Informace k přednášce Lineární algebra a geometrie 1 NALG001  a 2 NALG002

 

Základní přednáška pro posluchače prvního ročníku oboru Matematika

Místo a čas v letním semestru: posluchárna M1, budova Ke Karlovu 3, středa 12,20, čtvrtek 12,20

Literatura:  na těchto stránkách budete postupně nacházet texty k jednotlivým přednáškám.

Konzultace: možno domluvit osobně po přednášce, e-mailem nebo telefonem 221913240.

Shrnutí k jednotlivým přednáškám:

·         4.10.  Úvod do matematických formulací, rozdíly mezi přirozeným a matematickým jazykem, přesnost matematického jazyka, různé matematické formulace téhož, implikace, ekvivalence.  pdf

·         5.10.  Logické spojky  a  a  nebo, kvantifikátory, negace výroků. pdf, docx (PDFCreator se příliš nevyznamenal)

·         11.10.  Matice a vektory, součet matic a součin matice s číslem, jejich základní vlastnosti s důkazy, transponovaná matice a vztah k ostatním operacím.

·         12.10. Součin matic, jeho vlastnosti, vyjádření prvků Fibonacciovy posloupnosti pomocí mocniny matice, regulární a singulární matice, algebraická definice inverzní matice a její jednoznačnost.

·         18.10. Vlastnosti inverzních matic, vztah k předchozím operacím, sloupcové a řádkové vektory matice, lineární kombinace matic a vektorů, vyjádření sloupců a řádků v součinu matic jako lineární kombinace sloupců a řádků jednoho z činitelů, definice symetrické, antisymetrické, horní trojúhelníkové,, dolní trojúhelníkové, diagonální matice, rozklad matice na bloky, bloky v rozkladu součinu dvou matic. Kapitola 1 - pdf

·         19.10. Algoritmy pro zpětnou a přímou substituci, ekvivalentní úpravy soustavy rovnic, elementární úpravy a jejich ekvivalentnost, elementární řádkové úpravy matice a jejich vyjádření pomocí násobení elementární maticí zleva, řádkově odstupňovaný tvar matice, Gaussova eliminace, věta o převedení matice do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí Gaussovy eliminace, nutná a postačující podmínka pro řešitelnost soustavy lineárních rovnic.

·         25.10.  Algoritmus pro obecnou zpětnou substituci, efekt zaokrouhlovacích chyb, špatně podmíněné soustavy, regularita elementárních matic, efekt posloupnosti elementárních řádkových úprav vyjádřený pomocí násobení regulární maticí zleva, ekvivalentní podmínky s regularitou matic.

·         26.10.  Imatrikulace

·         1.11.  Násobení regulární maticí zleva zachovává nulové lineární kombinace sloupců, příklad soustavy rovnic pro výpočet proudů v elektrickém obvodu, lemma o součinu dolních trojúhelníkových matic a inverzních maticích k nim, věta o LU-rozkladu matice, řešení soustavy rovnic známe-li LU-rozklad matice soustavy. Kapitola 2 - pdf

·         2.11.  Nutná a postačující podmínka pro existenci LU-rozkladu, algoritmu pro výpočet LU-rozkladu, definice tělesa, příklady těles včetně konečných. Kapitola 3 - pdf

·         8.11.  Charakteristika tělesa a její prvočíselnost, aritmetické vektory a vektorové prostory dimenze n nad libovolným tělesem, podprostory, lineární obal množiny, vyjádření pomocí lineárních kombinací, čtyři základní prostory matice, součet množin a podprostorů v aritmetickém prostoru, vyjádření obecného řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic pomocí nulového prostoru matice sousoutavy.

·         9.11. Lineární závislost a nezávislost podmnožiny aritmetického vektorového prostoru, charakterizace lineární nezávislosti konečné množin – žádný prvek není lineární kombinací zbývajících, Steinitzova věta o výměně, báze podprostoru, standardní báze, každý podprostor má nějakou konečnou bázi, všechny báze podprostoru aritmetického prostoru dimenze n mají stejný počet prvků menší nebo rovný n.

·         15.11.  Ekvivalentní definice báze podprostoru jako minimální generující množiny a maximální nezávislé množiny, každou lineárně nezávislou množinu lze rozšířit do báze podprostoru, dimenze podprostoru, věta o dimenzi součtu a průniku podprostorů, rovnost dimenzí sloupcového prostoru matic A a EA,  kde E je regulární matice, rovnost řádkových prostorů matic A a EA.

·         16.11. Charakterizace a definice bázových sloupců matice, redukovaný řádkově odstupňovaný tvar matice, rovnost dimenzí řádkového a sloupcového prostoru matice, hodnost matice, její základní vlastnosti, vzorec pro n-tý prvek Fibonacciovy posloupnosti.  Kapitola 4 - pdf        

·         22.11.  Další ekvivalentní podmínky s regularitou matice, odhady pro hodnost součinu matic, odhad pro hodnost součtu matic, věto o součtu dimenzí nulového prostoru a sloupcového prostoru matice, dimenze čtyř základních prostorů matice, Frobeniova věta, úvod do permutací.  Kapitola 5 - pdf

·         24.11. Permutace, inverzí permutace, identická permutace, skládání permutací a jeho základní vlastnosti, zápis permutace pomocí tabulky, cykly v permutaci, cyklický zápis a redukovaný cyklický zápis, transpozice, každou permutaci lze složit z transpozic, pro dva různé rozklady permutace jako složení transpozic mají počty transpozic v obou rozkladech stejnou paritu, sudé a liché permutace, znaménko permutace, znaménko složení permutací v závislosti na znaméncích činitelů, formulka pro znaménko permutace v závislosti na počtu cyklů.

·         29.11. Definice determinantu, determinanty matic druhého a třetího řádu, determinant horní trojúhelníkové matice, geometrický význam determinantu  matic druhého a třetího řádu, determinant transponované matice, determinant matice se dvěma stejnými řádky. Kapitola 6 - pdf

·         30.11. Efekt elementární řádkové úpravy na hodnotu determinantu, determinanty elementárních matic, determinant součinu matic, matice je regulární právě když má nenulový determinant, adjungovaná a kofaktorová matice, rozvoj determinantu podle řádku a sloupce, determinant Vandermondovy matice, Shamirovo schéma pro sdílení tajemství.

·         6.12. Vyjádření inverzní matice pomocí adjungované matice, Cramerova formule pro řešení soustavy lineárních rovnic s regulární maticí, hermitovsky sdružená matice, standardní skalární součin pro reálné a komplexní aritmetické vektory, jeho základní vlastnosti.

·         7.12. Norma vektoru určená standardním skalárním součinem, CSB-nerovnost, trojúhelníková nerovnost, geometrický význam skalárního součinu, kolmost vektorů, ortonormální množina a její nezávislost, ortonormální báze, souřadnice vektoru vzhledem k ortonormální bázi, Fourierův rozklad a Fourierovy koeficienty, skalární součin vektorů vyjádřených jako lineární kombinace ortonormální báze, charakterizace kolmosti pomocí Pythagorovy věty, klasická Gram-Schmidtova ortogonalizace. Kapitola 7 - pdf

·         13.12. Obdélníkový QR-rozklad, jeho existence, modifikovaný algoritmus pro Gram-Schmidtovu ortogonalizaci, definice unitárních a ortogonálních matic. Kapitola 8 - pdf

·         14.12.  Ekvivalentní definice ortogonálních a unitárních matic, součin ortogonálních (unitárních) matic je ortogonální (unitární) matice, jednoznačnost QR-rozkladu pro regulární matice, ortogonální doplněk množiny vektorů v prostoru se skalárním součinem.

·         20.12.  Základní vlastnosti ortogonálního doplňku, projekce prostoru na ortogonální doplněk vektoru, její maticové vyjádření pomocí elementárního projektoru, elementární reflektory, maticové vyjádření otáčení v dimenzi 2 a otáčení kolem souřadných os v dimenzi 3, Givensovy rotační matice.

·         21.12.  Efekt Givensovy rotace na vektor, výpočet QR-rozkladu pomocí Givensových rotací, efekt projektoru na vektor, výpočet QR-rozkladu pomocí Householderových projektorů, výpočetní náročnost Gram-Schmidtovy ortogonalizace, Householderova a Givensova algoritmu, Frobeniova norma matice, poznámky o numerické stabilitě Householderova, Givensova algoritmu a algoritmu pro výpočet LU-rozkladu pomocí Gaussovy eliminace. Kapitola 9 - pdf

·         3.1. Hodnost a čtyři základní prostory součinu ATA, řešitelnost soustavy ATAx=ATb, asociovaný systém normálních rovnic, výpočet dráhy rakety, použití QR-rozkladu k řešení asociovaného systému normálních rovnic, věta o ortogonálním rozkladu, Fredholmova alternativa, URV-rozklad matice.

·         4.1. Moore-Penrosova inverze, konstrukce a axiomatická definice, ortogonální projekce na podprostor, nejbližší vektor podprostoru k danému vektoru, výpočet ortogonální projekce na sloupcový prostor matice pomocí Moore-Penrosovy inverze, metoda nejmenších čtverců. Kapitola 10 - pdf

·         5.1. Lineární zobrazení určené maticí, definice lineárního zobrazení, souřadnice vektoru vzhledem k bázi, matice přechodu od jedné báze k druhé, použití pro výpočet souřadnice vektoru vzhledem k nové bázi, matice lineárního zobrazení, matice složeného zobrazení, matice lineárního operátoru vzhledem ke dvěma různým bázím, Kapitola 11 - pdf

·         6.1. Příklady použití lineární algebry.

             Nové. Texty ze zimního semestru s důkazy tak, jak je doplnila Magdalena Hrochová (bez kontroly z mé strany).

             Zkouškové období - pdf

·         22.2. Obecné vektorové prostory, příklady, přenesení základních pojmů do obecných vektorových prostorů. Kapitola 12 – pdf, včetně důkazů

·         23.2. Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory. Kapitola 13 - pdf, včetně důkazů

·         29.2. Rektorský den neklidu

·         1.3. Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory

·         7.3. Prostory se skalárním součinem. Kapitola 14 - pdf, včetně důkazů

·         8.3. Prostory se skalárním součinem, vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení a matice, diagonalizovatelnost matice, podobnost matic.

·         14.3. Invariantní podprostory lineárního zobrazení, invariantnost podprostoru všech vlastních vektorů příslušných danému vlastnímu číslu, vlastní čísla jednoduchých lineárních zobrazení ve dvojdimenzionálním prostoru, výpočet n-tého prvku Fibonacciovy posloupnosti pomocí vlastních čísel zobrazení posunutí, ekvivalentnost diagonalizovatelnosti a existence báze složené z vlastních vektorů.

·         15.3. Lineární nezávislost nenulových vlastních vektorů příslušných různým vlastním číslům, diagonalizovatelnost matice řádu n s n různými vlastními čísly, charakteristický polynom matice a lineárního zobrazení, jeho koeficienty, stopa matice, základní věta algebry a její důsledek pro rozklad polynomů na lineární činitele, algebraická násobnost vlastního čísla.

·         21.3. Geometrická násobnost vlastního čísla, ekvivalence diagonalizovatelnosti lineárního zobrazení a rovnosti algebraické a geometrické násobnosti všech vlastních čísel, Jordanovy buňky, jejich nediagonalizovatelnost, věta o Jordanově normálním tvaru (bez důkazu).

·         22.3. Spektrum a spektrální poloměr lineárního zobrazení a matice, Perronova-Frobeniova teorie nezáporných matic (bez důkazu), využití při konstrukci vyhledávačů webových stránek, Kendall-Weiova teorie porovnávání.  Kapitola 15 - pdf, včetně důkazů

·         28.3. Prostor všech lineárních zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory, isomorfismus s prostorem všech matic daného typu, duální prostor, duální báze, duální zobrazení, matice duálního zobrazení.

·         29.3.  Souřadnice lineární formy vzhledem k duální bázi, kanonický isomorfismus mezi vektorovým prostorem a jeho druhým duálem, každá báze duálního prostoru je duální k nějaké bázi původního prostoru, vyjádření lineární formy na prostoru se skalárním součinem pomocí skalárního součinu,  adjungované zobrazení, matice adjungovaného zobrazení, Schurova věta. Kapitola 16 - pdf, včetně důkazů

·         4.4.  Normální lineární zobrazení, jeho vlastnosti, charakterizace normálních lineárních zobrazení na prostorech nad C jako lineárních zobrazení, pro které existuje ortonormální báze složená z vlastních vektorů, samoadjungovaná (hermitovská) lineární zobrazení a matice, samoadjungovaná lineární zobrazení mají vždy reálná vlastní čísla a jejich charakteristický polynom se rozkládá na součin lineárních činitelů nad R, samoadjungovaná lineární zobrazení na reálných prostorech se skalárním součinem jsou přesně ta lineární zobrazení, pro která existuje ortonormální báze složená z vlastních vektorů.

·         5.4. Ortogonální a unitární zobrazení, ekvivalentní podmínky, nutná a postačující podmínka pro lineární zobrazení na reálném (komplexním) prostoru se skalárním součinem existovala ortonormální báze tohoto prostoru složená z vlastních vektorů příslušných k vlastním číslům s absolutní hodnotou rovnou 1, lineární zobrazení je ortogonální (unitární) právě když jeho matice vzhledem k libovolné ortonormální bázi je ortogonální (unitární), charakterizace normálních (symetrických reálných) matic pomocí unitární (ortogonální) diagonalizace. Kapitola 17 - pdf, včetně důkazů

·         11.4.  Bilineární forma na vektorovém prostoru, její matice vzhledem k bázi, jak se matice bilineární formy změní, změníme-li bázi, prostor všech bilineárních forem, jeho dimenze, Kongruence matic, symetrické bilineární formy, diagonalizovatelné bilineární formy, každá symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru nad tělesem charakteristiky různé od 2 je diagonalizovatelná.

·         12.4. Algoritmus pro diagonalizaci symetrických bilineárních forem, kvadratické formy, ortogonální diagonalizovatelnost symetrických a kvadratických forem, nad reálnými čísly, příklady.

·         18.4. Sylvesterův zákon setrvačnosti pro symetrické bilineární (kvadratické) formy nad reálnými čísly. Hodnost, index a signatura symetrické bilineární formy nad reálnými čísly, charakterizace kongruentních symetrických reálných matic pomocí jejich invariantů,

·         19.4. Pozitivně definitní a pozitivně semindefinitní matice, ekvivalentní podmínky, zejména pomocí existence „druhé odmocniny“ matice, skalární součiny v Rn jsou právě bilineární formy definované pozitivně definitními maticemi, konstrukce z tyčí v Rn. Kapitola 18 - pdf, včetně důkazů

·         25.4. Izometrie v reálných prostorech se skalárním součinem, jejich rozklad na posunutí a ortogonální lineární zobrazení, determinant ortogonálních zobrazení, klasifikace ortogonálních zobrazení v R2 pomocí determinantu na rotace a osové symetrie, rotace a reflexe v prostorech libovolné dimenze, složení dvou reflexí je rotace.

·         26.4. Klasifikace ortogonálních zobrazení ve dvoudimenzionálních reálných prostorech se skalárním součinem, složení rotace se reflexí v dimenzi dva je opět reflexe, direktní součet podprostorů, ekvivalentní popis, existence invariantního podprostoru dimenze 1 nebo 2 pro lineární zobrazení na reálném vektorovém prostoru, rozklad ortogonálního zobrazení v reálném prostoru se skalárním součinem jako složení reflexí a rotace v navzájem ortogonálních podprostorech dimenze 1 nebo 2. Kapitola 19 - pdf, včetně důkazů

·         2.5. Existence reálného kořenu pro reálné polynomy lichého stupně, rotace v třídimenzionálním prostoru, stereografická projekce, vztahy mezi souřadnicemi bodu na sféře a souřadnicemi jeho stereografické projekce.

·         3.5. Kruhová inverze, vztah mezi reflexí na sféře a kruhovou inverzí v rovině, předpis pro výpočet obrazu bodu kruhovou inverzí určenou jednotkovou kružnicí v komplexních souřadnicích.

·         9.5. Vyjádření obecné reflexe ne sféře v komplexních souřadnicích po stereografické projekci, vyjádření osové symetrie v rovině v komplexních souřadnicích, obecný tvar rotace v R3 v komplexních souřadnicích jako lineární funkce lomené

·         10.5. Skládání lineárních funkcí lomených, kvaterniony a jejich norma, norma součinu dvou kvaternionů, vyjádření rotace v R3 pomocí kvaternionů, skládání rotací a součin kvaternionů, souvislost mezi kvaternionovou reprezentací rotace, její osou a úhlem, a její maticí. Kapitola 20 - pdf

·         16.5. Rektorský den

·         17.5.

·         23.5. Přednáška odpadla

·         24.5.