Úloha
Určete \(k\)-tý člen posloupnosti\(\Bigg\{{{-1}\over{27}}, {{-1}\over{9}}, {{-1}\over{3}}, -1, -3, \ldots \Bigg\}\)\(k = 6\)
- Tato posloupnost je zadána pouze výčtem několika prvních členů. Pokud tedy chceme znát některý z následujících členů, potřebujeme odhadnout závislost mezi těmi zadanými.
- \(\Bigg\{\underbrace{{{-1}\over{27}}, {{-1}\over{9}}}_{\cdot 3}, \underbrace{{{-1}\over{3}}, -1}_{\cdot 3}, -3, \ldots \Bigg\}\)
- Každý člen získáme tak, že vynásobíme předchozí třemi. Šestý člen tady získáme tak, že vynásobíme pátý třemi.
- \(a_5 = -3 \Rightarrow a_6 = -3 \cdot 3 = -9\)
Úloha
Určete \(k\)-tý člen posloupnosti
\(a_n = n\cdot2^{-n}\)
\(k = 4\)
- Tato posloupnost je zadána vzorcem pro \(n\)-tý člen. Čtvrtý člen tedy získáme tak, že do vzorce za \(n\) dosadíme \(4\).
- \(a_4 = 4 \cdot 2^{-4} = {4 \over 2^{4}} = {1 \over 4}\)
Úloha
Určete \(k\)-tý člen posloupnosti
\(a_1 = -3\)
\(a_2 = -1\)
\(a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n\)
\(k = 5\)
- Tato posloupnost je zadána rekurentně pomocí předcházejících dvou členů. Pokud chceme získat pátý člen, potřebujeme znát třetí a čtvrtý. Ovšem abychom získali například čtvrtý člen, potřebujeme dva předcházející. Nezbude tady nic jiného, než spočítat všechny předcházející členy.
- \(a_1 = -3\)
\(a_2 = -1\) - \(a_3 = 2 \cdot a_2 - a_1 = 2 \cdot (-1) - (-3) = 1\)
\(a_4 = 2 \cdot a_3 - a_2 = 2 \cdot 1 - (-1) = 3\)
\(a_5 = 2 \cdot a_4 - a_3 = 2 \cdot 3 - 1 = 5\)
Úloha
Posloupnost je dána rekurentně. Určete vzorec pro \(n\)-tý člen této posloupnosti
\(a_1 = 5\)
\(a_{n+1} = a_n + 4\)
- Vzorec pro \(n\)-tý člen lze určit více způsoby. Zdá se, že nejjednodušší je ho uhádnout. Takovýto postup ale potom vyžaduje důkaz správnosti tohoto odhadu. Jiná možnost je například zvolit postup popsaný v teoretické části. Tento příklad je jako stvořený právě pro postup uvedený v teoretické části.
- Vypíšeme si prvních \(n\) členů ...
\(a_1 = -2\)
\(a_2 = a_1 - 3\)
\(a_3 = a_2 - 3\)
\(\ldots\)
\(a_n = a_{n-1} - 3\)
- ... a tyto rovnosti sečteme ...
\(a_1 + a_2 + \ldots + a_n = -2 + a_1 - 3 + a_2 - 3 + \ldots + a_{n-1} - 3\) - ... po úpravě dostaneme ...
\(a_n = -2 + (n-1)(-3) = -3n + 1\)
Úloha
Posloupnost je dána rekurentně. Určete vzorec pro \(n\)-tý člen této posloupnosti
\(a_1 = 1\)
\(a_2 = 3\)
\(a_n = 4a_{n-1} - 3a_{n-2}\)
- Vzorec pro \(n\)-tý člen lze určit více způsoby. Zdá se, že nejjednodušší je ho uhádnout. Takovýto postup ale potom vyžaduje důkaz správnosti tohoto odhadu. Jiná možnost je například zvolit postup popsaný v teoretické části. V tomto případě by nám postup z předhozí úlohy příliš nepomohl. Zkusíme řešení tedy uhádnout, a poté dokázat jeho správnost.
- Řešení se nejlépe pozná z několika prvních členů ...
\(\{ 1, 3, 9, 27, 81, \ldots \}\) - Z prvních pár členů se zdá, že by posloupnost mohly tvořit mocniny čísla \(3\)
\(a_n = 3^{n-1}\)
Toto je ale pouze hypotéza. Její pravdivost je třeba dokázat. - Důkaz provedeme indukcí:
1. pro \(n = 1\) a \(n = 2\) je naše hypotéza správná - 2. Nechť tedy naše tvrzení platí pro \(k - 1\) a \(k - 2\)
indukční předpoklad
\(a_{k-1} = 3^{k-2}\)
\(a_{k-2} = 3^{k-3}\)
... jak bude vypadat člen \(a_k\) - \(a_k = 4a_{k-1} - 3a_{k-2} = 4 \cdot 3^{k-2} - 3 \cdot 3^{k-3} = 4 \cdot 3^{k-2} - 3^{k-2} = (4 - 1) \cdot 3^{k-2} = 3^{k-1}\)
