Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Důkazy pravidel derivování III

V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:

  • \(y = x^{-1}\);
  • \(y = x^n\), kde \(n \in \mathbb Z^{-}\);
  • \(y = {\rm tg}\: x\);
  • \(y = {\rm cotg}\: x\).

Dále dokážeme pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce \(v\) a pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí \(u\) a \(v\):

  • \(y = \Large\frac{1}{v(x)}\);
     
  • \(y = \Large\frac{u(x)}{v(x)}\).


Derivace funkce \(y = x^{-1}\)

Pro funkci   \(f : y = x^{-1}\),   \(x \neq 0\),   platí   \(y^{\prime} = -x^{-2}\).

Důkaz


Derivace „převrácené“ funkce

Jestliže existuje \(v^{\prime}(x)\) a \(v(x) \neq 0\), pak:   \(\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\).

Důkaz

Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci složené funkce.


Derivace mocninné funkce se záporným celým exponentem

Pro funkci   \(f : y = x^n\),   \(x \neq 0\),   \(n \in \mathbb Z^{-}\),   platí   \(y^{\prime} = n x^{n-1}\).

Důkaz

Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce.


Derivace podílu dvou funkcí

Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\), \(v^{\prime}(x)\) a \(v(x) \neq 0\), pak:   \(\Large[\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\).

Důkaz

Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí.


Derivace funkce tangens

Pro funkci   \(f : y = {\rm tg}\: x\),   \(x \neq \Large\frac{\pi}{2}\normalsize + k\pi\),   \(k \in \mathbb Z\),   platí   \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{\cos^2{x}}\).

Důkaz

Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí.


Derivace funkce kotangens

Pro funkci   \(f : y = {\rm cotg}\: x\),   \(x \neq k\pi\),   \(k \in \mathbb Z\),   platí   \(y^{\prime} = \Large\frac{-1}{\sin^2{x}}\).

Důkaz

Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí.