Limita a spojitost

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Definice

Řekneme, že funkce $f$ má v nevlastním bodě $+ \infty$ nevlastní limitu $+ \infty$ právě tehdy, když

$\forall K \in \mathbb{R} \quad \exists x_{0} \in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $x \gt x_0 \Rightarrow f(x) \gt K$

Značení: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$
Čteme: Limita funkce $f$ pro $x$ blížící se k $+ \infty$ je rovna $+ \infty$

Poznámka

Ke každému reálnému číslu $K$ existuje takové reálné číslo $x_0$, že pro všechna reálná $x \gt x_0$ platí $f(x) \gt K$.

	$Obr. 3.29: Nevlastní limita $+ \infty$ v nevlastním bodě $+ \infty$$

Obr. 3.29: Nevlastní limita $+ \infty$ v nevlastním bodě $+ \infty$

Definice

Řekneme, že funkce $f$ má v nevlastním bodě $+ \infty$ nevlastní limitu $- \infty$ právě tehdy, když

$\forall K \in \mathbb{R} \quad \exists x_{0} \in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $x \gt x_0 \Rightarrow f(x) \lt K$

Značení: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$
Čteme: Limita funkce $f$ pro $x$ blížící se k $+ \infty$ je rovna $- \infty$

Poznámka

Ke každému reálnému číslu $K$ existuje takové reálné číslo $x_0$, že pro všechna reálná $x \gt x_0$ platí $f(x) \lt K$.

	$Obr. 3.30: Nevlastní limita $- \infty$ v nevlastním bodě $+ \infty$$

Obr. 3.30: Nevlastní limita $- \infty$ v nevlastním bodě $+ \infty$

Definice

Řekneme, že funkce $f$ má v nevlastním bodě $- \infty$ nevlastní limitu $+ \infty$ právě tehdy, když

$\forall K \in \mathbb{R} \quad \exists x_{0} \in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $x \lt x_0 \Rightarrow f(x) \gt K$

Značení: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$
Čteme: Limita funkce $f$ pro $x$ blížící se k $- \infty$ je rovna $+ \infty$

Poznámka

Ke každému reálnému číslu $K$ existuje takové reálné číslo $x_0$, že pro všechna reálná $x \lt x_0$ platí $f(x) \gt K$.

	$Obr. 3.31: Nevlastní limita $+ \infty$ v nevlastním bodě $- \infty$$

Obr. 3.31: Nevlastní limita $+ \infty$ v nevlastním bodě $- \infty$

Definice

Řekneme, že funkce $f$ má v nevlastním bodě $- \infty$ nevlastní limitu $- \infty$ právě tehdy, když

$\forall K \in \mathbb{R} \quad \exists x_{0} \in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $x \lt x_0 \Rightarrow f(x) \lt K$

Značení: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
Čteme: Limita funkce $f$ pro $x$ blížící se k $- \infty$ je rovna $- \infty$

Poznámka

Ke každému reálnému číslu $K$ existuje takové reálné číslo $x_0$, že pro všechna reálná $x \lt x_0$ platí $f(x) \lt K$.