\begin{align}
\end{align}
Druhá derivace, příklad a úlohy
Zakrytá řešení v úlohách lze odkrýt kliknutím na začerněnou oblast.
Příklad 1
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = 2x^2 - 3x + 1\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f(-2), \; f^{\prime}(-2), \; f^{\prime\prime}(-2)\).
Řešení
První derivace: \(f^{\prime}(x) = 4x - 3\).
Druhá derivace: \(f^{\prime\prime}(x) = 4\).
Hodnoty: \(\; f(-2) = 15, \; f^{\prime}(-2) = -11, \; f^{\prime\prime}(-2) = 4\).
Úloha 1
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = \cos{x}+\sin{x}\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f({\Large\frac{\pi}{4}}), \; f^{\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}), \; f^{\prime\prime}({\Large\frac{\pi}{4}})\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = -\sin{x}+\cos{x}\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = -\cos{x}-\sin{x}\).
Hodnoty: \(f({\Large\frac{\pi}{4}}) = \)
\(\sqrt{2}\)
\(, \; f^{\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}) = \)
\(0\)
\(, \; f^{\prime\prime}({\Large\frac{\pi}{4}}) = \)
\(-\sqrt{2}\)
.
Úloha 2
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = -2\cos{2x}-3\sin{2x}\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f(0), \; f^{\prime}(0), \; f^{\prime\prime}(0)\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = 4\sin{2x}-6\cos{2x} = 2(2\sin{2x}-3\cos{2x})\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = 8\cos{2x}+12\sin{2x} = 4(2\cos{2x}+3\sin{2x})\).
Hodnoty: \(f(0) = \)
\(-2\)
\(, \; f^{\prime}(0) = \)
\(-6\)
\(, \; f^{\prime\prime}(0) = \)
\(8\)
.
Úloha 3
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = x-4\sqrt{x}-{\Large\frac{1}{x}}\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f(1), \; f^{\prime}(1), \; f^{\prime\prime}(1)\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = 1-{\Large\frac{2}{\sqrt{x}}}+{\Large\frac{1}{x^2}}\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = {\Large\frac{1}{\sqrt{x^3}}}-{\Large\frac{2}{x^3}}\).
Hodnoty: \(f(1) = \)
\(-4\)
\(, \; f^{\prime}(1) = \)
\(0\)
\(, \; f^{\prime\prime}(1) = \)
\(-1\)
.
Úloha 4
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = {\Large\frac{(x^2-3)(x^2-1)}{x}}\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f(-1), \; f^{\prime}(-1), \; f^{\prime\prime}(-1)\).
Nápověda: Roznásobte čitatel, vydělte jmenovatelem a potom derivujte.
Upravená funkce:
\(f(x) = x^3-4x+{\Large\frac{3}{x}}\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = 3x^2-4-{\Large\frac{3}{x^2}}\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = 6(x+{\Large\frac{1}{x^3}})\).
Hodnoty: \(f(-1) = \)
\(0\)
\(, \; f^{\prime}(-1) = \)
\(-4\)
\(, \; f^{\prime\prime}(-1) = \)
\(-12\)
.
Úloha 5
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = {\Large\frac{x^2-x-3}{x-2}}\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f(3), \; f^{\prime}(3), \; f^{\prime\prime}(3)\).
Nápověda: Vydělte čitatel jmenovatelem a potom derivujte.
Upravená funkce:
\(f(x) = x+1-{\Large\frac{1}{x-2}}\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = 1+{\Large\frac{1}{(x-2)^2}}\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = {\Large\frac{-2}{(x-2)^3}}\).
Hodnoty: \(f(3) = \)
\(3\)
\(, \; f^{\prime}(3) = \)
\(2\)
\(, \; f^{\prime\prime}(3) = \)
\(-2\)
.
Úloha 6
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = 2e^x+5e^{-x}\).
Vypočítejte hodnoty \(\; f(0), \; f^{\prime}(0), \; f^{\prime\prime}(0)\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = 2e^x-5e^{-x}\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = 2e^x+5e^{-x}\).
Hodnoty: \(f(0) = \)
\(7\)
\(, \; f^{\prime}(0) = \)
\(-3\)
\(, \; f^{\prime\prime}(0) = \)
\(7\)
.
Úloha 7
Vypočítejte první a druhou derivaci funkce \(f: y = 1+x+{\Large\frac{x^2}{2!}}+{\Large\frac{x^3}{3!}}+{\Large\frac{x^4}{4!}}\).
První derivace:
\(f^{\prime}(x) = 1+x+{\Large\frac{x^2}{2!}}+{\Large\frac{x^3}{3!}}\).
Druhá derivace:
\(f^{\prime\prime}(x) = 1+x+{\Large\frac{x^2}{2!}}\).
