Kombinační čísla
Úlohy
Odkazy na úlohy podle témat:
Kombinační čísla
Pascalův trojúhelník
Binomická věta
Kombinační čísla
Úloha 4.1
Vypočítejte:
|
a) \(\displaystyle{8 \choose 2}\) |
|
b) \(\displaystyle{8 \choose 6}\) |
|
c) \(\displaystyle{10 \choose 7}\) |
|
d) \(\displaystyle{15 \choose 12}\) |
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{28}\)
b) \(\boldsymbol{28}\)
c) \(\boldsymbol{120}\)
d) \(\boldsymbol{455}\)
Úloha 4.2
Jediným kombinačním číslem vyjádřete tyto součty:
|
a) \(\displaystyle{10 \choose 4} + \displaystyle{10 \choose 5}\) |
|
b) \(\displaystyle{13 \choose 2} + \displaystyle{13 \choose 10}\) |
|
c) \(\displaystyle{6 \choose 3} + \displaystyle{6 \choose 4} + \displaystyle{7 \choose 5}\) |
Výsledky:
|
a) \(\boldsymbol{\displaystyle{11 \choose 5}}\) |
|
b) \(\boldsymbol{\displaystyle{14 \choose 3}}\) |
|
c) \(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 5}}\) |
Použijeme vlastnosti
|
\(\displaystyle{n \choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1 \choose k+1}\) |
|
\(\displaystyle{n \choose k} = \displaystyle{n \choose n-k}\) |
Úloha 4.3
Vyjádřete jediným kombinačním číslem:
|
\(\displaystyle{5 \choose 5} + \displaystyle{6 \choose 5} + \displaystyle{7 \choose 5} + \displaystyle{8 \choose 5} + \displaystyle{9 \choose 5}\) |
Výsledek:
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{10 \choose 6}}\) |
|
\(\displaystyle{5 \choose 5} = 1 = \displaystyle{6 \choose 6}\), dále použijeme vlastnost
|
|
\(\displaystyle{n \choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1 \choose k+1}\) |
Úloha 4.4
Určete součet:
|
\(\displaystyle{2 \choose 2} + \displaystyle{3 \choose 2} + \displaystyle{4 \choose 2} + \displaystyle{5 \choose 2} + \ldots + \displaystyle{19 \choose 2} + \displaystyle{20 \choose 2}\) |
Výsledek:
|
\(\displaystyle{21 \choose 3} = \boldsymbol{1\,330}\) |
Úloha 4.5
V množině přirozených čísel řešte rovnice s neznámou \(x\):
|
a) \(\displaystyle{9 \choose 4} \cdot x = \displaystyle{10 \choose 5}\) |
|
b) \(\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x-1 \choose 2} = 4\) |
|
c) \(\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x+3 \choose 2} = 4\) |
|
d) \(\displaystyle{x-1 \choose x-3} + \displaystyle{x-2 \choose x-4} = 9\) |
|
e) \(\displaystyle{x+1 \choose 2} + \displaystyle{x \choose 2} = 4 \displaystyle{n \choose n}\), \(n\) je přirozené číslo
|
|
f) \(\displaystyle{x-1 \choose 2} - \displaystyle{x \choose 0} = \dfrac{n!}{2n(n-1)(n-2)!} \cdot \displaystyle{x \choose 2}\), \(n \geq 2\) je přirozené číslo
|
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{\{2\}}\)
b) \(\boldsymbol{\{3\}}\)
c) \(\boldsymbol{\{\}}\)
d) \(\boldsymbol{\{5\}}\)
e) \(\boldsymbol{\{2\}}\)
f) \(\boldsymbol{\{5\}}\)
a)
| \(\displaystyle{9 \choose 4} \cdot x = \displaystyle{10 \choose 5}\) |
| \(126 x = 252\) |
| \(x = 2\) |
b)
| \(\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x-1 \choose 2} = 4\) |
| \(\dfrac{x(x-1)}{2} + \dfrac{(x-1)(x-2)}{2} = 4\) |
| \(x^2-2x-3 = 0\) |
| \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) |
Řešením je pouze \(x_2\).
c)
| \(\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x+3 \choose 2} = 4\) |
| \(\dfrac{x(x-1)}{2} + \dfrac{(x+3)(x+2)}{2} = 4\) |
| \(x^2+2x-1 = 0\) |
| \(x_1 = -1-\sqrt{2}\), \(x_2 = -1+\sqrt{2}\) |
Řešením mohou být pouze přirozená čísla, úloha tedy nemá řešení.
d)
| \(\displaystyle{x-1 \choose x-3} + \displaystyle{x-2 \choose x-4} = 9\) |
| \(\dfrac{(x-1)(x-2)}{2} + \dfrac{(x-2)(x-3)}{2} = 9\) |
| \(x^2-4x-5 = 0\) |
| \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\) |
Řešením je pouze \(x_2\).
e)
| \(\displaystyle{x+1 \choose 2} + \displaystyle{x \choose 2} = 4 \displaystyle{n \choose n}\), \(n\), \(n\) je přirozené číslo |
| \(\dfrac{(x+1)x}{2} + \dfrac{x(x-1)}{2} = 4\) |
| \(x^2-4 = 0\) |
| \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) |
Řešením je pouze \(x_2\).
f)
| \(\displaystyle{x-1 \choose 2} - \displaystyle{x \choose 0} = \dfrac{n!}{2n(n-1)(n-2)!} \cdot \displaystyle{x \choose 2}\), \(n \geq 2\) je přirozené číslo |
| \(\displaystyle{x-1 \choose 2} - 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle{x \choose 2}\) |
| \(\dfrac{(x-1)(x-2)}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x(x-1)}{2}\) |
| \(x^2-5x = 0\) |
| \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\) |
Řešením je pouze \(x_2\).
Úloha 4.6
V množině přirozených čísel řešte nerovnice:
|
a) \(\displaystyle{y+1 \choose 2} + \displaystyle{y+4 \choose 2} + \displaystyle{y+7 \choose 2} < 93\) |
|
b) \(\displaystyle{y \choose 2} + \displaystyle{y+3 \choose 2} + \displaystyle{y+6 \choose 2} < 100\) |
|
c) \(\displaystyle{y+2 \choose 2} \geq \displaystyle{y \choose 2} + 1\) |
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{\{1,2,3\}}\)
b) \(\boldsymbol{\{2,3,4,5\}}\)
c) \(\boldsymbol{\{y \in \mathbb{N};\ y \geq 2\}}\)
a)
| \(\displaystyle{y+1 \choose 2} + \displaystyle{y+4 \choose 2} + \displaystyle{y+7 \choose 2} < 93\) |
| \(\dfrac{y(y+1)}{2} + \dfrac{(y+4)(y+3)}{2} + \dfrac{(y+7)(y+6)}{2} < 93\) |
| \(y^2+7y-44 < 0\) |
| \(y \in (-11;\, 4)\) |
Řešením jsou jen přirozená čísla, tedy čísla \(1,2,3\).
b)
| \(\displaystyle{y \choose 2} + \displaystyle{y+3 \choose 2} + \displaystyle{y+6 \choose 2} < 100\) |
| \(\dfrac{y(y-1)}{2} + \dfrac{(y+3)(y+2)}{2} + \dfrac{(y+6)(y+5)}{2} < 100\) |
| \(3y^2+15y-164 < 0\) |
| \(y \in (-10{,}3049;\, 5{,}3049)\) |
Řešením jsou jen přirozená čísla větší než jedna, tedy čísla \(2,3,4,5\).
c)
| \(\displaystyle{y+2 \choose 2} \geq \displaystyle{y \choose 2} + 1\) |
| \(\dfrac{(y+2)(y+1)}{2} \geq \dfrac{y(y-1)}{2} + 1\) |
| \(y^2+3y+2 \geq y^2-y+2\) |
| \(y \geq 0\) |
Řešením jsou přirozená čísla větší než jedna, tedy čísla \(2,3,4,5,\ldots\)
Pascalův trojúhelník
Úloha 4.7
Napište devátý řádek Pascalova trojúhelníku (oba tvary).
Výsledek:
| \(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 0}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 1}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 2}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 3}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 4}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 5}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 6}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 7}}\) |
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 8}}\) |
| \(\boldsymbol{1}\) |
|
\(\boldsymbol{8}\) |
|
\(\boldsymbol{28}\) |
|
\(\boldsymbol{56}\) |
|
\(\boldsymbol{70}\) |
|
\(\boldsymbol{56}\) |
|
\(\boldsymbol{28}\) |
|
\(\boldsymbol{8}\) |
|
\(\boldsymbol{1}\) |
Úloha 4.8
Desátý řádek Pascalova trojúhelníku má tvar
\(1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1\)
Odvoďte z něj následující (jedenáctý) řádek Pascalova trojúhelníku.
Výsledek:
\(\boldsymbol{1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad 10 \quad 1}\)
Binomická věta
Úloha 4.9
Podle binomické věty rozveďte:
a) \((a+b)^5\)
b) \((a-b)^5\)
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5}\)
b) \(\boldsymbol{a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5}\)
Úloha 4.10
Vypočtěte podle binomické věty:
a) \(\left( x^2-1 \right)^5\)
b) \(\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^4\)
c) \(\left( \sqrt{3} - i\sqrt{3} \right)^6\)
d) \((2a-3b)^5 + (2a+3b)^5\)
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1}\)
b) \(\boldsymbol{49 + 20\sqrt{6}}\)
c) \(\boldsymbol{216\,i}\)
d) \(\boldsymbol{64\,a^5 + 1\,440\,a^3b^2 + 1\,620\,ab^4}\)
Úloha 4.11
Užitím binomické věty vypočítejte
a) \(1{,}02^5\)
b) \(0{,}98^5\)
Nápověda
a) \(1{,}02 = (1 + 0{,}02)^5\)
b) \(0{,}98 = (1 - 0{,}02)^5\)
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{1{,}104\,080\,803\,2}\)
b) \(\boldsymbol{0{,}903\,920\,796\,8}\)
Úloha 4.12
Užitím binomické věty vypočítejte
s přesností na tři desetinná místa \(1{,}05^7\).
Výsledek: \(\boldsymbol{1{,}407}\)
Úloha 4.13
Určete:
a) třetí člen binomického rozvoje výrazu \((x-10)^9\)
|
|
b) předposlední člen binomického rozvoje výrazu
\(\left( t+10^{-2} \right)^{20}\) |
| c) pátý člen binomického rozvoje výrazu
\(\left( y - \dfrac{2}{\sqrt{y}} \right)^8\) |
Výsledky:
a) \(\boldsymbol{3\,600\,x^7}\)
b) \(\boldsymbol{2t \cdot 10^{-37}}\)
c) \(\boldsymbol{1\,120\,y^2}\)
Úloha 4.14
Určete koeficient pátého členu výrazu \(\left( x^2 + \sqrt{y} \right)^{8}\).
Výsledek: \(\boldsymbol{70}\)
Úloha 4.15
Vypočtěte dva prostřední členy rozvoje výrazu
\(\left( \sqrt[3]{x} - 2x\sqrt{x} \right)^{19}\).
Výsledek:
| desátý člen \(\ldots -2^9 \cdot \displaystyle{19 \choose 9}x^{16} \sqrt[6]{x^5}\) |
| jedenáctý člen \(\ldots 2^{10} \cdot \displaystyle{19 \choose 10}x^{18}\) |
Úloha 4.16
Vypočítejte kladné číslo \(x\), je-li
a) pátý člen rozvoje výrazu \(\left( 1+\sqrt{x} \right)^{10}\) roven \(840\),
b) sedmý člen rozvoje výrazu \(\left( x - i\sqrt[3]{2} \right)^{10}\) roven \(-8{,}4\).
Výsledky:
| a) \(\boldsymbol{\{2\}}\) |
| b)\(\boldsymbol{\left\{\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right\}}\) |
| a) pátý člen rozvoje výrazu \(\left( 1+\sqrt{x} \right)^{10}\) má tvar
\(\displaystyle{10 \choose 4}1^{10-4}\left(\sqrt{x}\right)^4\), po úpravě \(210x^2\) |
\(210x^2 = 840\)
\(x^2 = 4\)
\((x-2)(x+2) = 0\)
\(x_1=2\), \(x_2=-2\)
\(x\) má být kladné číslo, řešením je proto jen číslo \(2\).
| b) sedmý člen rozvoje výrazu \(\left( x - i\sqrt[3]{2} \right)^{10}\) má tvar
\(\displaystyle{10 \choose 6}1^{10-4}x^{10-6}\left(-i\sqrt[3]{2}\right)^6\), po úpravě \(-840x^4\) |
\(-840x^4 = -8{,}4\)
\(x^4 = 0{,}01\)
\(\left( x^2+0{,}1 \right) \left( x^2-0{,}1 \right) = 0\)
\(x\) má být kladné číslo, proto dále hledáme kořeny rovnice
\(x^2-0{,}1 = 0\)
\(\left( x+\sqrt{0{,}1} \right) \left( x-\sqrt{0{,}1} \right) = 0\)
\(x\) má být kladné číslo, řešením je proto jen číslo \(\sqrt{0{,}1} = \sqrt{1/10} = \sqrt{10}/10\).
Úloha 4.17
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu
|
a) \(\left( 3x^2 - \dfrac{1}{x} \right)^{10}\) obsahuje \(x^8\),
|
|
b) \(\left( x^3 + \dfrac{1}{x} \right)^{12}\) neobsahuje \(x\)? (Jde o tzv. absolutní člen.)
|
Výsledky:
a) pátý člen
b) desátý člen
Úloha 4.18
Vypočítejte ten člen binomického rozvoje výrazu
|
\(\left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{x} \right)^{21}\), který neobsahuje \(x\). |
Výsledek:
| \(\displaystyle{21 \choose 7} = \boldsymbol{116\,280}\) |
|
| \(k\)-tý člen binomického rozvoje daného výrazu má tvar
\(\displaystyle{21 \choose k-1}\left( \sqrt{x} \right)^{21-(k-1)} \left( \dfrac{1}{x} \right)^{k-1}\) |
| po úpravě
\(\displaystyle{21 \choose k-1}x^{12-3k/2}\) |
Hledáme člen, který neobsahuje \(x\):
\(x^{12-3k/2} = x^0\)
\(12 - 3k/2 = 0\)
\(k=8\).
Člen, který neobsahuje \(x\), je tedy osmý člen binomického rozvoje daného výrazu.
Hodnota osmého členu je:
|
\(\displaystyle{21 \choose 8-1} = \displaystyle{21 \choose 7} = 116\,280\).
|
Úloha 4.19
Určete všechny členy binomického rozvoje výrazu
\(\left( \sqrt[7]{7} + \sqrt[5]{5} \right)^{24}\),
které jsou racionálními čísly.
Výsledek:
|
\(\boldsymbol{\displaystyle{24 \choose 10} \cdot 7^2 \cdot 5^2}\) |
Úloha 4.20
| V binomickém rozvoji výrazu
\(\left( x\sqrt{x} + \dfrac{1}{x^4} \right)^n\) |
je koeficient u třetího členu o \(54\) větší než koeficient u členu posledního.
Určete absolutní člen, tj. člen, který neobsahuje proměnnou \(x\).
Výsledek: \(n=11\),
absolutní člen má hodnotu \(\boldsymbol{165}\).
* Úloha 4.21
Určete člen, který obsahuje \(x^{14}\) v rozvoji výrazu
\(\left( 1-x^3 \right)^9 \cdot \left( 1+x^2 \right)^{10}\).
Nápověda
Exponenty u mocnin \(x\) se při násobení sčítají. Najděte člen rozvoje výrazu \(\left( 1-x^3 \right)^9\) a člen rozvoje výrazu \(\left( 1+x^2 \right)^{10}\), které lze mezi sebou vynásobit tak, aby výsledek byl \(c \cdot x^{14}\) pro nějaké číslo \(c\).
Výsledek: \(\boldsymbol{8\,940\,x^{14}}\)
Všechny členy rozvoje výrazu \(\left( 1-x^3 \right)^9\)obsahují v exponentu mocniny \(x\) číslo dělitelné třemi, můžeme
tedy tyto exponenty zapsat symbolicky \(3k\),
\(k=0,1,\ldots,9\).
Všechny členy rozvoje výrazu \(\left( 1+x^2 \right)^{10}\)obsahují v exponetu mocniny \(x\) sudé číslo, můžeme tedy tyto exponenty zapsat
symbolicky \(2l\), \(l=0,1,\ldots,10\).
Všechny členy v prvním rozvoji se násobí se všemi členy druhého rozvoje,
exponenty u mocnin \(x\) se při násobení sčítají. Zjistíme tedy,
jaké hodnoty můžeme dosadit za \(k\) a \(l\) tak, aby platilo \(3k + 2l = 14\):
\(14 = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 7\)
\(14 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 4\)
\(14 = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 1\)
Hledáme tedy první, třetí a pátý člen rozvoje výrazu
\(\left( 1-x^3 \right)^9\)a osmý, pátý a druhý člen rozvoje výrazu
\(\left( 1+x^2 \right)^{10}\).
Každé dva odpovídající členy vynásobíme
a vzniklé tři výsledky sečteme.
|
\(\displaystyle{9 \choose 0}\left(x^3\right)^0 \cdot \displaystyle{10 \choose 7} \left( x^2 \right)^7 = 120\,x^{14}\) |
|
\(\displaystyle{9 \choose 2}\left(x^3\right)^2 \cdot \displaystyle{10 \choose 4} \left( x^2 \right)^4 = 7\,560\,x^{14}\) |
|
\(\displaystyle{9 \choose 4}\left(x^3\right)^4 \cdot \displaystyle{10 \choose 1} \left( x^2 \right)^1 = 1\,260\,x^{14}\) |
\(120\,x^{14} + 7\,560\,x^{14} + 1\,260\,x^{14} = 8\,940\,x^{14}\)
Úloha 4.22
Vypočítejte:
|
\(\displaystyle{18 \choose 0} + \displaystyle{18 \choose 1} + \displaystyle{18 \choose 2} + \ldots + \displaystyle{18 \choose 17} + \displaystyle{18 \choose 18}\) |
Výsledek: \(\boldsymbol{2^{18} = 262\,144}\)
Úloha 4.23
Dokažte, že číslo \(11^{10}-1\)
je dělitelné číslem \(100\).
Důkaz:
| \(11^{10}-1\) |
\(=(10+1)^{10}-1=\) |
|
\(= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \displaystyle{10 \choose 9}10 + \color{red}{\displaystyle{10 \choose 10}} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \displaystyle{10 \choose 9}10 + \color{red}{1} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \color{green}{\displaystyle{10 \choose 9}}10 =\) |
|
\(= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \color{green}{10} \cdot 10 =\) |
|
\(= 10^2 \left[ \displaystyle{10 \choose 0}10^{8} + \displaystyle{10 \choose 1}10^7 + \displaystyle{10 \choose 2}10^6 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8} + 1 \right] =\) |
|
\(= 100k\), kde \(k\) je přirozené číslo. |
Úloha 4.24
Užitím binomické věty dokažte, že číslo
\(6^{2n}-1\) je pro každé přirozené
číslo \(n\) dělitelné sedmi.
Důkaz:
1. způsob
| \(6^{2n}-1\) |
\(= (7-1)^{2n} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-1} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-2} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-3} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1}7 \cdot (-1)^{2n-1} + \color{red}{\displaystyle{2n \choose 2n}(-1)^{2n}} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-1} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-2} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-3} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1}7 \cdot (-1)^{2n-1} + \color{red}{1} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-1} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-2} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-3} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1}7 \cdot (-1)^{2n-1} =\) |
|
\(= 7 \left[ \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n-1} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-2} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-3} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-4} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1} (-1)^{2n-1} \right] =\) |
|
\(= 7k\), kde \(k\) je celé číslo. |
Pro každé přirozené číslo \(n\) tedy platí
\(6^{2n} - 1 = 7k\),
daný výraz je tedy pro každé přirozené číslo \(n\) dělitelný sedmi.
2. způsob
| \(6^{2n}-1\) |
\(= 36^n - 1 = (35+1)^n - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{n \choose 0}35^n + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-2} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}35 + \color{red}{\displaystyle{n \choose n}} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{n \choose 0}35^n + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-2} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}35 + \color{red}{1} - 1 =\) |
|
\(= \displaystyle{n \choose 0}35^n + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-2} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}35 =\) |
|
\(= 35 \left[ \displaystyle{n \choose 0}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-2} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-3} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1} \right] =\) |
|
\(= 35k_1\), kde \(k_1\) je celé číslo. |
\(35k_1 = 7 \cdot 5 k_1 = 7k_2\), kde \(k_2\) je celé číslo.
Pro každé přirozené číslo \(n\) tedy platí
\(6^{2n} = 7k_2\)daný výraz je tedy pro každé přirozené číslo \(n\) dělitelný sedmi.
Úloha 4.25
Pomocí binomické věty dokažte, že platí:
|
\(\displaystyle{n \choose 0} - \displaystyle{n \choose 1} + \displaystyle{n \choose 2} - \displaystyle{n \choose 3} + \ldots + (-1)^{n-1}\displaystyle{n \choose n-1} + (-1)^n\displaystyle{n \choose n} = 0\) |
Důkaz:
|
\(\displaystyle{n \choose 0} - \displaystyle{n \choose 1} + \displaystyle{n \choose 2} - \displaystyle{n \choose 3} + \ldots + (-1)^{n-1}\displaystyle{n \choose n-1} + (-1)^n\displaystyle{n \choose n} = \boldsymbol{(1-1)^n} = 0\) |
Úloha 4.26
Kolik sčítanců dostaneme po umocnění
\((a+b+c)^7\)?
(Úlohu neřešte rozepisováním binomického rozvoje, ale kombinatorickou úvahou.)
Výsledek: \(K'(7,3) = \boldsymbol{36}\)
