zápisu. Pro další část výkladu je v appletu na obr. 3.17 možné velikosti úhlu \(\alpha\) měnit až do velikosti \(179°\) (při úhlu velikosti \(180°\) by nevznikl trojúhelník \(AXB\)). Na základě appletu zdůvodněte správnost konstrukce množiny bodů dané vlastnosti pro úhly z intervalu (0°; 90°).
Obrázek 3.17: Applet - konstrukce kružnicových oblouků
Konstrukce plyne ze zdůvodnění tvrzení pro úhel z intervalu (0°; 90°). Úhel \(AS_1B\) je středový úhel příslušný ke kružnicovému oblouku \(AB\), který v daném úhlu leží, a zároveň \(∡ AXB\) je obvodový úhel příslušný kružnicovému oblouku \(AB\), který v daném úhlu leží. Jelikož \(\triangle ABS_1\) je rovnoramenný, musí být úhly u vrcholů \(A\) a \(B\) shodné a zároveň musí platit \(|∡ BAS_1|=|∡ ABS_1|=90°-\alpha \). Z toho plyne
180°=|∡ AS_1B|+|∡ ABS_1|+|∡ BAS_1|,
180°=|∡ AS_1B|+90°-\alpha+90°-\alpha=|∡ AS_1B|+180°-2\alpha,
2\alpha=|∡ AS_1B|.
Konstrukce tedy skutečně byla provedena tak, aby úhel \(AS_1B\) byl roven \(2\alpha\). Obdobně by proběhl důkaz pro střed \(S_2\), který je souměrně sdružený se středem \(S_1\) podle osy \(AB\).
Pro úplnost uvedeme další možnosti velikosti úhlu \(\alpha\), a to \(\alpha = 180°\) a \(\alpha = 0°\). V těchto případech se však nejedná o kružnicové oblouky.
\(\alpha\) = 180°
Jako první lze zkoumat \(\alpha=180°\). To nastane pouze tehdy, leží-li bod \(X\) na úsečce \(AB\). Pokud by však bod \(X\) byl shodný s bodem \(A\) nebo \(B\), nevznikl by úhel, musíme tedy tyto body z množiny vyloučit, viz obr. 3.18.
Množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem 180°, je úsečka \(AB\) vyjma bodů \(A\) a \(B\).
Obrázek 3.18: Množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem 180°
\(\alpha\) = 0°
Podobný, ne však stejný případ je pro \(\alpha=0°\). V takovém případě musí bod \(X\) ležet na přímce \(AB\), bez úsečky \(AB\). Zároveň musíme opět vyloučit body \(A\) a \(B\), viz obr. 3.19.
Množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem 0°, je přímka \(AB\) vyjma úsečky \(AB\).
Obrázek 3.19: Množinou bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem 0°
Následující dvě úlohy jsou konkrétním využitím postupu uvedeném v appletu na obr. 3.17, proto se v jejich řešení omezíme pouze na část konstrukce a zápis konstrukce.
Úloha 3.2.1
Je dána úsečka \(AB\), \(|AB|= 5\) cm. Sestrojte množinu bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(40°\).
Konstrukce a zápis konstrukce
Obrázek 3.20: Applet - konstrukce a zápis konstrukce úlohy 3.2.1
Úloha 3.2.2
Je dána úsečka \(AB\), \(|AB|= 6\) cm. Sestrojte množinu bodů, ze kterých je úsečka \(AB\) vidět pod úhlem \(127°\).
Konstrukce a zápis konstrukce
Obrázek 3.21: Applet - konstrukce a zápis konstrukce úlohy 3.2.2
Úloha 3.2.3
Je dána úsečka \(CP\), \(|CP|=\) 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky \(ABC\), pro které úsečka \(CP\) je výškou ke straně \(c\) a zároveň platí \(\beta=50°\) a \(c=4\) cm.
Rozbor
Obrázek 3.22: Ilustrace k řešení úlohy 3.2.3
Jelikož je dána úsečka \(CP\), musíme právě touto úsečkou začít. Strana \(c\) je kolmá k úsečce \(CP\), musí tedy ležet na přímce \(p\), která je kolmá k úsečce \(CP\) a prochází bodem \(P\). Hledaný bod \(B\) leží jednak na přímce \(p\), jednak je bodem množiny bodů \(M\), ze kterých je úsečka \(CP\) vidět pod úhlem 50°, tj. náleží sjednocení kružnicových oblouků \(k_1\) a \(k_2\).
Bod \(B\) je tedy průsečíkem přímky \(p\) a množiny \(M\). Strana \(c\) měří 4 cm, proto je bod \(A\) průsečíkem přímky \(p\) a kružnice se středem v bodě \(B\) a poloměrem 4 cm.
Konstrukce a zápis konstrukce
Obrázek 3.23: Applet - konstrukce a zápis konstrukce úlohy 3.2.3
Závěr
V konstrukci jsou vyznačeny i body \(A_3\) a \(A_4\). Pokud bychom však zkonstruovali trojúhelník \(A_3B_2C\), resp. \(A_4B_1C\), trojúhelníky by nesplňovaly zadání, jelikož velikost úhlu \(\beta\) by potom nebyla \(50°\). Úloha 3.2.3 má tedy 2 řešení, viz applet na obr. 3.23.
