Processing math: 1%

Spojitost funkce v bodě a na intervalu

Definice

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže \forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R} platí \forall x \quad x \in \mathrm{U}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)

Poznámka

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

Obr. 2.1: Spojitost funkce v bodě
Obr. 2.1: Spojitost funkce v bodě

Definice

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zprava, jestliže \forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R} platí \forall x \quad x \in \mathrm{U}^{+}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)

Poznámka

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zprava, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové pravé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

Obr. 2.2: Spojitost funkce v bodě zprava
Obr. 2.2: Spojitost funkce v bodě zprava

Definice

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva, jestliže \forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R} platí \forall x \quad x \in \mathrm{U}^{-}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)

Poznámka

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové levé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

Obr. 2.3: Spojitost funkce v bodě zleva
Obr. 2.3: Spojitost funkce v bodě zleva

Definice

Řekneme, že funkce f je spojitá v otevřeném intervalu (a, \,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.

Definice

Řekneme, že funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu \langle a, \,b\rangle, je-li spojitá v (a, \,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

Několik příkladů pro lepší objasnění pojmu spojitost funkce v bodě.

Funkce f(x) = x je spojitá v 0.

Obr. 2.4: f(x) = x.
Obr. 2.4: f(x) = x

Funkce f(x) = e^{x} je spojitá v 0.

Obr. 2.4: f(x) = e^x.
Obr. 2.5: f(x) = e^{x}

Funkce f(x) = x^{2} je spojitá v 0.

Obr. 2.4: f(x) = x^2.
Obr. 2.6: f(x) = x^{2}

Funkce f(x) = \begin{cases}x^{2}&\mathrm{pro}\quad {x \in \{ \mathbb{R} \setminus {0}}\}\cr 1&\mathrm{pro}\quad{x = 0}\end{cases} není spojitá v 0.

Obr. 2.4: f(x) = x^2 a f(0) = 1.
Obr. 2.7: f(x) = \begin{cases}x^{2}&\mathrm{pro}\quad{x \in \{ \mathbb{R} \setminus {0}}\}\cr 1&\mathrm{pro}\quad{x = 0}\end{cases}