Úlohy
Úloha
Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající \(\Bigg(1 - {{11}\over{n}} \Bigg)_{n=1}^{\infty}\)
- \(a_n = 1 - {1 \over n}\)
\(a_{n+1} = 1 - {1 \over {n+1}}\) - \(a_n - a_{n+1} = \Bigg (1 - {1 \over n} \Bigg ) - \Bigg (1 - {1 \over {n+1}} \Bigg ) = {-1 \over {n(n+1)}} \lt 0\)
- Protože pro všechna \(n\) platí, že \(a_n - a_{n+1} \lt 0\)
tedy, \(a_n \lt a_{n+1}\) je posloupnost rostoucí
Úloha
Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající \(\Bigg({{2}\over{n + 3}} \Bigg)_{n=1}^{\infty}\)
- \(a_n = {2 \over {n + 3}}\)
\(a_{n+1} = {2 \over {n+4}}\) - \(a_n - a_{n+1} = \Bigg ({2 \over {n + 3}} \Bigg ) - \Bigg ({2 \over {n+4}} \Bigg ) = {2 \over {(n+3)(n+4)}} \gt 0\)
- Protože pro všechna \(n\) platí, že \(a_n - a_{n+1} \gt 0\)
tedy, \(a_n \gt a_{n+1}\) je posloupnost klesající
Úloha
Rozhodněte, zda je posloupnost rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající \((n^2 - 10n + 1)_{n=1}^{\infty}\)
- \(a_n = n^2 - 10n + 1\)
\(a_{n+1} = (n+1)^2 - 10(n+1) + 1\) - \(a_n - a_{n+1} = (n^2 - 10n + 1) - (n^2 + 2n + 1 - 10n - 10 + 1) = -2n + 9\)
- Tento výraz je pro přirozená \(n \lt 4\) záporný, jinak je kladný. Neplatí tedy, že je pro všechna \(n\), co se týká znaménka, stejný.
- Tato posloupnost tedy není ani rostoucí ani klesající.
