Kombinatorika

\begin{align} \end{align}

Test na téma variace, permutace a kombinace

Seznam úloh

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Ve třídě je 12 chlapců a 8 děvčat. Kolika způsoby z nich lze vytvořit čtyřčlennou skupinu, ve které je maximálně jedna dívka?
Možnosti: $$ {20 \choose 4} - 7 (= 488) $$

$$ 8 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 (= 10\,560) $$

$$ 8 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 + 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 (= 22\,440) $$

$$ 8 {12 \choose 3} + {12 \choose 4} (= 2\,255) $$

$$ 8 {12 \choose 3} (= 1\,760) $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Určete počet způsobů, kterými můžeme na šachovnici velikosti 8x8 umístit dvě věže tak, aby se neohrožovaly.

Dvě věže se ohrožují, pokud jsou ve stejném řádku nebo sloupci.

Možnosti

$$ {64 \choose 2} - {8 \choose 2} - {8 \choose 2} (= 1960) $$

$$ { 64 \choose 2 } - 8 \cdot {8 \choose 2} - 8 \cdot {8 \choose 2} (=1568) $$

$$ 64 \cdot (63 - 7 - 7) (= 3136) $$

$$ 64 \cdot (64 - 8) (= 3584) $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Seřaďte následující čísla od nejmenšího po největší.

Uvažujte $n$ sudé, $n > 4$.

Možnosti

$$ {n \choose 1} $$

$$ {n \choose \frac{n}{2} + 1} $$

$$ n! $$

$$ {n \choose \frac{n}{2}} $$

Poznámka

Do polí vedle možností vyplňte čísla od 1 do 4 podle pořadí prvků.

Počet bodů za otázku: 2

Otázka: Vyberte všechny výrazy, které jsou rovny $$ {n \choose k } \cdot (k-1)! $$
Možnosti: $$ \frac{n!}{(n - k + 1)!} $$

$$ \frac{n!}{(n - k - 1)!} $$

$$ {n - 1 \choose k} \cdot \frac{n \cdot (k - 1)!}{n - k} $$

$$ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{k} $$

$$ {n \choose n - k} \cdot (k - 1)! $$

Počet bodů za otázku: 3

Otázka

Přiřaďte k sobě kombinatorické pojmy s jejich vyjádřeními.

Možnosti

$k$-členná variace z $n$ prvků

Permutace $n$ prvků

$k$-členná kombinace z $n$ prvků

Přiřazení

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.