Finanční matematika

$\begin{align} \end{align}$

Frekvence úročení

Doposud jsme se zabývali situací, ve které jsme měli roční úrokovou sazbou a vklad jsme úročili ročně.
Nyní se budeme zabývat i ostatními případy. Konkrétně se podíváme, jak probíhá jednoduché a složené úročení v situaci, kdy uvažujeme roční úrokovou sazbou a vklad bychom úročili $p$ -krát do roka (např. $p=12$ , tj. měsíčně), $p\in\mathbb{N}$ . Úrokovací období je tedy kratší než rok.

Můžeme se setkat s finančními nabídkami, které uvádějí roční úrokovou sazbu, a mají různou délku úrokovacího období. Proto si nyní odvodíme vztah pro tzv. efektivní úrokovou sazbu. Efektivní úroková sazba pomáhá porovnat výslednou úrokovou sazbu (úvěrů či spoření) při rozdílných frekvencí úročení.

Definice

Efektivní úroková sazba (míra) je roční úroková sazba, která dává za rok při ročním úrokovacím období stejný úrok jako roční úroková sazba při úrokovacím období kratším než 1 rok.

Značení
$i_{ef}\dots$ efektivní úroková sazba
$i\,\dots\,\,\,$ roční úroková sazba
$\frac{i}{p}\,\dots\,$ úroková sazba pro $p$ -tinu roku

Je-li roční úroková sazba $i=2\,\%$ a úrokovací období je půlroční (tj. $p=2$ ), pak $\frac{i}{p}=\frac{i}{2}=1\,\%$ .

Různé frekvence - jednoduché úročení

Nejdříve si odvodíme vztah mezi efektivní úrokovou sazbou a úroková sazba pro $12$ tinu roku pro jednoduché úročení na následujícím příkladu.

Kapitál $K_0=1\,\text{Kč}$ chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.

1. způsob: Banka jednorázové připisuje úrok na konci roku, tzn. roční úroková sazba je též efektivní úroková sazba.
2. způsob: Banka připíše na konci každého měsíce úrok, který se počítá z počátečního kapitálu

$K_0=1\,\text{Kč}$ . Roční úroková sazba je

$i=2\,\%$ .

Bude nás zajímat stav účtu pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.1.

	1. způsob v Kč			2. způsob v Kč
Měsíc	Úrok	Celkový úrok	Stav účtu	Úrok	Celkový úrok	Stav účtu
$1.$ měsíc	0	0	$1$	$1\cdot \frac{0,02}{12}$	$\frac{0,02}{12}$	$1+\frac{0,02}{12}$
$2.$ měsíc	0	0	$1$	$\frac{0,02}{12}$	$2\cdot\frac{0,02}{12}$	$1+2\cdot\frac{0,02}{12}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$12.$ měsíc	$i_{ef}$	$i_{ef}$	$1+i_{ef}$	$\frac{0,02}{12}$	$12\cdot\frac{0,02}{12}$	$1+12\cdot\frac{0,02}{12}$

Tabulka 2.3.1

Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsobu bude $1+i_{ef}$ .
Kapitál v Kč na konci roku dle 2. způsobu bude $1+12\cdot\frac{0,02}{12}=1+0,02$ .
Požadujeme $1+i_{ef}=1+0,02$ .

V tomto konkrétním příkladu platí $i_{ef}=0,02$ , tedy $2\,\%$ .

Nyní si obecně odvodíme vztah pro efektivní úrokovou sazbu u jednoduchého úročení.

Kapitál $K_0=1\,\text{Kč}$ chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.

1. způsob: Banka jednorázové připisuje úrok na konci roku, tzn. roční úroková sazba je též efektivní úroková sazba.
2. způsob: Banka připíše každou

$p$ -tinu roku (např.

$p=12$ , tj. měsíčně) úrok, který se počítá z počátečního kapitálu

$K_0=1\,\text{Kč}$ . Roční úroková sazba je

$i$ .

Bude nás zajímat stav účtů pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.2.

	1. způsob v Kč			2. způsob v Kč
čas v $p$ -tinách roku	Úrok	Celkový úrok	Stav účtu	Úrok	Celkový úrok	Stav účtu
$0$			$1$			1
$1$	0	0	$1$	$1\cdot \frac{i}{p}$	$\frac{i}{p}$	$1+\frac{i}{p}$
$2$	0	0	$1$	$\frac{i}{p}$	$2\cdot\frac{i}{p}$	$1+2\cdot\frac{i}{p}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$p$	$i_{ef}$	$i_{ef}$	$1+i_{ef}$	$\frac{i}{p}$	$p\cdot\frac{i}{p}$	$1+p\cdot\frac{i}{p}$

Tabulka 2.3.2

Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsobu bude $1+i_{ef}$ .
Kapitál v Kč na konci roku dle 2. způsobu bude $1+p\cdot\frac{i}{p}=1+i$ .
Požadujeme $1+i_{ef}=1+i$ .

Vztah mezi efektivní úrokovou sazbou $i_{ef}$ a roční úrokovou sazbou $i$ s úrokovacím obdobím kratším než rok u jednoduchého úročení je $i_{ef}=i$ .

Různé frekvence - složené úročení

Nejdříve si odvodíme vztah mezi efektivní úrokovou sazbou a roční úrokovou sazbou u složeného úročení na následujícím příkladu.

Kapitál $K_0=1\,\text{Kč}$ chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.

$2\,\%$ .

Bude nás zajímat stav účtů pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.3.

	1. způsob v Kč		2. způsob v Kč
Měsíc	Úrok	Stav účtu	Úrok	Stav účtu
$1.$ měsíc	0	1	$1\cdot \frac{0,02}{12}$	$1+\frac{0,02}{12}$
$2.$ měsíc	0	1	$\big(1+\frac{0,02}{12}\big)\cdot \frac{0,02}{12}$	$\big(1+\frac{0,02}{12}\big)^2$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$12.$ měsíc	$i_{ef}$	$1+i_{ef}$	$\vdots$	$\big(1+\frac{0,02}{12}\big)^{12}$

Tabulka 2.3.3

Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsob bude $1+i_{ef}$ .
Kapitál v Kč na konci roku dle 2. způsob bude $\big(1+\frac{0,02}{12}\big)^{12}$ .
Požadujeme $1+i_{ef}=\big(1+\frac{0,02}{p}\big)^{12}$ .

V tomto konkrétním příkladu platí $i_{ef}=\big(1+\frac{0,02}{p}\big)^{12}-1$ .

Nyní si odvodíme obecný vztah pro efektivní úrokovou sazbu u složeného úročení.

Kapitál $K_0=1\,\text{Kč}$ chceme uložit na bankovní účet na 1 rok. Uvažujme následující dva způsoby úročení. Daň z úroku neuvažujeme.

1. způsob: Banka jednorázové připisuje úrok na konci roku, tzn. roční úroková sazba je též efektivní úroková sazba.
2. způsob: Banka připíše každou

$p$ -tinu roku (např.

$p=12$ , tj. měsíčně) úrok, který se přičítá k již dosažené hodnotě kapitálu a spolu s ním se dále úročí. Roční úroková sazba je

$i$ .

Bude nás zajímat stav účtů pro oba způsoby, vše je názorně ukázáno v tabulce 2.3.4.

	1. způsob v Kč		2. způsob v Kč
Čas v $p$ -tinách roku	Úrok	Stav účtu	Úrok	Stav účtu
$0$	0	1		1
$1$	0	1	$1\cdot \frac{i}{p}$	$1+\frac{i}{p}$
$2$	0	1	$\big(1+\frac{i}{p}\big)\cdot \frac{i}{p}$	$\big(1+\frac{i}{p}\big)^2$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$p$	$i_{ef}$	$1+i_{ef}$	$\vdots$	$\big(1+\frac{i}{p}\big)^p$

Tabulka 2.3.4

Kapitál v Kč na konci roku dle 1. způsob bude $1+i_{ef}$ .
Kapitál v Kč konci roku dle 2. způsob bude $\big(1+\frac{i}{p}\big)^p$ .
Požadujeme rovnost $1+i_{ef}=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p$ .

Vztah mezi efektivní úrokovou sazbou

$i_{ef}$ a roční úrokovou sazbou

$i$ s frekvencí úročení

$p$ -krát ročně u složeného úročení je

$1+i_{ef}=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p$ .

Úloha

Chceme uložit kapitál na termínovaný vklad do banky na jeden rok.
Banka A úročí denně a má roční úrokovou sazbu 1,29 %.
Banka B úročí půlročně a má roční úrokovou sazbu 1,30 %.

Obě banky úročí složeným úročením.
Jaká bude efektivní úroková míra termínovaného vkladu zaokrouhlená na tisíciny procenta pro obě banky?
Který termínovaný vklad je finančně výhodnější? Zobrazit řešení

Řešení

Roční úroková sazba pro banku A je $i_A = 0,0129$ .

Roční úroková sazba pro banku B je $i_B = 0,013$ .

Ze vztahu $1+i_{ef}=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p$ vyjádříme $i_{ef}=\big(1+\frac{i}{p}\big)^p-1.$

Pro banku A dostáváme $i_{ef}=\big(1+\frac{i_A}{365}\big)^{365}-1=\big(1+\frac{0,0129}{365}\big)^{365}-1 \approx0,01298$ , tj. $1,298\,\%$ .

Pro banku B dostáváme: $i_{ef}=\big(1+\frac{i_B}{2}\big)^2-1=\big(1+\frac{0,013}{2}\big)^2-1\approx 0,01304$ , tj. $1,304\,\%$ .

Finančně výhodnější je termínovaný vklad banky B, neboť má větší efektivní úrokovou sazbu.

Uvažujme počáteční kapitál je $K_0=1\,000\,000\,\text{Kč}$ . Roční úroková sazba je $i=0,1$ a úroková sazba pro $p$ -tinu roku je $\frac{i}{p}$ . Vklad úročíme složeným úročením. Daň z úroku neuvažujeme.

V tabulce 2.3.5 ukazujeme, jak se mění hodnota kapitálu po jednom roce $K_1$ , pokud volíme různé úrokovací období.

$p$	$K_1=K_0\cdot\big(1+\frac{i}{p}\big)^p$
1	$1\,100\,000\,\text{Kč}$
2	$1\,102\,500\,\text{Kč}$
4	$1\,103\,813\,\text{Kč}$
12	$1\,104\,713\,\text{Kč}$
52	$1\,105\,065\,\text{Kč}$
365	$1\,105\,156\,\text{Kč}$

Tabulka 2.3.5

Pokud neuvažujeme daň z úroku, pak platí:

kapitál, který se úročí pomocí jednoduchého úročení, po $n$ letech je

$K_n = K_0\big(1+i\cdot n)$ ,

kapitál, který se úročí pomocí složeného úročení, po $n$ letech je

$K_n = K_0\big(1+\frac{i}{p}\big)^{n\cdot p}$ ,

kde $K_0$ je počáteční kapitál, $i$ je roční úroková sazba a $p$ je počet úročení v jednom roce.

Finanční matematika

Frekvence úročení

Různé frekvence - jednoduché úročení

Různé frekvence - složené úročení

Úloha

Řešení

Titulní strana

Úvod

Úvod do financí

Úročení

Dluhopisy

Úvěry a půjčky

Spoření

Test

Rejstřík pojmů