Limita a spojitost

Spojitost funkce v bodě a na intervalu

Definice

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ , jestliže $\forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $\forall x \quad x \in \mathrm{U}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)$

Poznámka

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ , jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu $f$ ( $a$ ) existuje takové okolí bodu $a$ , že pro všechna $x$ z tohoto okolí bodu $a$ patří hodnoty $f$ ( $x$ ) do zvoleného okolí bodu $f$ ( $a$ ).

Obr. 2.1: Spojitost funkce v bodě

Definice

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, jestliže $\forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $\forall x \quad x \in \mathrm{U}^{+}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)$

Poznámka

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zprava, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu $f$ ( $a$ ) existuje takové pravé okolí bodu $a$ , že pro všechna $x$ z tohoto okolí bodu $a$ patří hodnoty $f$ ( $x$ ) do zvoleného okolí bodu $f$ ( $a$ ).

Obr. 2.2: Spojitost funkce v bodě zprava

Definice

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, jestliže $\forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R}$ platí $\forall x \quad x \in \mathrm{U}^{-}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)$

Poznámka

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu $f$ ( $a$ ) existuje takové levé okolí bodu $a$ , že pro všechna $x$ z tohoto okolí bodu $a$ patří hodnoty $f$ ( $x$ ) do zvoleného okolí bodu $f$ ( $a$ ).

Obr. 2.3: Spojitost funkce v bodě zleva

Definice

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v otevřeném intervalu $(a, \,b)$ , je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.

Definice

Řekneme, že funkce $f$ je spojitá v uzavřeném intervalu $\langle a, \,b\rangle$ , je-li spojitá v $(a, \,b)$ a v bodě $a$ je spojitá zprava a v bodě $b$ je spojitá zleva.

Několik příkladů pro lepší objasnění pojmu spojitost funkce v bodě.

Funkce $f(x) = x$ je spojitá v 0.