Řady

S pojmem posloupnost je úzce spojen pojem řada. Řada vznikne sečtením prvků posloupnosti. Pokud je posloupnost konečná, vznikne konečná řada, pokud je posloupnost nekonečná, vznikne sečtením jejích členů nekonečná řada.

Definice

Je dána posloupnosti (a_n). Výraz tvaru

a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots

se nazývá řada.

Členy posloupnosti se nazývají členy řady.

Pokud je posloupnost konečná, tedy (a_n)_{n=1}^{k} vznikne konečná řada a zapisuje se
\sum_{n=1}^k a_n
Pokud je posloupnost nekonečná, tedy (a_n)_{n=1}^{\infty} vznikne nekonečná řada a zapisuje se
\sum_{n=1}^{\infty} a_n

Jelikož řada je definovaná jako součet, budeme se hlavně zajímat o to, zda danou řadu lze nebo nelze sečíst, a pokud ano, tak jaký je tento součet.

Nekonečné řady

Definice

Řada se nazývá konvergentní, pokud je její součet reálné číslo. V opačném případě se řada nazývá divergentní.

Pojem konvergence a divergence je známý již z limit. Zde se vyskytuje zcela oprávněně, protože možnost sečíst řadu opravdu souvisí s existencí limity určité posloupnosti a to posloupnosti částečných součtů.

Posloupnost částečných součtů (s_n)

Máme dánu posloupnost (a_n). Člen posloupnosti částečných součtů s_k vznikne jako součet a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k. Tedy

s_1 = a_1
s_2 = a_1 + a_2
s_3 = a_1 + a_2 + a_3
...
s_k = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_k
...


Příklad

Je dána posloupnost a_n = {1 \over 2^n} = \{ {1 \over 2}, {1 \over 4}, {1 \over 8}, {1 \over 16}, \ldots \}

Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:

s_1 = a_1 = {1 \over 2} = 0,5Zobrazit řešení
s_2 = a_1 + a_2 = {1 \over 2} + {1 \over 4} = 0,75Zobrazit řešení
s_3 = a_1 + a_2 + a_3 = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} = 0,875Zobrazit řešení
s_41 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} = 0,9375Zobrazit řešení
s_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_ 5 = {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + {1 \over 32} = 0,96875Zobrazit řešení
...

Z tohoto příkladu by už mohlo být vidět, jak souvisí součet řady s posloupností částečných součtů. Je vidět, že členy této posloupnosti se se vzrůstajícím n stále více blíží k 1. Můžeme se tedy domnívat, že součet "všech" členů posloupnosti (a_n), tedy součet řady bude právě 1.

Součet nekonečné řady

Věta

Řada je konvergentní právě tehdy, když je konvergentní posloupnost částečných součtů a limita posloupnosti částečných součtů je rovna součtu této řady. \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_n

Poznámka

Zde je potřeba si uvědomit, že součet řady se nerovná limitě původní posloupnosti, ale limitě posloupnosti částečných součtů!

Příklad

Vezmeme posloupnost z minulého příkladu, tedy a_n = {1 \over 2^n} = \{ {1 \over 2}, {1 \over 4}, {1 \over 8}, {1 \over 16}, \ldots \}

Tato posloupnost je geometrická (a_1 = {1 \over 2}, q = {1 \over 2}, podle vzorce umíme tedy sečíst vždy prvních k členů.

Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:

s_1 = {1 \over 2} = {1 \over 2} s_2 = {1 \over 2} + {1 \over 4} = {3 \over 4} ...
s_k = a_1 {{q^k - 1} \over {q - 1}} = {1 \over 2}{{({1 \over 2})^k - 1} \over {({1 \over 2}) - 1}} = 1 - \Bigg({1 \over 2}\Bigg)^{k} ...

Součet řady bude tedy vypadat následovně:

\sum_{n = 1}^{\infty} {1 \over {2^n}} = \lim_{n \to \infty} 1 - {1 \over {2^n}} = \lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} {1 \over {2^n}} = 1 - 0 = 1

Tato řada konverguje, protože konverguje posloupnost částečných součtů.

Příklad

Nyní zkusíme, jak bude vypadat řada vzniklá z posloupnosti a_n = n = \{1, 2, 3, 4, \ldots \}

Tato posloupnost je aritmetická (a_1 = 1, d = 1, podle vzorce umíme tedy sečíst vždy prvních k členů.

Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:

s_1 = 1 = 1 s_2 = 1 + 2 = 3 ... Zobrazit řešení
s_k = {k \over 2}(a_1 + a_k) = {k \over 2}(1 + k) = {1 \over 2}(k + k^2) ...

Součet řady bude tedy vypadat následovně:

\sum_{n = 1}^{\infty} n = \lim_{n \to \infty} {1 \over 2} (n + n^2) = \infty

Tato řada je divergentní, protože diverguje posloupnost částečných součtů.

Nekonečná geometrická řada

Speciálním typem nekonečné řady je nekonečná geometrická řada. Ta vznikne z geometrické posloupnosti. Tato řada má tu příjemnou vlastnost, že existuje jednoduché kritérium konvergence a pokud je řada konvergentní, lze pomocí vzorce vyjádřit její součet.

Máme nekonečnou geometrickou řadu s prvním členem a_1 a kvocientem q, potom ...

|q| \lt 1 \longrightarrow řada konverguje
|q| \ge 1 \longrightarrow řada diverguje

Věta

Nechť (a_n)_{n=1}^{\infty} je geometrická posloupnost pro jejíž kvocient q platí |q| \lt 1.
Nechť (s_n) je posloupnost částečných součtů.
Potom je (s_n) konvergentní a platí:\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} s_n = a_1 {1 \over {1 - q}}