Variace, permutace, kombinace

Variace

Definici se pokusíme vysvětlit na příkladu:

Příklad

V košíku je jablko, hruška, broskev a pomeranč. Kolika způsoby můžeme vybrat jedno ovoce k snídani, jedno ke svačině a jedno k obědu?

\(\boldsymbol{k}\)-členná variace z \(\boldsymbol{n}\) prvků znamená, že ze všech možných prvků (kterých je \(n\)) vybíráme jen několik (\(k\); \(k \leq n\)). V našem příkladu vybíráme tři kusy ovoce ze čtyř možných (\(k=3\), \(n=4\)). Pokud vybíráme všechny prvky, platí \(k=n\); v takových případech mluvíme o permutacích.
Uspořádaná \(\boldsymbol{k}\)-tice znamená, že záleží na pořadí, v jakém prvky vybíráme. V našem příkladu záleží na tom, jestli vybereme jablko k snídani a pomeranč ke svačině nebo naopak.
Formulace "každý se v ní (\(k\)-tici) vyskytuje nejvýše jednou" znamená, že když některý prvek vybereme, nemůžeme ho vybrat podruhé. V našem příkladu je jasné, že pokud sníme jablko k snídani, už ho nemůžeme sníst ke svačině nebo k obědu.

Odpověď na otázku "Kolika způsoby můžeme vybrat jedno ovoce k snídani, jedno ke svačině a jedno k obědu?" budeme hledat takto:
– K snídani můžeme vybrat libovolné ovoce, máme tedy \(4\) možnosti.
– Ke svačině už můžeme vybírat jen ze zbývajících tří druhů ovoce.
– Při výběru ovoce k obědu už budeme mít jen dvě možnosti.
Podle kombinatorického pravidla součinu je tedy \(4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\) způsobů, jak vybrat ze čtyř kusů ovoce jedno k snídani, jedno ke svačině a jedno k obědu.

Zobecněním předchozího postupu dostaneme vzorec pro určení počtu \(k\)-členných variací z \(n\) prvků:
– První prvek vybíráme ze všech \(n\) prvků, máme proto \(n\) možností, jak ho vybrat.
– Pro druhý prvek už máme jen \(n-1\) možností, protože nemůžeme znovu vybrat prvek, který byl vybraný jako první.
– Podobně pro třetí prvek máme \(n-2\) možností, protože dva prvky už byly vybrány.
Takto pokračujeme dál, dokud nevybereme \(k\) prvků. Poslední, \(k\)-tý prvek můžeme vybrat \(n-k+1\) způsoby: Z původních \(n\) prvků už jsme vybrali \(k-1\) prvků, zbývá proto \(n-(k-1)=n-k+1\)prvků, ze kterých vybíráme ten poslední, \(k\)-tý prvek.
Využitím kombinatorického prvidla součinu dostáváme počet \(V(k,n)\)všech \(k\)-členných variací z \(n\) prvků:
\[V(k,n) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)\].

Příklad

Určete počet všech pětičlenných variací ze sedmi prvků.

Řešení

Dosazením do vzorce \(k=5\), \(n=7\), dostáváme:

\(V(5,7) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2\,520\)

Zkuste si spočítat variace také pro jiné hodnoty \(k\) a \(n\). Výsledek si zde můžete ověřit.

\(k=\)		(\(k \leq 150\))
\(n=\)
\(V(k,n)=\)

Příklad

K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy červené, modré, zelené, bílé a žluté.
a) Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit.
b) Kolik jich má uprostřed modrý pruh?
c) Kolik jich má (kdekoli) bílý pruh?
d) Kolik jich nemá uprostřed červený pruh?

Řešení

a) Vzhledem k tomu, že pruhy mají mít různé barvy a že záleží na pořadí těchto pruhů, jde o tříčlenné variace z pěti prvků (tj. \(k=3\), \(n=5\)). Z látek daných barev lze sestavit \(V(3,5) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\) různých vlajek.

b) Jestliže je uprostřed modrý pruh, zbývá jen vybrat barvy pro krajní pruhy. Vybíráme tedy dvě ze čtyř barev a záleží na jejich pořadí, jde proto o dvoučlenné variace ze čtyř prvků: \(V(2,4) = 4 \cdot 3 = 12\) vlajek.

c) Látku bílé barvy můžeme použít na horní, prostřední nebo dolní pruh vlajky. Podobně jako v případě b) vybíráme na zbylé dva pruhy dvě barvy ze zbývajících čtyř. Celkem tedy můžeme sestavit \(3 \cdot 12 = 36\) takových vlajek.

d) Všechny vlajky můžeme rozdělit na dvě disjunktní skupiny: v první skupině budou takové vlajky, které mají uprostřed červený pruh, ve druhé skupině budou vlajky, které červený pruh uprostřed nemají. Počet všech vlajek je \(60\) (viz případ a)); počet vlajek, které mají uprostřed červený pruh, je \(12\) (viz případ b)); počet vlajek, které uprostřed červený pruh nemají, je \(60 - 12 = 48\).

Vyjádření počtu variací pomocí faktoriálu
Několik úloh k variacím