Matematická analýza 3: dálkově

Výuka na dálku

Plno výsledků lze zkontrolovat i online:
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/

Seznam témat:

13. týden (pátek 8.1.) - Lagrangeovy multiplikátory
12. týden (pátek 18.12.) - Extrémy funkcí více proměnných
11. týden (pátek 11.12.) - Více implicitních funkcí + úvod do extrémů funkcí více proměnných
10. týden (pátek 4.12.) - Implicitní funkce
9. týden (pátek 27.11.) - Opakování a drobnosti
8. týden (pátek 20.11.) - Řetízkové pravidlo
7. týden (pátek 13.11.) - Totální diferenciál
6. týden (pátek 6.11.) - Metrické prostory 2
5. týden (pátek 30.10.) - Parciální derivace
4. týden (pátek 23.10.) - Limity funkcí více proměnných
3. týden (pátek 16.10.) - Metrické prostory
2. týden (pátek 9.10.) - Soustavy lineárních ODR s Pravou stranou
1. týden (pátek 2.10.) - Soustavy lineárních ODR


13. týden (pátek 8.1.) - Lagrangeovy multiplikátory

13. Lagrangeovy multiplikátory
13. řešení
13. Obrázky

12. týden (pátek 18.12.) - Extrémy funkcí více proměnných

12. Extrémy
12. řešení

11. týden (pátek 11.12.) - Více implicitních funkcí + úvod do extrémů funkcí více proměnných

11. Implicitní funkce 2 + úvod do extrémů
11. řešení
11. obrázky

10. týden (pátek 4.12.) - Implicitní funkce

Kratší verze

Snažíme se zderivovat funkci, kterou ale nemáme přímo zadanou. Víme jen, že jde o křivku, jež řeší nějakou rovnici. Např. obligátní
y2+ x2-1= 0
My z této rovnice vytáhneme funkci více proměnných
F(x,y)=y2+ x2-1
a konkrétní bod, který leží na její nulové vrstevnici. Když splníme podmínky 1. Věty ze cvičení, můžeme danou funkci derivovat (dokonce víckrát). Stačí dodržet vzoreček. Druhá možnost je derivovat složenou funkci. Obě možnosti najdete v textu doc. Kremla

Pěknou zábavu:
10. Implicitní funkce
10. řešení
10. obrázky

Delší verze

Funkce se dají zapsat různě. Kupříkladu y=x3 i ∛y=x vykreslí stejnou křivku.
Zkusme další: y=√(x2-1) nakreslí půlkružnici - což je funkce. Rovnice y2+ x2-1=0, která je jí docela podobná, pak vykreslí celou kružnici - což ovšem funkce není. Dnešním tématem tedy budou funkce zadané implicitně, za pomoci nějaké rovnice. Budeme řešit otázku, kdy daná vykreslená křivka je funkcí, kterou budeme navíc chtít dále zderivovat.

Krok 1: Vrstevnice funkce 2 proměnných

Na rovnici y2+ x2-1= 0 se můžeme divat i jinak: Je to vrstevnice (ve výšce 0) pro funkci dvou proměnných F(x,y)=y2+ x2-1.
Tuto funkci můžeme
vykreslit
a prozkoumat její nulovou vrstevnici - což je (obvykle) křivka.

Krok 2: Vrstevnice jako funkce (jedné proměnné)

Rádi bychom měli nejen křivku, ale přímo funkci. A kdyby to nešlo, tak bychom rádi měli funkci alespoň lokálně - vyřízli bychom z obrázku menší okénko, ve kterém by o funkci už šlo.
Pro naši křivku to není problém, stačí vzít horní nebo spodní půlkružnici: y=√(x2-1) a y=-√(x2-1).
Tenhle přístup ale nebude fungovat pro dva body: [-1,0] a [1,0]. Pro jakkoli malé okolí těchto bodů funkci nevykreslíme (budeme mít vždy dva různé y pro jedno x).
Co hůř, pro trochu komplikovanější výrazy, jako třeba (x2+y2-1)3-x2y3=0
(obrázek) je obtížné y vůbec vyjádřit. A i na takové křivce budou body, kde nepůjde o funkci(vidno z obrázku).

Jak tedy najít body, kde to bude fungovat? Naštěstí máme podmínku: derivace původní funkce 2 proměnných F podle y nesmí být nulová. Jde o třetí podmínku Věty 1:
10. Implicitní funkce
Mějme tedy nějaký hezký bod na vrstevnici. Při splnění této podmínky (a dvou dalších ve větě) můžeme říct, že na jistém okolí tohoto bodu naše vrstevnice definuje funkci.

Krok 3: Derivace implicitní funkce

Máme funkci, chtěli bychom ji derivovat. Přímo to nepůjde, ale můžeme zkusit dva různé přístupy. Varianta 1: Prostě použijeme vzorec z Věty.
10. Implicitní funkce
Zderivujeme funkci F podle x, pak podle y, podělíme, nezapomene na znaménko "-". Protože jsme splnili 3. podmínku, tak máme jistotu, že jsme nedělili 0. Jsme hotovi.
Prohlédněte si příklad na str. 6 - 1. přístup.
Skripta doc. Kremla

Varianta 2: Budeme se dívat na y jako na funkci x, tedy místo y všude napíšeme y(x). Obě strany rovnice pak zderivujeme (podle x). Nezapomeneme aplikovat pravidla pro derivaci, speciálně pro složené funkce. Dostaneme novou rovnici, z níž vyjádříme y'. Vyšlo to samé, jako pomocí Věty.

Prohlédněte si příklad na str. 6 - 2. přístup.
Skripta doc. Kremla

Poznámky: Věta má víc (celkem logických) předpokladů - abychom funkci mohli derivovat, musíme předpokládat diferencovatelnost. Druhá podmínka říká, že se opravdu pohybujeme na vrstevnici. Třetí podmínka zajišťuje, že nebudeme dělit nulou.

Krok 4: Další derivace

Přidáme-li jako předpoklad, že původní funkce F(x,y) je spojitě diferencovatelná dvakrát (třikrát atd.), můžeme pak dvakrát (třikrát atd.) derivovat i naši vzniklou funkci (vrstevnici). Postupuje se jako prve - buď najdeme vzoreček, např. na
str. 4 doc. Kremla
nebo vzniklou funkci prostě zderivujeme podruhé - pozor, pořád je to složená funkce.
Prozkoumejte 2. příklad
str. 8 doc. Kremla
(Příklady se obvykle ptají po derivaci funkce v konkrétním bodě, tady např. v bodě [1,1] vyšla derivace rovna -1. Když pak hledáme druhou derivaci, je potřeba nederivovat vzniklé číslo (tady -1), ale funkci těsně před tím, než jsme dosadili (tady -(2x+y)/(x+2y).)

Krok 5: Funkce více proměnných

Aby to bylo zábavnější, můžeme pracovat i s funkcemi, co mají více proměnných. Máme pak třeba F(x,y,z) a rádi bychom pracovali s její vrstevnicí - vlastně vrstevnicovou plochou. Tu bychom rádi vyjádřili jako funkci z(x,y), tedy funkci o dvou proměnných. Když ji pak derivujeme, hledáme vlastně (dvě) parciální derivace. Věta funguje i pro tyto případy, jen při derivování složené funkce používáme řetízkové pravidlo.
Hledejte příklad na
str. 11:
Máme i nějaká Khanova videa (všechna jsou s českými titulky, možná bude potřeba zapnout rozšířený prohlížeč videa):
Derivace implicitní funkce - úvodní video
Derivace implicitní funkce
Derivace v konkrétním bodě

Ze zdrojů pak zmiňme třeba doc. Tišera:
J. Tišer

No a nakonec dnešní zadání
10. Implicitní funkce
10. řešení
10. obrázky

9. týden (pátek 27.11.) - Opakování a drobnosti

Dnešní zadání
9. Opakování
9. řešení

8. týden (pátek 20.11.) - Řetízkové pravidlo

Krátká verze

Řetízkové pravidlo je vlastně derivace složené funkce pro více proměnných. Návod dává Věta 1 ze cvičení, v konkrétní podobě je pak v Poznámce 2.
V 1. příkladě jej můžete vyzkoušet na konkrétních funkcích, v dalších příkladech pak i v trochu obecnějších případech. Pěknou zábavu.

Dnešní zadání:
8. Řetízkové pravidlo
8. řešení

Delší verze

Řetízkové pravidlo říká, jak derivovat složené funkce více proměnných (kde jak vnitřní, tak vnější funkce mohou mít různý počet proměnných).

Krok 1: Konkrétní funkce

Prohlédněte si Větu 1 a Poznámku 2 (která je aplikací Věty na konkrétnější příklad) a nakonec i ilustrační obrázek. Vlastně říká: abychom získali parciální derivaci složené funkce (třeba) podle x, tak musíme zderivovat vnější funkci podle všech proměnný, vynásobit derivací vnitřní funkce podle x, a nakonec to všechno sečíst.

Asi nejlépe kouknout na video nebo na příklady:
Video na Isibalo
Z textů čerpáme:
K Hasík, P. Kordulová, Z. Kočan - str. 77
K Hasík, P. Kordulová, Z. Kočan - cvičení - str. 45
J. Kuben, Š. Mayerová, P. Račková, P. Šarmanová - str. 79

Je čas na 1. úlohu:
8. Řetízkové pravidlo
8. řešení

Poznámka: takovéhle příklady se samozřejmě dají řešit dosazením vnitřní funkce a pak „obyčejným“ parciálním derivováním.

Krok 2: Méně konkrétní funkce

Zajímavější úloha nastává, když vnější nebo vnitřní funkce nemají konkrétní podobu. Koukněte například na příklad 2 nebo 7.
Pro řešení prve identifikujeme vnější funkci a její proměnné a vnitřní funkci a její proměnné. Pak aplikujeme řetízkové pravidlo (a nenecháme se rozhodit tím, že některé funkce nedokážeme konkrétně zderivovat).

Moc bezva příklady jsou tady:
Řetízkové pravidlo

Je čas na všechny ostatní úlohy:
8. Řetízkové pravidlo
8. řešení


7. týden (pátek 13.11.) - Totální diferenciál

Dnešní zadání
7. Totální diferenciál
7. řešení

6. týden (pátek 6.11.) - Metrické prostory 2

6. Metrické prostory II
6. řešení

5. týden (pátek 30.10.) - Parciální derivace

Dnešním tématem jsou parciální derivace. Pro jednoduchost uvažujem funkci dvou proměnných f(x,y). (Více proměnných funguje analogicky.)
Jelikož má funkce dvě proměnné, můžeme jednu z nich zafixovat a podle druhé derivovat tak, jak jsme zvyklí. A tomu se říká parciální derivace. Když se zafixuje y derivuje podle x, mluvíme o parciální derivaci podle x (píšeme ∂f/∂ x), pro y pak máme parciální derivaci podle y (píšeme ∂f/∂ y).
Pro parciální derivaci pak fungují obvyklé věty o aritmetice derivací a derivaci složené funkce. Zajímavá pasáž nastává, jestliže funkci někde nejde mechanicky zderivovat (např. absolutní hodnota, odmocniny...). V takovém případě je třeba derivaci dopočítat z definice (a zjistit, zda vůbec existuje). Následujte definici 1. Parciální definice pak je limita jedné proměnné, počítáme, jak jsme zvyklí.

Dnešní příklady
5. Parciální derivace
5. řešení
5. obrázky

Delší verze

Mějme funkci 2 proměnných f(x,y). Naším cílem je najít její parciální derivace.

Krok 1: Geometrický význam

Grafem funkce 2 proměnných je nějaká plocha v prostoru. Zafixujme nějaký bod. Jestliže tuto plochu protneme v daném bodě s rovinou, která je rovnoběžná s osou z, na řezu získáme obyčejnou funkci jedné proměnné. Takovou funkci pak můžeme samozřejmě derivovat. Jestliže byla rovina rovnoběžná s osou x, dostaneme parciální derivaci podle x, jestliže s osou y, dostaneme parciální derivaci podle y.

Věnuje se tomu
text doc. Kremla
Khanovo video (aj titulky)

Krok 2: Mechanické derivování

Naším cílem je derivace, zkusíme tedy funkci mechanicky zderivovat.
Prve zafixujeme y, které budeme brát jako parametr, a derivujeme podle x. Platí věty o aritmetice derivací, o derivaci složené funkce a celkově se k výrazu chováme jako k funkci jedné proměnné. Výsledkem je parciální derivace podle x: ∂ f/∂ x.
Pak bereme x jako parametr a derivujeme podle proměnné y. Dostaneme parciální derivace podle y: ∂ f/∂ y.
Nejpozději tady určíme definiční obor původní funkce a obou parciálních derivací. Zkusíme obojí načrtnout. (Pozn.: Derivace nemohou mít větší definiční obor než původní funkce.)
Nějaké ty návody:
Bc. práce L. Mračnové
Video isibalo

Krok 3:

Nyní je potřeba zkontrolovat definiční obor původní funkce i parciálních derivací a určit, zda jsme zderivovali všude, kde je to možné. Zejména kontrolujeme
  1. kraje definičního oboru původní funkce;
  2. body, kde je funkce definovaná, ale mechanické derivování ne (např. odmocniny);
  3. místa, kde je funkce definovaná po částech;
  4. funkce: absolutní hodnota, sgn , odmocniny, arcsin a arccos...
V těchto bodech budeme derivovat z definice - tedy počítat limitu. Zkontrolujte 1. definici.
5. Parciální derivace

Pokud takové problematické (nezderivované) body najdeme, je ještě potřeba se podívat na náčrtek definičního oboru původní funkce.
Abychom totiž mohli určit parciální derivaci podle x, tedy spočítat limitu, je potřeba k ní mít správné okolí. Je tedy vůbec možné se k podezřelému bodu přiblížit ve směru osy x (to jest zleva a zprava)? Když bychom udělali řez plochou, měla by funkce na řezu nějaké okolí bodu (zleva i zprava)?
Pro derivaci podle y je to analogické. Dokážeme se k danému bodu blížit ve směru osy y (seshora a zezdola)?
Může se stát, že počítat parciání derivaci podle x má smysl a podle y nemá, nebo naopak.

Krok 4: Dopočítání limity

V nalezených bodech spočteme parciální derivacez definice - jako limity. Zafixujeme problematický bod a počítáme limitu. Je to limita jedné proměnné t, vše ostatní jsou parametry, počítáme tedy jako obyčejnou limitu (nikoli jako limitu více proměnných).
Výsledná limita často vyjde závislá na konkrétním x a y, ve kterém jsme. Uděláme tedy rozvahu o ne/existenci.
A pak už to jen dáme všechno do kupy a napíšeme závěr, ve kterých bodech derivace existují a kolik vyšly.

Můžete se podívat na příklady ze
sbírky ze stránek prof. Picka, příklady 11.8.15-11.8.19.

Youtube pak najde i nějaká ta videa, tady se počítá jednoduchá limita z definice (ačkoli by šla vyřešit čistě mechanicky). Je anglicky, můžete zkusit automatický překlad:
https://www.youtube.com/watch?v=powyITyDfgI
Hurá na příklady:
5. Parciální derivace
5. řešení
5. obrázky

4. týden (pátek 23.10.) - Limity funkcí více proměnných

Ať žijí funkce více proměnných. Zatím tím budeme myslet funkce z ℝn do ℝ. Obvykle ale budeme pracovat s funkcemi z ℝ2 do ℝ, protože jejich graf se dá nakreslit, občas s funkcemi z ℝ3 do ℝ, protože těm dokážeme nakreslit aspoň definiční obor.

U funkcí více proměnných je (jako obvykle) třeba nejprve určit definiční obor. Hledáme tedy množinu v ℝn, na níž je funkce dobře definovaná.
V hromadných bodech definičního oboru je pak možné počítat limity.

Kratší verze

Limity funkcí vice proměnných obsahují některé záludnosti, které se snažíme potkat v příkladech. Až na výjimky používáme věty, které jsou analogické k větám pro jednu proměnnou, jen mívají vícero podmínek.
Výjimkou je Poznámka 6 o dvojnásobné limitě (ta lze použít pro neexistenci limity) a Věta 8 o polárních souřadnicích (ta nám pomůže s výpočtem limity).
Používané techniky
  1. existence - je-li funkce v daném bodě spojitá, dosadíme
  2. existence - pokud to lze, upravíme, vytkneme, usměrníme odmocniny a převedeme na předchozí případ
  3. existence - použijeme nějaké odhady a pak dva policajty
  4. existence - použijeme větu o omezené a nulové
  5. existence - vypadá to na známou limitu - VOLSF
  6. existence - pokud se vyskytuje výraz x2+y2, můžeme zkusit polární souřadnice (a VOLSF)
  7. neexistence - spočteme dvojnásobné limity, příklad 1 ze vzoru
  8. neexistence - spočteme limity po přímkách nebo parabolách (nebo jiných vhodných křivkách), příklad 4 a 5 ze vzoru
  9. pozor, nemáme L'Hospitalovo pravidlo
Dnešní příklady
4. Limity funkcí více proměnných
4. řešení
4. obrázky
4. pár vzorových příkladů

Zdroje pro tuto kapitolu:
P. Volný - bezva výklad s obrázky
Kuben, Mayerová, Račková, Šarmanová - kapitola 1.4
Bc. práce Z. Kadeřákba - řešené příklady přímo na limity
Hasík, Kordulová, Kočan - teorie
Hasík, Kordulová, Kočan - řešené příklady
P. Hasil, P. Zemánek - sbírka řešených příkladů
Prezentace s náčrtky a postupy v angličtině

Delší verze

Krok 0: Funkce více proměnných

Prve se seznámíme s funkcemi více proměnných.
Pro funkci dvou proměnných máme: definiční obor je podmnožina roviny, graf je objekt ve 3D (nepřesně řečeno si lze představit nějakou plochu), ještě to umíme nakreslit.
Funkce tří proměnných má definiční obor jako podmnožinu 3D prostoru (a umíme ho nakreslit). Graf je objekt ve 4D, načrtnout už to spíš nejde. Problém začíná už u snahy zakreslit 4D kouli nebo krychli. Např.
Krychle na wiki
Koule na wiki
Grafu funkce 3 proměnných se lze přiblížit:
řezy, video, barvy.

K funkcím více proměnných pak máme úvodní video: https://isibalo.com/matematika/diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych/uvod-o-funkci-dvou-promennych
Abychom získali nějakou představu o grafu funkce 2 proměnných, tak se hledá definiční obor, vrstevnice (jako vrstevnice v mapě) a řezy (zjišťujeme, jaká vznikne funkce, když funkci rozřízneme jako bábovku.
Tyhle otázky řeší texty doc. Kremla
http://homel.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola_4_1.pdf - definiční obory
http://homel.vsb.cz/~kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola_4_2.pdf - grafy
Videa:
https://isibalo.com/matematika/diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych/definicni-obory - definiční obory
https://isibalo.com/matematika/diferencialni-pocet-funkci-vice-promennych/graf-funkce-vice-promennych - grafy
Nějaká ta anglická videa, Khan:
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-scalar-valued-functions/v/introduction-to-3d-graphs - jak rozumět grafu ve 3D
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-scalar-valued-functions/v/interpreting-graphs-with-slices - grafy ve 3D, metoda řezů
https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/visualizing-scalar-valued-functions/v/contour-plots - grafy ve 3D, vrstevnice

Krok 1: Kde počítat limity

Když máme definiční obor, můžeme řešit limity. Limity lze počítat pouze v hromadných bodech definičního oboru (body, ke kterým lze dokonvergovat, typicky jsou na jeho okraji).
Limita je pak definována jako limita v metrickém prostoru - jeden prostor je ℝn, druhý je ℝ, obé s eukleidovskou metrikou. Z toho pak vychází definice okolí, koulí a konvergence.
Pořád platí, že při hledání limity v bodě a zkoumáme (prstencové) δ-okolí tohoto bodu a zjišťujeme, zda se zobrazí na ε-okolí limity.
Takto bychom ale mohli počítat jen limity v bodech, jejichž celé okolí (bez středu) se vejde do definičního oboru dané funkce. Abychom mohli počítat limity i jinde (třeba na hranici čtvercového definičního oboru), uvažuje se limita vzhledem k množině. Neboli neuvažujeme celé δ-okolí, ale jeho průnik s definičním oborem. Hezky to vysvětluje
Video na Isibalo:
Definice limity

Krok 2: Spojité funkce a algebraické úpravy

Jestliže je funkce spojitá v bodě, kde počítáme limitu, stačí dosadit. Spojitost je pak potřeba odůvodnit. Funguje to analogicky jako u jedné proměnné:
  1. projekce (f(x,y)=x, f(x,y)=y, f(x,y,z,u,v)=u...) jsou spojité;
  2. funkce, jak je známe z ℝ1 jsou spojité (sin x na ℝ, ln x na (0,∞), x2 na ℝ atd.);
  3. součet, rozdíl, součin a podíl (krom dělení 0) spojitých funkcí je spojitá funkce;
  4. složení spojitých funkcí je spojitá funkce (Věta 11.10 z přednášky).
Jestliže nám při dosazení vyjde výraz 0/0, můžeme zkusit vytknout vhodný výraz, jestli se něco nepokrátí.
Isibalo: spojitost a algebraické úpravy
Vyzkoušejte příklady 3a, 3b v zadání:
4. Limity funkcí více proměnných

Krok 3: Odhady, omezená a nulová

I pro funkce více proměnných máme 2 policajty a součin funkce omezené a nulové. (Věta 4,5 a 7 za zadání: 4. Limity funkcí více proměnných .)
Užitečné nerovnosti jsou
  1. |2xy|≤ x2+y2
  2. AG nerovnost
  3. Bernoulli: 1+nx≤ (1+x)n, x≥-1
  4. Ekvivalence norem
Zkoušejte např. příklad 4b
P. Habala
nebo 3e ze zadání. Omezená a nulová se někdy nabídne u sin a cos, příklad 4f ze zadání: 4. Limity funkcí více proměnných

Krok 4: Známá limita+VOLSF

Když to vypadá na známou limitu, stojí za zvážení VOLSF, neboli Věta 11.12 z přednášky.
Nezapomeneme ověřit podmínku (S) nebo (P) (tu asi častěji). Příklady např. 3d, 3f
4. Limity funkcí více proměnných

Krok 5: Polární souřadnice

Svět se dá popsat nejen kartézskými souřadnicemi, ale i polárními. Začínáme v počátku a bodu A přiřazujeme poloměr = vzdálenost A od počátku a úhel α mezi spojnicí bodu a osou x. Hledáme ho obvykle mezi [0,2π).
Anglická wiki
Geogebra applet

Jestliže se pak v limitě vyskytují výrazy jako x2+y2, můžeme zkusit nahradit x=r cos α a y=r sin α. Pro limitu jdoucí do [0,0] pak stačí poslat r do 0 a dívat se, co vyjde.
Aby byl postup korektní, je třeba aplikovat Větu 8

4. Limity funkcí více proměnných.
Koukněte na celý postup na videu:
Isibalo polární souřadnice
Příklady pak jsou ve cvičení 5:
4. Limity funkcí více proměnných

Krok 6: Dvojnásobná limita

Co když limita neexistuje? V takovém případě můžeme zkusit spočítat tzv. dvojnásobné limity - aneb Poznámka 6 v zadání
4. Limity funkcí více proměnných Vlastně zkoumáme limitu funkce, když jdeme po ose x (nebo ose y). Prozkoumejte video:
Dvojnásobné limity
a např. příklad 2a v zadání
4. Limity funkcí více proměnných

Krok 7: Cesta po křivkách

Co když limita neexistuje, ale první test - dvojnásobné limity vyšly stejně. V takovém případě se můžeme zkusit přiblížit do našeho bodu po různých křivkách. Pakliže vyjdou různé limity po různých křivkách, limita neexistuje.
První volbou bývají přímky. Místo y budeme psát kx. Zhlédněte video:
Isibalo přímky
nebo příklad 4 ve vzoru: 4. pár vzorových příkladů

Když selžou přímky, zkoušíme paraboly:
Isibalo paraboly
a příklad 5 ve vzoru: 4. pár vzorových příkladů

Příklad 5c pak ukazuje, jak postupovat, když selžou paraboly, ale pořád si myslíme, že limita neexistuje:
P. Habala

Poznámky

  1. L'Hospitala pro více proměnných nemáme.
  2. Blížíme-li se po křivkách do jiného bodu než je [0,0], nezapomeneme křivky "posunout". Totéž platí pro polární souřadnice (více legrace s nimi bude v Míře a integrálu).
  3. Ve 3D se místo polárních používají Sférické souřadnice
  4. Obecný návod neexistuje. Z počátku vykreslujte funkce v programu (wolfram, google, geogebra) a zkoušejte.
  5. První krok je vždy kontrola definičního oboru.
  6. Je-li tam na první pohled známá limita nebo omezená a nulová, tak je zkusíme. Jinak další kroky, řekněme, v tomto pořadí:
    1. dvojnásobné limity
    2. přímky
    3. paraboly
    4. odhady (na existenci)
    5. polární souřadnice

3. týden (pátek 16.10.) - Metrické prostory

Vítejte u metrického prostoru - množiny, na níž umíme měřit vzdálenost nebo definovat konvergenci. A naopak neumíme (alespoň ne obecně) určit velikost prvku nebo neumíme prvky sčítat a násobit - na to pak máme prostory lineární.

Kratší verze

Dnešní zadání obsahuje vždy definice a poznámky a k nim pak něco příkladů. Pěknou zábavu:
3. Metrické prostory
3. řešení

Zdroje vědění a podpory:
Skripta přednášky v Moodlu
Z. Došlá, O. Došlý - výklad s řešenými i neřešenými příklady
Koule v různých metrikách
E. Vodičková - prostory posloupností a funkcí
Skripta ze stránek prof. Picka
Kreslení v Geogebře

Delší verze

V delší verzi budeme potřebovat dnešní zadání, které budeme postupně procházet, a také definice a věty z přednášky:
3. Metrické prostory
3. řešení
Skripta přednášky v Moodlu

Krok 1: Metrické prostory

Metrický prostor jako takový je množina X spolu s metrikou ρ, která měří vzdálenost mezi dvěma body a splňuje nějaké ty podmínky. Je čas prozkoumat jeho definici.
3. Metrické prostory - Definice 1

Čas na příklady. Pro nás budou zajímavé prostory
  1. prostor Rn s metrikami ρ1, ρ2, ρ∞
  2. prostor spojitých funkcí C([a,b])s metrikami ρsup, ρint
  3. prostor omezených posloupností l∞ s metrikou ρ∞
  4. diskrétní metrický prostor s metrikou ρdiskr, která nabývá jen hodnot 0 a 1
Najdete je mezi stranami 9 a 16 a to i s obrázky. nebo ve skriptech v příkladech 10.1.4. až 10.1.14 i s důkazy, že jde opravdu o metrický prostor (ale chybí lp).
Méně obvyklé prostory pak najdete např. v prvních skriptech str. 15-18
nebo tady str. 19-23

Obecně platí, že plno pojmů a vět se dá představit snadno na R2, na které jsme zvyklí. Zároveň určitě doporučuji své představy pak konfrontovat s diskrétním metrickým prostorem, na kterém naopak leccos funguje spíš neintuitivně.
Čas na
úlohu 2, 5, 6, 9.

Krok 2: Otevřené a uzavřené koule

Začněme otevřenou koulí, což je (celkem intuitivně) množina bodů, jejichž vzdálenost (čiže vlastně metrika) je menší než daný poloměr. Je-li vzdálenost menší nebo rovna, jde o uzavřenou kouli.
V R2 a v R3 s eukleidovskou metrikou ρ2 dostaneme kruh (otevřená bez hranice, uzavřená s hranicí) a kouli (bez sféry a se sférou). V R1 dostaneme otevřený a uzavřený interval.
V jiných prostorech je to zajímavější. Na přednášce byly koule v podobě čtverce a kosočtverce. Vyzkoušejte cvičení 11 a 12.

Koule se dají uvažovat samozřejmě ve všech prostorech. Vládnete-li angličtinou, lze najít nějaké to video:
Koule v diskrétním metrickém prostoru
Koule v prostoru funkcí

Krok 3: Otevřené množiny

Máme-li otevřené koule, můžeme uvažovat o otevřených množinách - to jsou ty, do kterých se s každým jejich bodem vejde ještě nějaká (maličká) koule kolem něj. Ilustruje to první třetina tohoto obrázku:
str. 11
(Nezapomeňme, že ty koule mohou vypadat různě, záleží na metrice.)
Jinak také Definice 15 .

Krok 4: Konvergence

Definice 13 říká, jak vypadá konvergence posloupnosti v metrickém prostoru. Tedy, posloupnost se blíží k nějaké limitě, jestliže se vzdálenost těch členů a limity blíží k 0. (V obyčejné definici limity vlastně napíšeme ρ místo absolutní hodnoty.)
Od této chvíle už limita nemusí být jen číslo, ale jakýkoli prvek daného prostoru. Zajímavé konvergence najdete na
str. 35-36
nebo str. 30-31

Krok 5: Uzavřené množiny

Nyní můžeme uvažovat o uzavřených množinách - to jsou takové, ze kterých nelze vykonvergovat. Aneb definice 14.
Ještě sem patří pojmy vnitřek (všechny body, které se do množiny vejdou i se svým nějakým okolím), uzávěr (všechny body, kam lze z množiny dokonvergovat) a hranice (body, jejichž každé= okolí je částečně venku a částečně uvnitř - poslední třetina obrázku na str. 11.
K těmto pojmům patří plno zajímavých vět - prozkoumejte přednášku. úloha 17, 19 - 25

Krok 1: Metrické prostory


Podporu můžete najít i na:
Z. Došlá, O. Došlý - výklad s řešenými i neřešenými příklady
Koule v různých metrikách
E. Vodičková - prostory posloupností a funkcí
Skripta ze stránek prof. Picka
Kreslení v Geogebře

2. týden (pátek 9.10.) - Soustavy lineárních ODR s Pravou stranou

1. týden (pátek 2.10.) - Soustavy lineárních ODR

Motivace

Soustavy diferenciálních rovnic jsme začli krátkou motivací. Jejich pomocí lze popsat spoustu reálných jevů (a občas to pak jde i analyticky vyřešit).

Šíření infekčních chorob popisuje
model SI. (Koho by to zajímalo, jsou i složitější modely, jako
model SIR .)
Je možno si pak pohrát s interaktivními modely
Geogebra SIR
Shodor SIR
Colgate SIR

Příklady

Nás budou zajímat soustavy diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, tento týden s nulovou pravou stranou, příští týden s pravou stranou. Metod řešení existuje víc, my se zaměříme na řešení pomocí λ operátoru.

Postup:

  1. Zavedeme operátor derivace λ. Pak λ u=u', λ2u=u'', λ2 u-λ u=u''-u' atd...
  2. Sestavíme matici A a vytvoříme λE-A (všechno převedeme na levou stranu).
  3. Matici převedeme na trojúhelníkový tvar:
    1. Můžeme prohazovat řádky.
    2. Můžeme násobit řádky (nenulovým) číslem.
    3. Můžeme k řádku přičíst P(λ) násobek jiného řádku, kde P(λ) je polynom.
    4. Nemůžeme násobit řádek polynomem λ - zvýšil by se řád soustavy.
    5. Nemůžeme dělit řádky polynomem λ.
  4. Přepíšeme zpátky na tvar s derivacemi a vyřešíme.
  5. Případně dořešíme podmínky.

Online sbírka na ODR T. Bárty a D. Pražáka - nás se týká 2. způsob řešení ve 4. kapitole.
Video:
Soustavy ODR s pravou stranou řešené pomocí operátoru D (naše λ).