Věty o spojitosti
Věta
Je-li funkce \(f\) spojitá v bodě \(a\), pak
- \(\exists \Delta \gt 0 \) tak, že \(f\) je omezená na \(\mathrm{U}(a,\,\Delta)\)
- \(\exists \Delta \gt 0 \quad \exists K \gt 0 \quad \forall x, x\in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow |f(x)| \lt K\)
- je-li navíc \(f(a) \gt 0\) pak \(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(x) \gt \, ^{f(a)}/_2\)
- je-li navíc \(f(a) \lt 0\) pak \(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(x) \lt \, ^{f(a)}/_2\)
- je-li navíc \(f(a) \neq 0\) pak \(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(x) \neq 0\)
- Vyjdeme z definice spojitosti funkce v bodě. Zvolme \(\varepsilon, \, \varepsilon = 1\). Pak
\(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x\, x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(a) - 1 \lt f(x) \lt f(a) + 1\).
Je tedy skutečně \(f\) omezená na \(\mathrm{U}(a,\,\Delta)\).
- S využitím předchozího bodu dostáváme
\(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x\, x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(a) - 1 \lt f(x) \lt f(a) + 1\)
Zvolme \(K,\,K = \mathrm{max}(|f(a) - 1|,\,|f(a) + 1|)\). Pak platí
\(\forall x\,x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow |f(x)| \lt K\), což jsme chtěli dokázat.
- Zvolme \(\varepsilon,\,\varepsilon = ^{f(a)}/_2,\,\varepsilon \gt 0\). Pak
\(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x\,x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(a) - \varepsilon \lt f(x) \lt f(a) + \varepsilon\)
což upravíme na
\(^{f(a)}/_2 \lt f(x) \lt ^{3f(a)}/_2\)
Skutečně tedy \(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x \, x \in \mathrm{U}(a,\, \Delta) \Rightarrow 0 \lt ^{f(a)}/_2 \lt f(x)\)
- Zvolme \(\varepsilon,\,\varepsilon = -^{f(a)}/_2,\,\varepsilon \gt 0\). Pak
\(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x\,x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow f(a) - \varepsilon \lt f(x) \lt f(a) + \varepsilon\)
což upravíme na
\(^{3f(a)}/_2 \lt f(x) \lt ^{f(a)}/_2\)
Skutečně tedy \(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x \, x \in \mathrm{U}(a,\, \Delta) \Rightarrow f(x) \lt ^{f(a)}/_2\)
-
Plyne z předchozích dvou bodů.
Poznámka
Funkce spojitá v bodě \(a\) má na okolí tohoto bodu zajímavé vlastnosti, které lze využít hlavně v důkazech.
Věta
Jsou-li funkce \(f\), \(g\) spojité v bodě \(a\), pak
- |\(f\)| je funkce spojitá v bodě \(a\)
- \(f + g\) je funkce spojitá v bodě \(a\)
- \(f - g\) je funkce spojitá v bodě \(a\)
- \(f \cdot g\) je funkce spojitá v bodě \(a\)
- je-li navíc \(g(a) \neq 0\), pak i \(\frac {f} {g}\) je funkce spojitá v bodě \(a\)
- Nechť je libovolně pevně zvoleno \(\varepsilon \gt 0\).
\(\exists \delta \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta) \Rightarrow |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon\).
Platí tedy:
\(\exists \delta \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta) \Rightarrow ||f(x)| - |f(a)|| \leq |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon\).
a funkce |\(f\)| je tedy spojitá v bodě \(a\).
- Nechť je libovolně pevně zvoleno \(\varepsilon \gt 0\).
\(\exists \delta_{1} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{1}) \Rightarrow |f(x) - f(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_2\)
\(\exists \delta_{2} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{2}) \Rightarrow |g(x) - g(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_2\)
Zvolme \(\delta, \, \delta = \mathrm{min} (\delta_{1},\,\delta_{2})\)
Pro každé \(x \in \mathrm{U}(a,\, \delta)\) platí:
\(|(f(x) + g(x)) - (f(a) + g(a))| = |(f(x) - f(a)) + (g(x) - g(a))| \leq \)
\(\leq |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_2 + \, ^{\varepsilon}/_2 = \varepsilon\)
Funkce \(f + g\) je tedy spojitá v bodě \(a\).
- Nechť je libovolně pevně zvoleno \(\varepsilon \gt 0\).
\(\exists \delta_{1} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{1}) \Rightarrow |f(x) - f(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_2\)
\(\exists \delta_{2} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{2}) \Rightarrow |g(x) - g(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_2\)
Zvolme \(\delta, \, \delta = \mathrm{min} (\delta_{1},\,\delta_{2})\)
Pro každé \(x \in \mathrm{U}(a,\, \delta)\) platí:
\(|(f(x) - g(x)) - (f(a) - g(a))| = |(f(x) - f(a)) + (g(a) - g(x))| \leq \)
\(\leq |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_2 + \, ^{\varepsilon}/_2 = \varepsilon\)
Funkce \(f - g\) je tedy spojitá v bodě \(a\).
- Nechť je libovolně pevně zvoleno \(\varepsilon \gt 0\).
\(\exists \Delta \gt 0 \quad \exists K \gt 0 \quad \forall x \, x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow |f(x)| \lt \, K\)
Z předpokladů věty dostaneme
\(\exists \delta_{1} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{1}) \Rightarrow |f(x) - f(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_{2|g(a)|}\)
\(\exists \delta_{2} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{2}) \Rightarrow |g(x) - g(a)| \lt \, ^{\varepsilon}/_{2K}\)
Zvolme \(\delta, \, \delta = \mathrm{min} (\Delta,\, \delta_{1},\,\delta_{2})\)
Pro každé \(x \in \mathrm{U}(a,\, \delta)\) platí:
\(|(f(x)g(x)) - (f(a)g(a))| = |(f(x)g(x)) - f(x)g(a) + f(x)g(a) - f(a)g(a)| \leq\)
\(\leq |f(x)||g(x) - g(a)| + |g(a)||f(x) - f(a)| \lt K(^{\varepsilon}/_{2K}) + |g(a)|(^{\varepsilon}/_{2|g(a)|}) = \varepsilon\)
Funkce \(f \cdot g\) je tedy spojitá v bodě \(a\).
-
Dokážeme, že funkce \(^1/_g\) je spojitá v bodě \(a\).
Nechť je libovolně pevně zvoleno \(\varepsilon \gt 0\).
Dle předchozí věty (body 4 a 5) platí
\(\exists \Delta \gt 0 \quad \forall x,x \in \mathrm{U}(a,\,\Delta) \Rightarrow |g(x)| \gt \frac{|g(a)|}{2} \gt 0\)
Ze spojitosti funkce \(g\) plyne
\(\exists \delta_{1} \gt 0 \quad \forall x, x \in \mathrm{U}(a,\,\delta_{1}) \Rightarrow |g(x) - g(a)| \lt \frac{|g(a)|^{2}}{2}\)
Definujme \(\delta, \, \delta = \mathrm{min} (\Delta,\, \delta_{1})\)
Pro každé \(x \in \mathrm{U}(a,\,\delta)\) platí
\(\left |\frac{1}{g(x)} - \frac {1}{g(a)} \right| = \frac {|g(x) - g(a)|}{|g(x)||g(a)|} \lt \frac{\varepsilon |g(a)|^2}{2} \frac{1}{\frac{|g(a)|}{2} |g(a)|} = \varepsilon\)
Funkce \(^1/_g\) je tedy spojitá v bodě \(a\).
Poznámka
Jsou-li funkce \(f\) a \(g\) spojité v bodě \(a\), pak můžeme o součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí prohlásit, že se jedná o funkci spojitou v bodě \(a\).
Věta
Je-li funkce \(g\) spojitá v bodě \(a\) a funkce \(f\) spojitá v bodě \(g\)(\(a\)), pak je složená funkce \(f \circ g\) spojitá v bodě \(a\).
Větu dokážeme z definice spojitosti funkce v bodě.
Nechť je dáno \(\varepsilon \gt 0\). Použijeme předpoklady věty:
ze spojitosti funkce \(f\) v bodě \(g\)(\(a\)) plyne
\(\exists ta \gt 0 \quad \forall y,y \in \mathrm{U}(g(a),\,ta) \Rightarrow |f(y) - f(g(a))| \lt \varepsilon\)
ze spojitosti funkce \(g\) v bodě \(a\) plyne
\(\exists \delta \gt 0 \quad \forall x,x \in \mathrm{U}(a,\,\delta)\) platí \(|g(x) - g(a)| \lt ta\)
Potom pro každé \(x \in \mathrm{U}(a,\,\delta)\) platí \(|f(g(x)) - f(g(a))| \lt \varepsilon\)
a tedy \(f \circ g\) je spojitá v bodě \(a\).
Poznámka
Složením spojitých funkcí získáme opět spojitou funkci.
Věta Weierstrassova
Je-li funkce \(f\) spojitá v uzavřeném intervalu \(\langle a, \, b \rangle\), existuje alespoň jeden takový bod \(x_{1} \in \langle a,\,b \rangle\), že pro všechna \(x \in \langle a,\, b \rangle\) platí \(f(x) \leq f(x_{1})\), a alespoň jeden takový bod \(x_{2} \in \langle a,\,b \rangle\), že pro všechna \(x \in \langle a,\,b \rangle\) platí \(f(x) \geq f(x_{2})\).
Tato věta je bez důkazu kvůli matematickému pojmu, který se na střední škole neučí. Pokud Vás důkaz přesto zajímá, lze jej nalézt např. v knize Jarník, V.: Diferenciální počet I
Poznámka
Je-li funkce \(f\) spojitá v uzavřeném intervalu \(\langle a, \, b \rangle\), pak nabývá v alespoň jednom bodě svého maxima a v alespoň jednom bodě svého minima.
Věta Bolzano-Weierstrassova
Je-li funkce \(f\) spojitá v uzavřeném intervalu \(\langle a, \, b \rangle\) a \(f(a) \neq f(b)\), potom ke každému číslu \(d \in (f(a), \, f(b))\),
existuje alespoň jeden takový bod \(c \in (a, \, b)\), že \(f(c) = d\).
Tato věta je bez důkazu kvůli matematickému pojmu, který se na střední škole neučí. Pokud Vás důkaz přesto zajímá, lze ho nalézt např. v knize Jarník, V.: Diferenciální počet I
Poznámka
Je-li funkce \(f\) spojitá v uzavřeném intervalu \(\langle a, \, b \rangle\) a \(f(a) \neq f(b)\), pak v tomto intervalu nabývá všech hodnot mezi \(f(a)\) a \(f(b)\).
Věta
Je-li funkce \(f\) spojitá v uzavřeném intervalu \(\langle a, \, b \rangle\) a mají-li čísla \(f(a)\) a \(f(b)\) různá znaménka,
potom existuje alespoň jeden takový bod \(c \in (a, \, b)\), pro který \(f(c) = 0\).
Tato věta je bez důkazu kvůli matematickému pojmu, který se na střední škole neučí. Pokud Vás důkaz přesto zajímá, lze ho nalézt např. v knize Jarník, V.: Diferenciální počet I
Poznámka
Je-li funkce \(f\) spojitá v uzavřeném intervalu \(\langle a, \, b \rangle\) a \(f(a) \cdot f(b) \lt 0\), pak její graf v alespoň jednom vnitřním bodě tohoto intervalu protíná osu \(x\).
