Konvexnost a konkávnost - předpoklady
V této podkapitole jsou uvedeny tři předpoklady, které platí pro celou kapitolu. Účelem těchto předpokladů je zjednodušení výkladu látky. Bez nich by se stal i tak náročný výklad ještě náročnější.
Z hlediska konvexnosti, konkávnosti a inflexe budeme vyšetřovat pouze takové funkce, jejichž předpis je tvořen elementárními funkcemi uvedenými v kapitole Pravidla derivování, podkapitole Úvod, nebo i absolutní hodnotou, jejich složením, a operacemi plus, mínus, krát a děleno.
V dalších dvou předpokladech se používá následující pojem:
Otevřený interval spojitosti první derivace funkce \(f\) je libovolný otevřený interval \(I \subset \mathbb R\), který patří do definičního oboru první derivace funkce \(f\), na němž je tato derivace spojitá. Pozor: Nevyplývá-li ze zadání příkladu či úlohy něco jiného, bereme za intervaly spojitosti první derivace maximální takové intervaly, to jest takové otevřené intervaly, které kdyby se více zvětšily, tak by přestaly mít požadované vlastnosti.
Jak zjišťujeme otevřené intervaly spojitosti první derivace:- Nejprve je třeba stanovit definiční obor první derivace zadané funkce. Pak z definičního oboru první derivace této funkce vyčteme, jaké intervaly tento obor obsahuje. Tyto intervaly pak přepíšeme jako otevřené, a ty jsou otevřenými intervaly spojitosti první derivace zadané funkce.
- Metoda uvedená v předchozím bodě platí, jedná-li se o typ funkce uvedený v Předpokladu 1.
Ilustrace
Funkce \(f: y = 1/x\) má první derivaci \(f^{\prime}(x) = -1/x^2\) s definičním oborem \(D(f^{\prime}) = \mathbb R \setminus \{ 0 \}\). Tento definiční obor se dá zapsat jako sjednocení svou intervalů: \(D(f) = (-\infty,0) \cup (0,+\infty)\). Otevřené intervaly spojitosti první derivace dané funkce tedy jsou \((-\infty, 0)\) a \((0, +\infty)\). Žádný z těchto intervalů spojitosti se nedá více zvětšit. Pokud by byl některý z nich zvětšen, přestal by být otevřeným intervalem spojitosti první derivace.
Předpoklad 2
Budeme se zabývat pouze takovými funkcemi, na jejichž otevřených intervalech spojitosti první derivace, resp. otevřeném intervalu spojitosti první derivace, je nulový nebo malý konečný počet bodů, v nichž je druhá derivace nulová, a bodů, v nichž není druhá derivace definovaná.
Předpoklad 3
Funkce budeme vyšetřovat z hlediska konvexnosti, konkávnosti a inflexe pouze na otevřených intervalech spojitosti jejich první derivace a v krajních bodech těchto intervalů.
