Matematická analýza I - MAF051, 2009-2010, zimní semestr

Petr Kaplický, MFF UK, Katedra matematické analýzy,

Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

kaplicky@karlin.mff.cuni.cz, tel. (+420) 221 913 263

Kancelář: Karlín, 2. patro, KMA

Cvičení

Budeme psát 3. zápočtové písemky po 45 minutách (a jednu mimoradnou). Předběžný plán: Podmínky pro udělení nebo neudělení zápočtu jsou v pravomoci cvičícího. Na mém cvičení budu udělovat zápočty takto: za každou písemku udělím 10 bodů, kdo získá 17 bodů a více dostane zápočet, kdo stanovený počet bodů nezíská bude si dvakrát moci vyzkoušet napsat zkouškovou písemku, pokud z ní alespoň jednou získá 35% bodů, získá zápočet. V opačném případě zápočet nezíská, nemůže skládat zkoušku a musí předmět opakovat následující rok. Jediná povolená výjimka jsou kombinovaní studenti, kteří se se mnou domluví do konce října. Varování na konec: zkoušková písemka bude obtížnější, než zápočtová.

Výsledky ze cvičení zahrnu do zkoušky. Cvičící ohodnotí vaše výsledky na cvičení dvěma čísly: podle výsledků písemek v rozmezí 1-5 a podle aktivity na cvičení v rozmezí 1-5. Součet těchto čísel bude tvořit 10% zkoušky.

Příklady na cvičení:

Podívejte se také na www stránku doc. Pražáka k stejné přednášce minulý rok.

Přednáška

Jak budou vypadat zkoušky z MAF051?

Literatura:
Plán přednášky:

Přednáška 1: úvod, motivace, Kapitola 1: logika, množiny, reálná čísla, Věta A (Vlastnost A1,

Přednáška 2: A2, A3, A4), Lemma 1.1(abs. hodnota a nerovnosti), Věta 1.1 (troj. nerovnost),Definice (max, min, sup, inf), Věta B (odmocnina), Věta 1.2 (irac. čísla)

Přednáška 3: Věta 1.3 (hustota Q a R-Q), Kapitola 2 (Reálné funkce, limita a spojitost): funkce prostá, na, invezní, složená, monotonní, lichá, sudá, periodická, omezená

Přednáška 4: okolí v R, Věta 2.1 (Hausdorffův princip oddělení), Definice limity, příklady

Přednáška 5: Definice (jednostranné limity), Věta 2.2 (limita x jednostr. limity), pozorování (limita), definice (omezená fce), Lemma 2.1 (limita x omezenost), Lemma 2.2 (omezená krát nulová), Věta 2.3 (aritmetika limit)

Přednáška 6: Věta 2.4 (o strážnících), Věta 2.5 (limita nerovností), Věta 2.6 (monotonie a ex limity), Definice (spojitost), Věta 2.7 (limita a spojitost), Věta 2.8 (aritmetika spojitosti)

Přednáška 7: Věta 2.9 (limita superpozice), Věta 2.10 (spojitost složené funkce), Definice (spojitost v bodě zprava a zleva), Definice (spojitost na I), Věta 2.11 (existence inverzní fce)důkaz ze skript [Kopáček I], Definice R^*, Věta C (exp), Věta 2.12 (vlastnosti exp), Definice (ln), Věta 2.13 (vlastnosti lg), Definice (obecná mocnina), Věta D (sin, cos)

Přednáška 8: Věta 2.14 (vlastnosti sin a cos), Definice (další elementární funkce), vlastnosti základních elementáních funkcí, Definice(elementární funkce)

Přednáška 9 Kapitola 3 (Derivace), Definice (derivace), Definice (jednostranné derivace), Věta 3.1 (derivace a spojitost), Věta 3.2 (derivace součtu, součinu, podilu),

Přednáška 10 Lemma 3.1, Věta 3.3 (derivace složené fce) Věta 3.4 (derivace inverzní funkce), Definice (k-ta derivace), Věta 3.5 (Leibnizovo pravidlo),

Přednáška 11, Definice (derivace ve smeru, parcialni derivace), Cvičení (fundamentální harmonická funkce, fundamentální řešení RVT), Definice (lineární ODR 2. řádu a její řešení), Věta 3.6 (tvar množiny řešení homogenní lineární ODR 2. řádu), Věta 3.7 (tvar množiny řešení nehomogenní lineární ODR 2. řádu), Věta 3.8 (variace konstant), Věta 3.9 (popis množiny řešení homogenní lineární ODR 2. řádu s konstatními koneficienty), Příklad (tlumené kmity)

Přednáška 12, (Kapitola 4 (Primitivní funkce) Definice (PF), Věta 4.1 (), Věta 4.2 (), Věta 4.3 (), Věta 4.4 (),

Přednáška 13, , integrace racionálních funkcí, Věta E (), typové substituce vedoucí na integraci racionálních funkcí

Přednáška 14, Kapitola 5 (Limity podruhé) Definice (limita fce-nevlastní i v nevlastním bodě), Věta 5.1 (),

Přednáška 15, Věta 5.2 (), Věta 5.3 (), Věta 5.4 (), Definice (posloupnost), Definice (limita posloupnosti), Definice (omezená, monotonní posloupnost), Věta 5.5 (), Věta 5.6 (),

Přednáška 16, Definice (hromadný bod), Definice (podposloupnost), Věta 5.7 (), Věta 5.8 (), Definice (BC podm.), Věta 5.9 (),

Přednáška 17, Věta 5.10 (), Věta 5.11 (), Kapitola 6 (Hlubší vlastnosti funkcí-spojitost, derivace) Lemma 6.1 (), Definice (extrémy), Věta 6.2 (), Věta 6.3 (),

Přednáška 18, Věta 6.4 (), Věta 6.5 (), Věta 6.6 (), Věta 6.7 (), Definice (konvexita, konkavita), Věta 6.8 (), Věta 6.9 (),

Přednáška 19, Definice (inflexni bod, asymptoty), Definice (Darbouxova vlastnot), Věta 6.11 (), Poznámka 6.12 (), Poznámka 6.13 (), dokazali jsme vety V 2.11 důkaz ze skript [Kopáček I], V B-hlavni ingredience byli V 6.11 a L 6.13

Přednáška 20, Věta 6.14 (), Věta 6.15 (), Kapitola 7 (Aproximace funkcí polynomy) Definice (malé ó, velké Ó a řádová rovnost),

Přednáška 21, Lemma 7.1 (), Definice (C^k(I)), Definice (Taylorův polynom), Věta 7.1 (), Věta 7.2 (),

Přednáška 22, Věta 7.3 (), Definice (Zbytek T. polynomu), Věta 7.4 (), Taylorovy polynomy exp konvergují, odhad e, e je iracionální čísloKapitola 8 (Určitý integrál) Definice (zobecněná pf), Lemma 8.1 (), Definice (Newtonův integrál),

Přednáška 23, Věta 8.1 (), Věta 8.2 (), Věta 8.3 (), Lemma 8.2 (), tyto vety byly skoro bez dukazu Definice (dělení intervalu), Lemma 8.3 (), Definice (horní a dolní Riemannův interál), Definice (Riemannův integrál),

Přednáška 24, pozn: linearita na monotonie Lemma 8.4 (), Věta 8.4 (), Lemma 8.5 (), Věta 8.5 (), Věta 8.6 (),

Maximální plán (aneb co se nestihlo): Lemma 8.2 (), Lemma 8.3 (), Věta 8.3 (), Věta 8.4 (), Věta 8.6 (), Věta 8.7 (), Věta 8.8 (), Věta 8.9 (), Věta 8.10 (), Věta 8.11 (), Věta 8.12 (), Věta 8.13 (),

Nebude! Lemma (), Lemma 6.3 (), pro zvidave: f konvexni na otevrenem intervalu I => pro kazde x v I existuje derivace f zprava a zleva (zkuste dokazat primo z definice derivace a konvexity pomoci V 2.6, pokud to nepujde podivejte se na vetu 97 v Jarnikovi D2