Vliv daně a inflace
Vliv daně z úroku
Podle zákona o daních z příjmů jsou výnosy z úroků na spořicích účtech a termínovaných vkladech zdaněny sazbou 15 %. Dani z úroku jsme se již věnovali v kapitole Úrok.
Označme daň z úroků ve formě desetinného čísla jako i_{tax}. Pro připomenutí zde uvádíme, jak se spočítá úrok po zdanění.
Úrok po zdanění u' spočítáme jako
kde K_0 je počáteční kapitál,
i je roční úroková sazba a daň z úroku i_{tax}.
Nejprve ukážeme vliv daně z úroku při použití jednoduchého a složeného úročení na konkrétním příkladu.
Příklad
Vložíme na bankovní účet 1\,000\,000\,\text{Kč} na 3 roky. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je 3\,\%. Daň z úroku je 15\,\%.
- a) pokud banka použije jednoduché úročení,
- b) pokud banka použije složené úročení?
Řešení
K_0=1\,000\,000\,\text{Kč}, i=0,03, i_{tax}=0,15
Při roční úrokové sazbě 3\,\% a dani z úroku 15\,\% dostaneme za rok navíc
0,03\cdot(1-0,15)=0,03\cdot0,85=0,0255, tj. 2,55\,\% z počátečního vkladu.
a)
Výsledná částka po třech letech pomocí jednoduchého úročení byla
1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,0255\cdot3)\approx1\,076\,500\,\text{Kč}.
b) Výsledná částka po třech letech pomocí složeného úročení byla
1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,0255)^3\approx1\,078\,467\,\text{Kč}.
Jelikož se daní pouze úrok, z původního vzorce pro jednoduché úročení K_n=K_0\big(1+i\cdot n\big), resp. složené úročení K_n=K_0\big(1+i\big)^ndostáváme K_n=K_0\big(1+i\cdot(1-i_{tax})\cdot n\big), resp. K_n=K_0\big(1+i\cdot(1-i_{tax})\big)^n.
Vzorec pro jednoduché úročení při zahrnutí daně z úroku je
Vzorec pro složené úročení při zahrnutí daně z je
Kde K_n je výsledný kapitál, K_0 je počáteční kapitál, i je roční úroková sazba, daň z úroku je i_{tax} a n je počet úrokovacích obdobích v letech.
Vliv inflace
V kapitole Motivace jsme se zmínili, že při řešení problémů ve finančním světě vstupuje do hry inflace. Také jsme si v této kapitole ukázali, jak se míra inflace počítá.
V této části se budeme zabývat, jaký vliv má inflace na kapitál, který se úročí. Roční míru inflace budeme značit i_{inf}. Zejména nás bude zajímat tzv. reálná úroková míra, která právě zohlední inflaci.
Reálná úroková míra i_{real} vzniká úpravou nominální úrokové míry o inflaci.
Nejprve ukážeme vliv inflace na konkrétním příkladu.
Příklad
Vložili jsme na bankovní účet 1\,000\,000\,\text{Kč} na jeden rok. Úrokovací období je jeden rok a roční úroková sazba je 5\,\%. Míra inflace byla v tomto roce 2\,\%. Daň z úroku neuvažujeme. Jaká byla reálná úroková míra zaokrouhlená na setiny procenta?
Řešení
1. Po jednom roce budeme mít částku na bankovním účtě K_1=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,05).
2. Vloženou částku musíme navýšit o inflaci, tj. 1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02). To si můžeme představit tak, že pro nákup stejného množství zboží jako minulý rok, potřebujeme reálně částku o 2\,\% vyšší. Abychom měli částku K_1, musíme částku 1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02) navýšit o reálnou úrokovou míru i_{real}.
Platí tedy K_1=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02)\cdot (1+i_{real}).
3. Dostáváme tedy K_1=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,05)=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02)\cdot (1+i_{real}).
A po úpravě platí 1+0,05=(1+0,02)\cdot (1+i_{real}), to dále upravíme
1+i_{real}=\frac{\displaystyle1+0,05}{\displaystyle 1+0,02 }.
Reálná úroková míra je i_{real}= \frac{\displaystyle1+0,05}{\displaystyle 1+0,02 }-1 =\frac{\displaystyle 0,05-0,02}{\displaystyle 1+0,02 }\approx0,294, tj. 2,94\,\%.
Všimněme si, že rozdíl roční úrokové sazby a roční míry inflace je 5\,\%-2\,\%=3\,\%, což se nerovná reálné úrokové míře i_{real}=2,94\,\%.
Odvození vzorce pro reálnou úrokovou sazbu
Uvažujme vklad K_0 na účtě na jeden rok, který se bude úročit jednou a to na konci roku s roční úrokovou sazbou i.
Po jednom roce bude mít vklad hodnotu K_1=K_0(1+i)=K_0(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real}).
Dostáváme 1+i=(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real})
a po úpravě dostaneme
i_{real}=\frac{\displaystyle i-i_{inf}}{\displaystyle 1+i_{inf}}.
Neuvažujeme-li daň z úroku, pak reálnou úrokovou sazbu spočítáme následovně
kde i je roční úroková sazba a i_{inf} je roční míra inflace.
Často se mylně uvádí, že i_{real}=i-i_{inf}. Tento vztah lze považovat pouze za odhad i_{real}, a to navíc za předpokladu, že je malá míra inflace (velmi blízká 0).
Pokud platí, že míra inflace je kladná, tedy jedná se o inflace (nikoli deflaci) platí, že reálná úroková sazba je menší než roční úroková sazba. Předpoklad, že míra inflace je kladná, je velice reálný, neboť v letech 2002 až 2018 byla v České republice míra inflace vždy kladná. Míra inflace v jednotlivých letech v České republice je zobrazena na obr. 1.1.1 a v tabulce 1.1.1 v kapitole Motivace.
Poznámka
Pokud i_{inf}>0, pak i_{real} < i, kde i je roční úroková sazba, i_{inf} je roční míra inflace a i_{real} je reálná úroková sazba.
Uložíme-li na začátku roku kapitál K_0 (a úročení probíhá jednou ročně), reálná hodnota kapitálu K_{real} je dána vztahem K_{real}=K_0\cdot(1+i_{real}).
Podobně bychom mohli definovat K_{{real}_n}\approx K_0\cdot(1+i_{real})^n jako reálnou hodnotu kapitálu po n letech. Avšak zde nastává problém, jak volit míru inflace, když po dobu n let byla vždy inflace různá. Proto vztah pro K_{{real}_n} budeme považovat spíše jako aproximaci (přibližný odhad) reálné hodnoty kapitálu po n letech a jako hodnotu i_{inf} ve vzorci pro i_{real} můžeme volit průměrnou míru inflace po n letech.
Kdybychom chtěli přesně spočítat K_{{real}_n}, museli bychom pro každý rok spočítat i_{real} a postupně počítat K_{{real}_1}, K_{{real}_2}, \dots, K_{{real}_n}, kde K_{{real}_n}=K_{n-1}\cdot(1+i_{real}) a K_{{real}_1}=K_{real}=K_0\cdot(1+i_{real}).
Následující aplikace v Appletu 2.4.1 počítá reálnou úrokovou míru a aproximaci reálné hodnoty kapitálu po n letech. V tomto apletu lze dále měnit roční úrokovou sazbu, roční míru inflace a počáteční kapitál.
Hodnota K_{{real}_n} nevyjadřuje, jakou částku budeme mít v budoucnu.
Vliv zdanění a inflace
Uvažujme vklad K_0 na jeden rok, který se bude úročit jednou, a to na konci roku. Mějme roční úrokovou sazbu i a daň z úroku i_{tax}.
K_1=K_0\cdot(1+i\cdot(1-i_{tax})).
Z přechozí sekce Vliv inflace víme, že platí
K_1=K_0(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real}).
Tedy dostáváme K_1=K_0\cdot(1+i\cdot(1-i_{tax}))=K_0(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real}).
To upravíme do tvaru
1+i\cdot(1-i_{tax})=(1+i_{inf})\cdot(1+i_{real}).
Dostaneme i_{real}=\frac{\displaystyle 1+i\cdot(1-i_{tax})}{\displaystyle 1+i_{inf}}-1= \frac{\displaystyle i\cdot(1-i_{tax})-i_{inf}}{\displaystyle 1+i_{inf}}.
Reálná úroková sazba se zdaněním úroku a po inflaci je
kde i je roční úroková sazba, i_{tax} je daň z úroku a i_{inf} je roční míra inflace.
Podobně bychom mohli definovat reálnou hodnotu kapitálu při úročení jako K_{real}=K_0\cdot(1+i_{real}).
Reálná hodnota kapitálu po n letech při složeném úročení se dá odhadnout jako K_{{real}_n}\approx K_0\cdot(1+i_{real})^n.
Příklad
Roční úroková sazba je 1,8 %. Roční míra inflace je 2 %, daň z úroku je 15 %.
Jaká je reálná úroková sazba zaokrouhlená na setiny procenta?
Řešení
i=0,018, i_{inf}=0,02, i_{tax}=0,15
i_{real}=\frac{\displaystyle 1+i\cdot(1-i_{tax})}{\displaystyle 1+i_{inf}}-1 = \frac{\displaystyle 1+0,018\cdot(1-0,15)}{\displaystyle 1+0,02}-1= \frac{\displaystyle 1+0,018\cdot0,85}{\displaystyle 1,02}-1=-0,0046078\cdots\approx -0,0046
Reálná úroková sazba je přibližně -0,46\, \%. Kapitál se tedy znehodnocuje.
Příklad
Jaká by musela být úroková sazba na termínovaném vkladu, aby reálná úroková sazba byla kladná? Opět předpokládejme, že je roční míra inflace 2 % a daň z úroku je 15 %.
Řešení
\frac{\displaystyle 1+i\cdot0,85}{\displaystyle 1,02}-1>0
\frac{\displaystyle 1+i\cdot0,85}{\displaystyle 1,02}>1
1+i\cdot 0,85>1,02
i\cdot 0,85>0,02
i>\frac{\displaystyle 0,02}{\displaystyle 0,85}\approx 0,0235
Úroková sazba by musela být 2,35 %, aby nedošlo ke znehodnocení peněz.
