Motivace
Každý z nás se setkal ve svém okolí s někým, kdo měl úvěr, resp. půjčku na bydlení. Z právního hlediska pojem půjčka není definován zákonem, ale přesto se tento název často užívá místo termínu úvěr. Pojem úvěr je vysvětlen níže.
Uvedeme si konkrétní příklad půjčky a odvodíme si vzorec pro částku, kterou budeme pravidelně splácet. Zatím nebudeme definovat žádné nové pojmy a vyjdeme ze znalostí, které již známe. V tomto motivačním příkladu budeme uvažovat takový model půjčky, při kterém si jednorázově půjčíme danou částku a splátky budeme pravidelně platit každý rok.
Příklad
V bance si půjčíme 1 milion Kč s roční úrokovou sazbou 3 %. Úrokovací období bude rok a částku budeme splácet ve třech ročních splátkách vždy na konci roku. Částku, kterou budeme pravidelně splácet, označíme \(s\). Bude nás zajímat: a) výše splátky \(s\) v Kč, b) částka v Kč, kterou celkově za půjčku zaplatíme, c) částka v Kč, kterou zaplatíme navíc, a kolik procent zaplatíme navíc.
Řešení
Postup řešení uvádíme přehledně v následující tabulce 4.1.1.
| Dluh v Kč | |||
|---|---|---|---|
| Rok | Před splátkou | Po splátce | Transakce |
| 2019 | \(1\,000\,000 = 10^6\) | + 1 mil. Kč | |
| 2020 | \(10^6\cdot 1,03\) | \(10^6\cdot 1,03 - s\) | - \(s\) Kč |
| 2021 | \((10^6\cdot 1,03 - s)\cdot 1,03 =\) \(10^6\cdot 1,03^2 - s\cdot 1,03 \) | \(10^6\cdot 1,03^2 - s\cdot 1,03 -s \) | - \(s\) Kč |
| 2022 | \((10^6\cdot 1,03^2 - s\cdot 1,03 -s)\cdot 1,03 =\) \(10^6\cdot 1,03^3 - s\cdot 1,03^2 - s\cdot 1,03 \) | \(10^6\cdot 1,03^3 - s\cdot 1,03^2 - s\cdot 1,03 -s\) | - \(s\) Kč |
Samozřejmě požadujeme, abychom po třech splátkách splatili celou částku. Tedy po poslední splátce nebudeme mít žádný dluh: \(10^6\text{ Kč}\cdot 1,03^3 - s\text{ Kč}\cdot 1,03^2 - s\text{ Kč}\cdot 1,03 -s \text{ Kč} = 0 \text{ Kč}\).
Na následující vztah můžeme nahlížet jako na lineární rovnici s neznámou \(s\)
\(10^6\text{ Kč}\cdot 1,03^3 - s \text{ Kč}\cdot 1,03^2 - s \text{ Kč}\cdot 1,03 -s \text{ Kč} = 0 \text{ Kč}\),
rovnici postupně upravíme
\(10^6\text{ Kč}\cdot 1,03^3 = s\text{ Kč}\cdot 1,03^2 + s\text{ Kč}\cdot 1,03 + s\text{ Kč} \),
\(10^6\text{ Kč}\cdot 1,03^3 = s\text{ Kč}\cdot(1,03^2 + 1,03 + 1)\).
Na pravé straně rovnice v závorce dostáváme první tři členy geometrické posloupnosti, kde \(a_1 = 1,\, q = 1,03\). Použijeme vzorec pro součet prvních tří členů geometrické posloupnosti \(s_3 = a_1\cdot\frac{\displaystyle q^3-1}{\displaystyle q-1} \). U příkladů, kde máme malý počet splátek, není třeba používat vzorec pro součet prvních členů geometrické posloupnosti. Pokud však budeme mít větší počet splátek než u toho motivačního příkladu, bude výhodné mít obecný postup.
Dostáváme vztah, ze kterého vyjádříme \(s\). \(10^6\text{ Kč}\cdot 1,03^3 = s\text{ Kč}\cdot 1\cdot \frac{\displaystyle 1,03^3-1}{\displaystyle 1,03-1}\,\,\,\,\, /\cdot\frac{\displaystyle0,03}{\displaystyle1,03^3-1}\) a) Výše splátky činí \(s = \frac{\displaystyle 10^6\text{ Kč} \cdot 1,03^3\cdot 0,03}{\displaystyle 1,03^3-1} \approx 353\, 530\text{ Kč}.\) b) Celkem zaplatíme \(3\cdot 353\, 530\text{ Kč}=1\,060\,591\text{ Kč}\). c) Určíme \(\frac{\displaystyle 1\,060\,591\text{ Kč}}{\displaystyle1\,000\,000\text{ Kč}}-1\approx 1,06 -1 =0,06.\) Zaplatíme navíc \(60\,591\) Kč, což je přibližně \(6\,\%\) zapůjčené částky.
Tento příklad vyvrací často mylnou představu o půjčkách, že při úrokové sazbě \(3\,\%\) zaplatíme navíc pouze \(3\,\%\) půjčené částky. V našem příkladu jsme měli úrokovou sazbu \(3\,\%\) a zaplatili jsme navíc \(6\,\%\) z půjčené částky. Z postupu, který jsme provedli, plyne, že kdybychom zvyšovali počet splátkových období, tak by rostla částka, kterou celkově zaplatíme. Tedy čím déle splácíme, tím více zaplatíme.
Anuitní splátka
V našem příkladu jsme pravidelně platili splátku \(s\), takovéto splátce budeme říkat anuitní splátka.
Úvěr
Úvěrem rozumíme dočasné postoupení finančních prostředků věřitelem dlužníkovi. Dlužník se zavazuje uhradit původní částku s určitým úrokem a to po uplynutí, nebo v průběhu doby splatnosti.
Úvěr je vymezen v občanském zákoníku, kde jsou uvedeny následující vlastnosti.
- Úvěr musí být pouze peněžitý.
- Úroky musí být sjednány vždy.
- Úvěr nemůže nabízet kdokoliv, ale pouze společnosti, pro které je to předmět podnikání.
U úvěrů pro podnikatele je časté, že splátky nejsou stejně velké.
Například majitel firmy si půjčí peníze od banky na rozšíření výroby. Očekává, že rozšíření výroby bude trvat 10 měsíců a další 2 měsíce bude trvat nábor nových zaměstnanců. Z tohoto důvodu je pro podnikatele výhodnější mít první rok menší splátku. Další roky už je nová výroba v provozu a firmě přináší zisk, tedy podnikatel může splácet větší část úvěru.
Příklad
Podnikatel požádá banku o úvěr ve výši \(10\) mil. Kč. Podnikatel chce úvěr splatit ve třech ročních splátkách. Podnikatel odhaduje, že první rok zaplatí splátku \(2\,000\,000\,\text{Kč}\).
Banka firmě vyhoví a poskytne jí úvěr s úrokovou sazbou \(10\,\%\) p.a. Úrokovací období je rok. Banka požaduje, aby druhá splátka byla \(3\,900\,000\,\text{Kč}\).
- a) Kolik korun činí poslední splátka?
- b) Kolik korun podnikatel zaplatí bance celkem na úrocích?
Řešení
a) Banka připíše nejdříve na konci prvního roku úrok a firma bude dlužit \(10\,000\,000\,\text{Kč}\cdot (1+0,1)=10\,000\,000\,\text{Kč}\cdot 1,1=11\,000\,000\,\text{Kč}\).
Firma zaplatí první splátku \(2\,000\,000\,\text{Kč}\) a bude dlužit \(11\,000\,000\,\text{Kč}-2\,000\,000\,\text{Kč}=9\,000\,000\,\text{Kč}\).
Na konci druhého roku banka opět připíše úrok a firma bude dlužit \(9\,000\,000\,\text{Kč}\cdot (1+0,1)=9\,000\,000\,\text{Kč}\cdot 1,1=9\,900\,000\,\text{Kč}\).
Firma zaplatí druhou splátku \(3\,900\,000\,\text{Kč}\) a bude dlužit \(9\,900\,000\,\text{Kč}-3\,900\,000\,\text{Kč}=6\,000\,000\,\text{Kč}\).
Banka na konci třetího roku připíše úrok a firma bude dlužit \(6\,000\,000\,\text{Kč}\cdot (1+0,1)=6\,000\,000\,\text{Kč}\cdot 1,1=6\,600\,000\,\text{Kč}\).
Poslední splátka je \(6\,600\,000\,\text{Kč}\).
b) Firma celkem zaplatí na úrocích \(1\,000\,000\,\text{Kč}+900\,000\,\text{Kč}+600\,000\,\text{Kč}=2\,500\,000\,\text{Kč}\).
Všimneme si, že podnikatel zaplatil první splátku \(2\,\text{mil. Kč}\), z toho zaplatil \(1\,\text{mil. Kč}\) jako úrok a pouze o \(1\,\text{mil. Kč}\) snížil dlužnou částku. V dalších letech už podnikatel díky větším splátkám platil menší úroky.
Konkrétně se problematice úroku a snižování dlužné částky budeme věnovat v samostatné kapitole Úmor. V následující kapitole se zaměříme na výpočet anuitní splátky.
