Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Derivace v bodě

Na konci předcházející podkapitoly jsme se zabývali limitou uvedenou v následující definici. Ukázali jsme, že tato limita má geometrickou interpretaci, udává směrnici tečny ke grafu funkce \(f\) v bodě \([x_0;f(x_0)]\).

Definice

Mějme funkci \(f\) definovanou v jistém okolí bodu \(x_0\). Je-li

\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)

vlastní, pak ji nazýváme derivací funkce \(f\) v bodě \(x_0\) a označujeme ji \(f^{\prime}(x_0)\).

Poznámka

Limitu uvedenou v definici lze také ekvivalentně zapsat jako

\(\Large\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\) .

Pokud limita neexistuje nebo je nevlastní, pak není derivace funkce \(f\) v bodě \(x_0\) definována.

Má-li funkce \(f\) v bodě \(x_0\) derivaci, pak lze zapsat rovnici tečny k jejímu grafu v bodě \([x_0;f(x_0)]\) takto

 
\(y - f(x_0) \; = \; f^{\prime}(x_0) \cdot (x - x_0)\) ,
 

kde hodnota \(f^{\prime}(x_0)\) je směrnicí této tečny.

Poznámka

Má-li funkce v daném bodě derivaci, pak je v tomto bodě i spojitá.

Pozor: Opačné tvrzení neplatí. Ilustrujícím příkladem je funkce \(f(x) = |x|\). V bodě \(x_0 = 0\) je tato funkce spojitá, ale nemá v něm definovanou derivaci. Důkaz je založen na tom, že limitu, pomocí které derivaci počítáme, rozdělíme na limitu zleva (\(\Delta x \to 0-\)) a na limitu zprava (\(\Delta x \to 0+\)) a zjistíme, že obě limity jsou různé. To znamená, že hledaná oboustranná limita (\(\Delta x \to 0\)) neexistuje. Zobrazit


Úloha 1

Je dána funkce \(f(x) = x^2\). Určete její derivaci v bodě \(x_0 = 2\).


Úloha 2

Je dána funkce \(f(x) = x^3\). Určete její derivaci v bodě \(x_0 = 1\).


Úloha 3

Je dána funkce \(f(x) = -3x + 1\). Určete její derivaci v bodě \(x_0 \in \mathbb R\).