Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).
Spojitost funkce v bodě a na intervalu
Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže \forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R} platí \forall x \quad x \in \mathrm{U}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)
Poznámka
![]() |
![]() |
![]() |
Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zprava, jestliže \forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R} platí \forall x \quad x \in \mathrm{U}^{+}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)
Poznámka
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zprava, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové pravé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).
![]() |
![]() |
![]() |
Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva, jestliže \forall \varepsilon \gt 0\quad \exists \delta \gt 0\quad \forall x \in \mathbb{R} platí \forall x \quad x \in \mathrm{U}^{-}(a,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(f(a),\,\varepsilon)
Poznámka
Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové levé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).
![]() |
![]() |
![]() |
Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá v otevřeném intervalu (a, \,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
Definice
Řekneme, že funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu \langle a, \,b\rangle, je-li spojitá v (a, \,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.
Několik příkladů pro lepší objasnění pojmu spojitost funkce v bodě.
Funkce f(x) = x je spojitá v 0.

Funkce f(x) = e^{x} je spojitá v 0.

Funkce f(x) = x^{2} je spojitá v 0.

Funkce f(x) = \begin{cases}x^{2}&\mathrm{pro}\quad {x \in \{ \mathbb{R} \setminus {0}}\}\cr 1&\mathrm{pro}\quad{x = 0}\end{cases} není spojitá v 0.
