Geometrická posloupnost

Definice

Posloupnost \((a_n)\) se nazývá geometrická právě tehdy, když

\(\exists q \in R \; \forall n \in N\) platí \(a_{n+1} = a_n \cdot q\)

Číslo \(q\) se nazývá kvocient aritmetické posloupnosti.
Obr. 4.2: Graf geometrické posloupnosti
Obr. 4.2: Graf geometrické posloupnosti

Stejně jako je aritmetická posloupnost "odvozená" od lineární funkce, je geometrická posloupnost "odvozená" od exponenciální funkce tvaru

\(y = k \cdot z^x\)

Každou geometrickou posloupnost lze zapsat ve tvaru

\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(a_n = a_1 \cdot {1 \over q} \cdot q^n\)

... a to je právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního) je geometrickým průměrem "svých sousedů".
\(\forall n \in N - \{1\}\) platí \(a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}\)

Příklady

\(\{-1, 1, -1, 1, -1, \ldots \} \longrightarrow\) kvocient \(q = -1\)
\(a_n = {1 \over {2^n}} \longrightarrow\) kvocient \(q = {1 \over 2}\) Zobrazit řešení
\(a_n = 4a_{n-1}\), \(a_1 = 1 \longrightarrow\) kvocient \(q = 4\)

Vlastnosti geometrických posloupností

monotónnost
  • rostoucí \(\Leftrightarrow a_1 \gt 0\), \(q \gt 1\) nebo \(a_1 \lt 0\), \(0 \lt q \lt 1\)
  • klesající \(\Leftrightarrow a_1 \gt 0\), \(0 \lt q \lt 1\) nebo \(a_1 \lt 0\), \(q \gt 1\)
omezenost
  • shora omezená \(\Leftrightarrow a_1 \lt 0\), \(q \gt 1\)
  • zdola omezená \(\Leftrightarrow a_1 \gt 0\), \(q \gt 1\)
  • omezená \(\Leftrightarrow |q| \lt 1\) nebo \(|q| = 1\) nebo \(a_1 = 0\)
Příklady

\(\{-1, 1, -1, 1, -1, \ldots \} \longrightarrow\) kvocient \(q = -1\), \(a_1 = -1\), ani rostoucí, ani klesající, omezená
\(a_n = {1 \over {2^n}} \longrightarrow\) kvocient \(q = {1 \over 2}\), \(a_1 = {1 \over 2}\), klesající, omezená
\(a_n = 4a_{n-1}\), \(a_1 = 1 \longrightarrow\) kvocient \(q = 4\), \(a_1 = 1\), rostoucí, zdola omezená

Vztahy platící pro geometrické posloupnosti

Věta

Nechť \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je geometrická posloupnost s prvním členem \(a_1\) a kvocientem \(q\), potom platí
\(a_n = a_{1} \cdot q^{n-1}\)
zobraz důkaz

Věta

Nechť \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) je geometrická posloupnost s prvním členem \(a_1\) a kvocientem \(q\), potom pro součet \(s_n\), prvních \(n\) členů této geometrické posloupnosti platí

\(s_n = na_1\) pokud \(q = 1\)

\(s_n = a_1 {{q^n - 1} \over {q-1}}\) pokud \(q \not = 1\)
zobraz důkaz