Vliv daně a inflace
Vliv daně z úroku
Podle zákona o daních z příjmů jsou výnosy z úroků na spořicích účtech a termínovaných vkladech zdaněny sazbou 15 %. Dani z úroku jsme se již věnovali v kapitole Úrok.
Označme daň z úroků ve formě desetinného čísla jako \(i_{tax}\). Pro připomenutí zde uvádíme, jak se spočítá úrok po zdanění.
Úrok po zdanění \(u'\) spočítáme jako
kde \(K_0\) je počáteční kapitál, \(i\) je roční úroková sazba a daň z úroku \(i_{tax}\).
Nejprve ukážeme vliv daně z úroku při použití jednoduchého a složeného úročení na konkrétním příkladu.
Příklad
Vložíme na bankovní účet \(1\,000\,000\,\text{Kč}\) na 3 roky. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je \(3\,\%\). Daň z úroku je \(15\,\%\).
- a) pokud banka použije jednoduché úročení,
- b) pokud banka použije složené úročení?
Řešení
\(K_0=1\,000\,000\,\text{Kč}, i=0,03, i_{tax}=0,15\)
Při roční úrokové sazbě \(3\,\%\) a dani z úroku \(15\,\%\) dostaneme za rok navíc \(0,03\cdot(1-0,15)=0,03\cdot0,85=0,0255\), tj. \(2,55\,\%\) z počátečního vkladu.
a) Výsledná částka po třech letech pomocí jednoduchého úročení byla \(1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,0255\cdot3)\approx1\,076\,500\,\text{Kč}\).
b) Výsledná částka po třech letech pomocí složeného úročení byla \(1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,0255)^3\approx1\,078\,467\,\text{Kč}\).
Jelikož se daní pouze úrok, z původního vzorce pro jednoduché úročení \(K_n=K_0\big(1+i\cdot n\big)\), resp. složené úročení \(K_n=K_0\big(1+i\big)^n\)dostáváme \(K_n=K_0\big(1+i\cdot(1-i_{tax})\cdot n\big)\), resp. \(K_n=K_0\big(1+i\cdot(1-i_{tax})\big)^n\).
Vzorec pro jednoduché úročení při zahrnutí daně z úroku je
Vzorec pro složené úročení při zahrnutí daně z je
Kde \(K_n\) je výsledný kapitál, \(K_0\) je počáteční kapitál, \(i\) je roční úroková sazba, daň z úroku je \(i_{tax}\) a \(n\) je počet úrokovacích obdobích v letech.
Vliv inflace
V kapitole Motivace jsme se zmínili, že při řešení problémů ve finančním světě vstupuje do hry inflace. Také jsme si v této kapitole ukázali, jak se míra inflace počítá.
V této části se budeme zabývat, jaký vliv má inflace na kapitál, který se úročí. Roční míru inflace budeme značit \(i_{inf}\). Zejména nás bude zajímat tzv. reálná úroková míra, která právě zohlední inflaci.
Reálná úroková míra \(i_{real}\) vzniká úpravou nominální úrokové míry o inflaci.
Nejprve ukážeme vliv inflace na konkrétním příkladu.
Příklad
Vložili jsme na bankovní účet \(1\,000\,000\,\text{Kč}\) na jeden rok. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je \(5\,\%\). Míra inflace byla v tomto roce \(2\,\%\). Daň z úroku neuvažujeme. Jaká byla reálná úroková míra zaokrouhlená na setiny procenta?
Řešení
1. Po jednom roce budeme mít částku na bankovním účtě \(K_1=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,05)\).
2. Vloženou částku musíme navýšit o inflaci, tj. \(1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02)\). To si můžeme představit tak, že pro nákup stejného množství zboží jako minulý rok, potřebujeme reálně částku o \(2\,\%\) vyšší. Abychom měli částku \(K_1\), musíme částku \(1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02)\) navýšit o reálnou úrokovou míru \(i_{real}\).
Platí tedy \(K_1=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02)\cdot (1+i_{real})\).
3. Dostáváme tedy \(K_1=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,05)=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02)\cdot (1+i_{real})\).
A po úpravě platí \(1+0,05=(1+0,02)\cdot (1+i_{real})\), to dále upravíme \(1+i_{real}=\frac{\displaystyle1+0,05}{\displaystyle 1+0,02 }\).
Reálná úroková míra je \(i_{real}= \frac{\displaystyle1+0,05}{\displaystyle 1+0,02 }-1 =\frac{\displaystyle 0,05-0,02}{\displaystyle 1+0,02 }\approx0,294\), tj. \(2,94\,\%\).
Všimněme si, že rozdíl roční úrokové sazby a roční míry inflace je \(5\,\%-2\,\%=3\,\%\), což se nerovná reálné úrokové míře \(i_{real}=2,94\,\%\).
Odvození vzorce pro reálnou úrokovou sazbu
Uvažujme vklad \(K_0\) na účtě na jeden rok, který se bude úročit jednou a to na konci roku s roční úrokovou sazbou \(i\).
Po jednom roce bude mít vklad hodnotu \(K_1=K_0(1+i)=K_0(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real})\).
Dostáváme \(1+i=(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real})\) a po úpravě dostaneme \(i_{real}=\frac{\displaystyle i-i_{inf}}{\displaystyle 1+i_{inf}}\).
Neuvažujeme-li daň z úroku, pak reálnou úrokovou sazbu spočítáme následovně
kde \(i\) je roční úroková sazba a \(i_{inf}\) je roční míra inflace.
Často se mylně uvádí, že \(i_{real}=i-i_{inf}\). Tento vztah lze považovat pouze za odhad \(i_{real}\), a to navíc za předpokladu, že je malá míra inflace (velmi blízká 0).
Pokud platí, že míra inflace je kladná, tedy jedná se o inflace (nikoli deflaci) platí, že reálná úroková sazba je menší než roční úroková sazba. Předpoklad, že míra inflace je kladná, je velice reálný, neboť v letech 2002 až 2018 byla v České republice míra inflace vždy kladná. Míra inflace v jednotlivých letech v České republice je zobrazena na obr. 1.1.1 a v tabulce 1.1.1 v kapitole Motivace.
Poznámka
Pokud \(i_{inf}>0\), pak \(i_{real} < i\), kde \(i\) je roční úroková sazba, \(i_{inf}\) je roční míra inflace a \(i_{real}\) je reálná úroková sazba.
Uložíme-li na začátku roku kapitál \(K_0\) (a úročení probíhá jednou ročně), reálná hodnota kapitálu \(K_{real}\) je dána vztahem \(K_{real}=K_0\cdot(1+i_{real})\).
Podobně bychom mohli definovat \(K_{{real}_n}\approx K_0\cdot(1+i_{real})^n\) jako reálnou hodnotu kapitálu po \(n\) letech. Avšak zde nastává problém, jak volit míru inflace, když po dobu \(n\) let byla vždy inflace různá. Proto vztah pro \(K_{{real}_n}\) budeme považovat spíše jako aproximaci (přibližný odhad) reálné hodnoty kapitálu po \(n\) letech a jako hodnotu \(i_{inf}\) ve vzorci pro \(i_{real}\) můžeme volit průměrnou míru inflace po \(n\) letech.
Kdybychom chtěli přesně spočítat \(K_{{real}_n}\), museli bychom pro každý rok spočítat \(i_{real}\) a postupně počítat \(K_{{real}_1}, K_{{real}_2}, \dots, K_{{real}_n}\), kde \(K_{{real}_n}=K_{n-1}\cdot(1+i_{real})\) a \(K_{{real}_1}=K_{real}=K_0\cdot(1+i_{real})\).
Následující aplikace v Appletu 2.4.1 počítá reálnou úrokovou míru a aproximaci reálné hodnoty kapitálu po \(n\) letech. V tomto apletu lze dále měnit roční úrokovou sazbu, roční míru inflace a počáteční kapitál.
Hodnota \(K_{{real}_n}\) nevyjadřuje, jakou částku budeme mít v budoucnu.
Vliv zdanění a inflace
Uvažujme vklad \(K_0\) na jeden rok, který se bude úročit jednou, a to na konci roku. Mějme roční úrokovou sazbu \(i\) a daň z úroku \(i_{tax}\).
Tedy dostáváme \(K_1=K_0\cdot(1+i\cdot(1-i_{tax}))=K_0(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real})\).
To upravíme do tvaru \(1+i\cdot(1-i_{tax})=(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real})\).
Dostaneme \(i_{real}=\frac{\displaystyle 1+i\cdot(1-i_{tax})}{\displaystyle 1+i_{inf}}-1= \frac{\displaystyle i\cdot(1-i_{tax})-i_{inf}}{\displaystyle 1+i_{inf}}\).
Reálná úroková sazba se zdaněním úroku a po inflaci je
kde \(i\) je roční úroková sazba, \(i_{tax}\) je daň z úroku a \(i_{inf}\) je roční míra inflace.
Podobně bychom mohli definovat reálnou hodnotu kapitálu při úročení jako \(K_{real}=K_0\cdot(1+i_{real})\).
Reálná hodnota kapitálu po \(n\) letech při složeném úročení se dá odhadnout jako \(K_{{real}_n}\approx K_0\cdot(1+i_{real})^n\).
Příklad
Roční úroková sazba je 1,8 %. Roční míra inflace je 2 %, daň z úroku je 15 %. Jaká je reálná úroková sazba zaokrouhlená na setiny procenta?
Řešení
\(i=0,018, i_{inf}=0,02, i_{tax}=0,15\)
\(i_{real}=\frac{\displaystyle 1+i\cdot(1-i_{tax})}{\displaystyle 1+i_{inf}}-1 = \frac{\displaystyle 1+0,018\cdot(1-0,15)}{\displaystyle 1+0,02}-1= \frac{\displaystyle 1+0,018\cdot0,85}{\displaystyle 1,02}-1=-0,0046078\cdots\approx -0,0046\)
Reálná úroková sazba je přibližně \(-0,46\, \%\). Kapitál se tedy znehodnocuje.
Příklad
Jaká by musela být úroková sazba na termínovaném vkladu, aby reálná úroková sazba byla kladná? Opět předpokládejme, že je roční míra inflace 2 % a daň z úroku je 15 %.
Řešení
\(\frac{\displaystyle 1+i\cdot0,85}{\displaystyle 1,02}-1>0\) \(\frac{\displaystyle 1+i\cdot0,85}{\displaystyle 1,02}>1\) \( 1+i\cdot 0,85>1,02\) \(i\cdot 0,85>0,02\) \(i>\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle 0,85}\approx 0,0235\) Úroková sazba by musela být 2,35 %, aby nedošlo ke znehodnocení peněz.
