Konečné řady
U konečných řad nemá smysl se bavit o tom, zda řadu jde nebo nejde sečíst. Konečně mnoho čísel jde vždy sečíst (přinejhorším hrubou silou).
Na sečtení řady, která vznikne například z posloupnosti \(\{ 5, 11, 3 \}\) opravdu není potřeba žádný vzorec \(\sum_{i = 1}^{3} a_i = 5 + 11 + 3 = 19\)
Tato metoda ale není nejvhodnější, pokud má řada víc členů (sečtěte prvních \(10 625\) členů posloupnosti ...). Pro takové případy lze odvodit vzorce na součet několika základních konečných řad.
\(\sum_{k = 1}^{n} k = {n \over 2}(1 + n)\)
\(\sum_{k = 1}^{n} k^2 = {n \over 6}(n + 1)(2n + 1)\)
Odvození vzorce
Ze znalosti vzorce \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\) víme ...
\((n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\)
\(n^3 = (n - 1)^3 + 3(n - 1)^2 + 3(n - 1) + 1\)
\((n - 1)^3 = (n - 2)^3 + 3(n - 2)^2 + 3(n - 2) + 1\)
...
\(2^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1\)
... všechny tyto rovnosti sečteme ...
\(\sum_{k = 1}^{n} (k + 1)^3 = \sum_{k = 1}^{n} k^3 + 3 \sum_{k = 1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k = 1}^{n} + n\)
... a postupně upravíme pomocí již známých vzorců ...
\((n + 1)^3 - 1^3 - 3{n \over 2}(1 + n) - n = 3 \sum_{k = 1}^{n} k^2\)
\(\sum_{k = 1}^{n} k^2 = {n \over 6}(n + 1)(2n + 1)\)
\(\sum_{k = 1}^{n} k^3 = \Bigg ({\sum_{k = 1}^{n} k}\Bigg )^2 = {n^2 \over 4}(1 + n)^2\)
