\begin{align} \end{align}

Diskontování a diskont

Diskontování

Občas se dostaneme do situace, že budete znát hodnotu kapitálu v budoucnu, ale nebudeme znát současnou hodnotu. Přesně pro tuto situaci slouží diskontování.

Opět použijeme již zavedené značení.
\(i \dots\) roční úroková sazba (míra) ve tvaru desetinného čísla
\(i_{tax} \dots\) roční míra inflace ve tvaru desetinného čísla
\(n \dots\) počet úrokovacích období
\(K_0 \dots\) základ, jistina, počáteční kapitál
\(K_n \dots\) výsledný kapitál po \(n\) úrokovacích obdobích
Ze vzorce pro složené úročení:
\(K_n = K_0(1+i)^n\)
vyjádříme \(K_0:\)
\(K_0 = K_n\frac{\displaystyle1}{\displaystyle (1+i)^n}=K_n\Big(\displaystyle\frac{1}{1+i}\Big)^n.\)

Definice

Diskontní faktor označujeme \(v=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1+i}\), pokud neuvažujeme daň z úroku.

Pokud zahrneme daň z úroku, pak diskontní faktor je dán vztahem \(v=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1+i\cdot(1-i_{tax})}\).

Poznámka

Platí \(K_0 = K_n v^n\).

Příklad

Kolik korun musíme vložit do banky, abychom po pěti letech měli na účtě \(1\) milion Kč? Banka používá složené úročení a má roční úrokovací období. Roční úroková sazba je \(2\, \%\).
a) Daň z úroků neuvažujte.
b) Daň z úroků je \(15\, \%\).

Řešení

a) Ze zadání známe následující údaje:
\(K_5 = 1\,000\,000\,\text{Kč}\),
\(i = 0,02\).

Diskontní faktor je dán vztahem \(v=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1+i}= \frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1+0,02}=\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1,02}\).

Pak platí \(K_0 = K_5 v^5=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot\Big(\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1,02}\Big)^5 \approx905\,731\,\text{Kč}\).

Abychom po pěti letech měli na účtě \(1\) milion Kč, musíme vložit do banky alespoň \(905\,731\,\text{Kč}\).

b) Víme:
\(K_5 = 1\,000\,000\,\text{Kč},\)
\(i\cdot(1-i_{tax}) = 0,02\cdot(1-0,15)=0,02\cdot0,85=0,017.\)

\(K_0 = K_5 \Big(\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1+i\cdot(1-i_{tax})}\Big)^5 =1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot\Big(\frac{\displaystyle1}{\displaystyle 1,017}\Big)^5 \approx919\,169\,\text{Kč}\).

Pokud uvažujeme daň z úroku, musíme do banky vložit alespoň \(919\,169\,\text{Kč}\), abychom po pěti letech měli na účtě \(1\) milion Kč.

Při úročení posouváme čas dopředu, naopak při diskontování posouváme čas dozadu.

Diskont

Diskont je úrok, který se nevztahuje k počátečnímu vloženému kapitálu či k poskytnutému úvěru, nýbrž ke splatné částce, tj. částce, kterou vyplácí dlužník věřiteli na konci úrokové doby.

Pojem, který se pojí s diskontem, je diskontní míra. Diskontní míra je úroková míra vázaná na splatnou částku.

Pozor, neplést diskontování a diskont.

Diskontování si ukážeme na následujícím příkladu.

Příklad

Zažádáme banku o úvěr na jeden rok ve výši 1 milion Kč s diskontní mírou \(10\, \%\). Banka při poskytnutí částky 1 milion Kč odečte \(10\, \%\) a po jednom roce zaplatíme 1 milion Kč.

a) Kolik korun nám banka vyplatí při poskytnutí výše uvedeného úvěru?
b) Kolik korun zaplatíme bance navíc?

Řešení

a) Banka nám vyplatí z 1 milionu Kč částku, která bude o \(10\, \%\) menší, tedy dostaneme vyplaceno \(90\, \%\) z 1 milionu Kč.

Banka nám vyplatí \(1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot(1-0,1)=1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot0,9=900\,000\,\text{Kč}\).

b) Banka navíc zaplatíme \(10\, \%\) z 1 milionu Kč, tedy \(1\,000\,000\,\text{Kč}\cdot0,1=100\,000\,\text{Kč}\).

Diskont se také využívá v bezkupónových dluhopisech.

Úlohy

  1. Požádáme banku o úvěr ve výši \(500\,000\,\text{Kč}\) na jeden rok.

    Banka A nám nabízí úvěr s roční úrokovou mírou \(7\, \%\). Úrokovací období je rok.

    Banka B nám nabízí úvěr s diskontem, diskontní míra je \(7\, \%\).

    • a) Kolik Kč celkem zaplatíme bance A, kdybychom ji požádali o úvěr?
    • b) Kolik Kč by nám vyplatila banka B, kdybychom ji požádali o úvěr?
    • c) Jaký úvěr je výhodnější?
  2. Banka nám nabízí úvěr s diskontem, diskontní míra je \(6,5\, \%\). O jak vysoký úvěr bychom museli požádat banku, abychom získali \(1\,000\,000\,\text{Kč}\)? Výslednou částku zaokrouhlete na koruny.

  3. Společnost A nabízí úvěr ve výši \(200\,000\,\text{Kč}\) na jeden rok.

    Úvěr I: Společnost A nabízí klientům úvěr s roční úrokovou sazbou \(5\, \%\). Úrokovací období je rok.

    Úvěr II: Společnost A nabízí klientům úvěr s diskontem, diskontní mírou je \(5\, \%\).

    • a) Kolik Kč celkem klient zaplatí společnost A, když požádá o úvěr I?
    • b) Kolik Kč společnost A vyplatí klientovi, pokud klient požádá o úvěr II?
    • c) Jaký úvěr je pro společnost A výhodnější?