Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Důkazy pravidel derivování I

V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:

  • \(y = c\), kde \(c\) je reálná konstatna;
  • \(y = x^n\), kde \(n \in \mathbb N\).
  • \(y = e^x\);

Dále dokážeme pravidlo pro derivaci funkce \(u\) násobené konstantou, pravidla pro derivaci součtu a rozdílu funkcí \(u\) a \(v\) a pravidlo pro derivaci součinu funkcí \(u\) a \(v\):

  • \(y = au(x)\), kde \(a \in \mathbb R\);
  • \(y = u(x)+v(x)\);
  • \(y = u(x)-v(x)\);
  • \(y = u(x)v(x)\);


Derivace konstantní funkce

Pro funkci   \(f : y = c\),   \(c \in \mathbb R\),   platí   \(y^{\prime} = 0\).

Důkaz


Derivace mocninné funkce s přirozeným exponentem

Pro funkci   \(f : y = x^n\),   \(x \in \mathbb R\),   \(n \in \mathbb N\),   platí   \(y^{\prime} = n x^{n-1}\).

Důkaz

Při důkazu se využije vztah

\((a+b)^n \; = \; \Large\sum\limits_{i=0}^n {n \choose i} \normalsize a^{n-i} b^i \; = \; a^n + na^{n-1}b + \ldots + nab^{n-1} + b^n\).


Derivace exponenciální funkce se základem e

Pro funkci   \(f : y = e^x\),   \(x \in \mathbb R\),   platí   \(y^{\prime} = e^x\).

Důkaz

Při důkazu se využije vztah

\({\Large\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}}\normalsize \; = \; 1\).


Derivace funkce násobené konstantou

Jestliže existuje \(u^{\prime}(x)\), pak pro libovolné \(a \in \mathbb R\):   \([au(x)]^{\prime} \; = \; au^{\prime}(x)\).

Poznámka

Jestliže existuje \(u^{\prime}(x)\), pak pro libovolné \(a \in \mathbb R\setminus \{0\}\):   \(\Large[\frac{u(x)}{a}]^{\prime} \normalsize \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{a}\).

Důkaz

Důkaz poznámky


Derivace součtu dvou funkcí

Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\), pak:   \([u(x)+v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)+v^{\prime}(x)\).

Důkaz


Derivace rozdílu dvou funkcí

Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\), pak:   \([u(x)-v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)-v^{\prime}(x)\).

Důkaz


Derivace součinu dvou funkcí

Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\) a \(v^{\prime}(x)\), pak:   \([u(x)v(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)v(x)+u(x)v^{\prime}(x)\).

Důkaz jako rozšiřující učivo

Zobrazit