Příklad 2: Oplocení
Máme k dispozici pletivo o délce \(d = 120 \;{\rm m}\), kterým je třeba oplotit dva sousední obdélníkové pozemky o rozměrech \(x\) a \(y\). Oba pozemky mají společnou jednu stranu o délce \(y\). Pletivo bude použito i na oddělení obou pozemků.
Jaké rozměry musí mít oba pozemky, aby jejich výměra byla při oplocení dohromady co největší, a jakou výměru budou dohromady mít? Situace je zobrazena v následujícím apletu.
Řešení
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Maximalizujeme výměru obou pozemků. Označme tuto proměnnou písmenem \(s\).
Výměra obou pozemků v \({\rm m^2}\) je dohromady
\(s = 2xy.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Platí, že \(d = 4x + 3y\), tedy \(y = (d-4x)/3\). Navíc víme, že \(d = 120\). Proto
\(s = 2xy = 2x(120-4x)/3 = x(30-x)\cdot 8/3 .\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(s\), jejíž extrém hledáme.
Ze zadání plyne, že \(x\) musí být kladné, tedy \(x \gt 0\).
Rovněž \(y\) musí být kladné, tedy \(y \gt 0\). Platí, že \(y = (d-4x)/3\), tedy \((d-4x)/3 \gt 0\), odtud \(d \gt 4x\), to jest \(x \lt 30.\)
Z obou nerovností vyplývá, že definiční obor proměnné \(x\) je
\(x \in ( 0, 30 ) .\)
4. Nyní přepíšeme vztah \(s = x(30-x)\cdot 8/3\) pro \(x \in ( 0, 30)\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(s\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = x(30-x)\cdot 8/3 = 80x-\dfrac{8}{3}x^2\) s definičním oborem \(D(f) = ( 0, 30 ) .\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální maximum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = 80 - \dfrac{16}{3}x.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, 30 )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\).
Stacionární body splňuji rovnici \(80 - \dfrac{16}{3}x = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = 15.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 15\) globální maximum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 30 )\) spojitá. Její derivace je na tomto intervalu všude definovaná. Navíc tam má jediný stacionární bod \(x = 15\). Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 15 \rangle\) klesající a na intervalu \(\langle 15, 30 )\) rostoucí;
(b) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 15 \rangle\) rostoucí a na intervalu \(\langle 15, 30 )\) klesající;
(c) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 30 )\) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 15\):
\(f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{16}{3}.\)
Platí, že \(f^{\prime\prime}(15) = -16/3 \lt 0\). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 15\) ostré lokální maximum.
Proto nemohou platit možnosti (a) a (c). Musí tedy platit možnost (b). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 15\) globální maximum.
Poznámka: Hledání globálního maxima bez využití derivací. 
6. Zapíšeme řešení.
Největší výměru mají pozemky pro \(\;x = 15 \;{\rm m}\;\) a \(\; y = (120\;{\rm m}-4x)/3 = 20 \;{\rm m}\).
Jejich výměra je dohromady \(\; 2xy = 600 \;{\rm m^2}.\)
Odkazy na příklady
