Od sečny k tečně
Připomeňme si, že v rovině se směrnice přímky, která není svislá, vypočítá jako tangens směrového úhlu, který tato přímka svírá s kladnou poloosou \(x\), jak ukazuje následující obrázek. Tento úhel může nabývat hodnoty pouze z intervalu \(\langle 0, \pi )\).
ilustrační obrázek - směrový úhel
Aplet - příklady tečen
V následujícím apletu pohybujte bodem \(x_0\) po ose \(x\) a sledujte změnu polohy tečny a změnu její směrnice. Zaškrtnete-li volitelnou možnost konstrukce směrnice, uvidíte, jak hodnotu směrnice vyčíst z grafu tečny. V pravoúhlém trojúhelníku, který se ukáže, je délka odvěsny, která je vodorovná, rovna jedné a délka odvěsny, která je svislá, je proto rovna tangensu úhlu u vrcholu v bodě T. Velikost směrnice tečny vedené bodem T je tedy rovna délce odvěsny, která je svislá. Znaménko směrnice je pak kladné, je-li přepona nad odvěsnou, která je vodorovná, a je záporné, je-li přepona pod touto odvěsnou.
Pod apletem si můžete vybrat jednu z následujících funkcí: \(\Large\frac{x^3}{4}\), \(x^2\), \(\sin{x}\), \(\Large\frac{\sin{2x}}{2}\) + \(x\).
Poznámka
U lineární funkce je tečnou v kterémkoliv bodě jejího grafu přímka splývající s grafem této funkce.
Intuitivní představu o tom, jak vypadá tečna ke křivce, jež je grafem funkce, již máte. Jaká je rovnice takové tečny? A kdy tato rovnice vůbec existuje? Rovnici tečny sestavíme na základě dvou údajů: bodu, v němž tečnu ke grafu funkce konstruujeme, a její směrnice. 
Tečnami, které nemají směrnici, tj. svislými tečnami, se nebudeme v tomto textu zabývat.
Aplet - sečna a tečna
V následujícím apletu můžete pohybovat bodem \(x_0\) po ose \(x\) a posuvníkem v pravém horním rohu určujícím hodnotu \(\Delta x = x_1-x_0\) (čti „delta x“). Sledujte, jak je rozdíl směrnic sečny a tečny menší, čím blíž jsou u sebe body \(x_0\) a \(x_1\).
Nechť je dán graf funkce \(f\). Směrnici tečny ke grafu v bodě T = \([x_0;f(x_0)]\) vypočítáme jako limitu směrnice sečny procházející body T a S = \([x_1;f(x_1)]\), pro \(x_1 \to x_0\), za předpokladu, že tato limita existuje a je vlastní.
Rovnice sečny
Prochází-li přímka \(s\) dvěma různými body \([x_0;y_0]\) a \([x_1;y_1]\), které leží na grafu funkce \(f\), pak se jedná o sečnu tohoto grafu a její rovnice je
\(y - y_0 \; = \; k_s \cdot (x - x_0)\) ,
kde \(k_s \; = \; \Large\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \normalsize\; = \; \Large\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\) je směrnice této sečny.
Rovnice tečny
Mějme funkci \(f\) definovanou v jistém okolí bodu \(x_0\). Je-li limita
\(\Large\lim\limits_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}\)
vlastní, pak je směrnicí tečny ke grafu funkce \(f\) vedené bodem T = \([x_0;f(x_0)]\). Označíme-li tuto směrnici jako \(k_T\), pak rovnice tečny má tvar
\(y - f(x_0) \; = \; k_T \cdot (x - x_0)\) .
Využijeme-li obvyklého značení, že \(\Delta x = x_1 - x_0\), kde \(x_0\) je pevně dané, pak platí
\(\Large\lim\limits_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) .
