Speciální posloupnosti

Různých druhů posloupností je mnoho. V této kapitole se blíže seznámíme se dvěma speciálními typy posloupností. Budou to aritmetické posloupnosti a geometrické posloupnosti.

Aritmetická posloupnost

Definice

Posloupnost \((a_n)\) se nazývá aritmetická právě tehdy, když

\(\exists d \in R \; \forall n \in N\) platí \(a_{n+1} = a_n + d\)

Číslo \(d\) se nazývá diference aritmetické posloupnosti.
Obr. 4.1: Graf aritmetické posloupnosti
Obr. 4.1: Graf aritmetické posloupnosti

Posloupnosti jsou speciálním typem funkcí. Aritmetická posloupnost je "odvozená" od lineární funkce. Každou lineární funkci lze zapsat ve tvaru

\(y = k \cdot x + q\)

a každou aritmetickou posloupnost zase můžeme zapsat ve tvaru

\(a_n = d(n - 1) + a_1\)
\(a_n = d \cdot n + (a_1 - d)\)

... a to je právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního) je aritmetickým průměrem "svých sousedů".
\(\forall n \in N - \{1\}\) platí \(a_n = {{a_{n-1} + a_{n+1}} \over 2}\)

Příklady

\(\{-1, 1, 3, 5, 7, \ldots \} \longrightarrow\) diference \(d = 2\)
\(a_n = -5n - 13 \longrightarrow\) diference \(d = -5\) Zobrazit řešení
\(a_n = a_{n-1} + 0,1\), \(a_1 = 1 \longrightarrow\) diference \(d = 0,1\)

Vlastnosti aritmetických posloupností

monotónnost
  • rostoucí \(\Leftrightarrow d \gt 0\)
  • klesající \(\Leftrightarrow d \lt 0\)
omezenost
  • shora omezená \(\Leftrightarrow d \lt 0\)
  • zdola omezená \(\Leftrightarrow d \gt 0\)
  • omezená \(\Leftrightarrow d = 0\)
Příklady

\(\{-1, 1, 3, 5, 7, \ldots \} \longrightarrow\) diference \(d = 2\), rostoucí, zdola omezená
\(a_n = -5n - 13 \longrightarrow\) diference \(d = -5\), klesající, shora omezená
\(a_n = a_{n-1} + 0,1\), \(a_1 = 1 \longrightarrow\) diference \(d = 0,1\), rostoucí, zdola omezená

Vztahy platící pro aritmetické posloupnosti

Věta

Nechť \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je aritmetická posloupnost s prvním členem \(a_1\) a diferencí \(d\), potom platí
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
zobraz důkaz

Věta

Nechť \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je aritmetická posloupnost s prvním členem \(a_1\) a diferencí \(d\), potom pro součet \(s_n\), prvních \(n\) členů této aritmetické posloupnosti platí
\(s_n = {n \over 2} (a_1 + a_n)\)
zobraz důkaz