Finanční matematika

• Úvod
• Témata
• Kontakty

Bezkupónové dluhopisy

Během doby splatnosti těchto dluhopisů nejsou vypláceny žádné kupónové platby. Zisku dosahují věřitelé tím, že cenný papír nakupují s diskontem, tedy pod nominální hodnotou, kterou musí dlužník splatit.

Například dluhopis nominální hodnoty $1\,000\,\text{Kč}$ nakoupíme za $900\,\text{Kč}$ a po době splatnosti dostaneme vyplacenou nominální částku.

Příklad

Město A emituje osmileté bezkupónové dluhopisy s nominální hodnotou $10\,000\,\text{Kč}$. Dluhopisy se prodávají s diskontem, diskontní míra je $10\,\%$ a daň z diskontu je $15\,\%$.

Rozhodneme se nakoupit dluhopisy města A.

• a) Jaká je pořizovací cena jedno dluhopisu města A? Zaokrouhlete na koruny.
• b) Kolik dluhopisů města A můžeme nakoupit za $200\,000\,\text{Kč}$?
• c) Jaký zisk realizujeme na nákupu dluhopisů města A za 8 let, pokud máme k dispozici $200\,000\,\text{Kč}$?

Řešení

a) Nákupní cena jednoho dluhopisu města A je
$10\,000\,\text{Kč}\cdot\big(1-0,1\cdot(1-0,15)\big)= 10\,000\,\text{Kč}\cdot\big(1-0,1\cdot0,85\big)=10\,000\,\text{Kč}\cdot0,915=9\,150\,\text{Kč}$.

b) Za $200\,000\,\text{Kč}$ nakoupíme $\frac{\displaystyle200\,000}{\displaystyle9\,150} \approx21$ dluhopisů města A.

c) Celkově nakoupíme dluhopisy za $21\cdot9\,150\,\text{Kč}=192\,150\,\text{Kč}$.
Od města A dostaneme po třech letech zaplaceno $21\cdot10\,000\,\text{Kč}=210\,000\,\text{Kč}$.

Zisk bude rozdíl mezi nominální a nákupní cenou, což je $210\,000\,\text{Kč}-192\,150\,\text{Kč}=17\,850\,\text{Kč}$.

Úlohy

1. Rozhodneme se nakoupit roční dluhopisy, na výběr máme dluhopisy buď firmy A, nebo firmy B.

   Firma A nabízí nákup ročních dluhopisů v nominální hodnotě $20\,000\,\text{Kč}$ s roční kupónovou sazbou $2\,\%$ a daň z úroku je $15\,\%$.

   Firma B nabízí nákup bezkupónových ročních dluhopisů v nominální hodnotě $20\,000\,\text{Kč}$. Dluhopisy se prodávají s diskontem, diskontní míra je $2\,\%$ a daň z diskontu je $15\,\%$.

   Která firma nabízí finančně výhodnější dluhopisy?

   Řešení

   Po jednom roce firma A vyplatí za každý dluhopis částku
   $20\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,02\cdot0,85)=20\,340\,\text{Kč}$.

   Dluhopisy firmy B se nakupují za $20\,000\,\text{Kč}\cdot(1-0,02\cdot0,85)=19\,660\,\text{Kč}$.

   V obou případech je zisk z jednoho dluhopisu $340\,\text{Kč}$.
   U firmy B zisk realizuje s menším počátečním kapitálem, tedy dluhopisy firmy B jsou finančně výhodnější.

2. Stát emituje bezkupónové desetileté dluhopisy.

   Státní dluhopisy mají nominální hodnotu $10\,000\,\text{Kč}$. Dluhopisy se prodávají s diskontem, diskontní míra je $15\,\%$ a daň z diskontu je $15\,\%$.

   Jaký zisk realizujeme po 10 letech, pokud nakoupíme 10 kusů těchto dluhopisů?

   Řešení

   Státní dluhopisy se nakupují za $10\,000\,\text{Kč}\cdot(1-0,15\cdot0,85)=8\,725\,\text{Kč}$ za 1 kus.

   Celkem nakupíme 10 kusů státních dluhopisů za $10\cdot8\,725\,\text{Kč}=87\,250\,\text{Kč}$.

   Zisk po deseti letech je $100\,000\,\text{Kč}-87\,250\,\text{Kč}=12\,750\,\text{Kč}$.

3. Chceme investovat $100\,000\,\text{Kč}$ do dluhopisů. Máme na výběr dva dluhopisy firmy C a firmy D.

   Firma C nabízí nákup pětiletých kupónových dluhopisů v nominální hodnotě jednoho dluhopisu $1\,000\,\text{Kč}$. Roční kupónová sazba je $1,5\,\%$ a daň z úroku je $15\,\%$.

   Firma D nabízí nákup bezkupónových šestiletých dluhopisů v nominální hodnotě $10\,000\,\text{Kč}$. Dluhopisy se prodávají s diskontem, diskontní míra je $8\,\%$ a daň z diskontu je $15\,\%$.

   Do kterých dluhopisů je finančně výhodnější investovat $100\,000\,\text{Kč}$, pokud preferujeme větší zisk?

   Řešení

   Za $100\,000\,\text{Kč}$ nakoupíme $\frac{\displaystyle100\,000\,\text{Kč}}{\displaystyle1\,000\,\text{Kč}}=100$ dluhopisů města C.

   Po 5 letech nám firma C vyplatí za $100$ dluhopisů částku
   $100\,000\,\text{Kč}\cdot(1+0,015\cdot0,85\cdot 5)=106\,375\,\text{Kč}$.

   Zisk ze $100$ dluhopisů firmy je $106\,375\,\text{Kč}-100\,000=6\,375\,\text{Kč}$.
   Ke stejnému zisku dojdeme i následovně $100\,000\,\text{Kč}\cdot0,015\cdot0,85\cdot 5=6\,375\,\text{Kč}$.

   Dluhopisy firmy D se nakupují za $10\,000\,\text{Kč}\cdot(1-0,08\cdot0,85)=9\,320\,\text{Kč}$ za 1 kus.
   To znamená, že za $100\,000\,\text{Kč}$ nakoupíme $10$ dluhopisů firmy D.

   Celkem nakoupíme $10$ kusů bezkupónových dluhopisů firmy D za $10\cdot9\,320\,\text{Kč}=93\,200\,\text{Kč}$.

   Zisk z $10$-ti dluhopisů firmy D je $10\cdot10\,000\,\text{Kč}-93\,200\,\text{Kč}=6\,800\,\text{Kč}$.

   Větší zisk nám přinese investovat do bezkupónových dluhopisů firmy D.

• Titulní strana

• Úvod

• Úvod do financí

  • Motivace
  • Dlužník a věřitel
  • Úrok
  • Investice

• Úročení

  • Jednoduché úročení
  • Složené úročení
  • Frekvence úročení
  • Vliv daně a inflace
  • Diskontování
  • Úlohy

• Dluhopisy

  • Dluhopisy
  • Dluhopisy s pevným kupónem
  • Dluhopisy s pohyblivým výnosem
  • Bezkupónové dluhopisy

• Úvěry a půjčky

  • Motivace
  • Anuitní splátka
  • Úmor
  • Úvěrové produkty
  • Úlohy

• Spoření

  • Motivace spoření
  • Spoření
  • Úlohy

• Test

• Rejstřík pojmů