Příklad 6: Trojúhelník pod parabolou
Je dána parabola o rovnici \(y = 3-x^2/4\). Nad osou \(x\) vedeme rovnoběžku s touto osou tak, že tato rovnoběžka protíná parabolu ve dvou různých bodech \(A\) a \(B\). Situace je znázorněna v následujícím apletu. Bod \(C\) leží v počátku soustavy souřadnic.
Jakou vzájemnou vzdálenost mají mít body \(A\) a \(B\), aby byl obsah trojúhelníku \(ABC\) maximální, a jaký bude tento obsah?
Řešení
Z obrázku a rovnice paraboly vidíme, že \(\; B = \left[x,3-\dfrac{x^2}{4}\right],\;\; A = \left[-x,3-\dfrac{(-x)^2}{4}\right] = \left[-x,3-\dfrac{x^2}{4}\right]\) a \(\; C = \left[0,0\right].\)
Výška trojúhelníku \(\; v_c = 3-\dfrac{x^2}{4}.\)
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Maximalizujeme obsah trojúhelníku \(ABC\). Označme tuto proměnnou písmenem \(s\).
Obsah trojúhelníku je
\(s = \dfrac{|AB|\cdot v_c}{2} = \dfrac{2x\cdot(3-x^2/4)}{2} = 3x-\dfrac{1}{4}x^3.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná \(s\) závisí pouze na proměnné \(x.\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(s\), jejíž extrém hledáme.
Protože bod \(B\) leží v prvním kvadrantu, musí být \(x \gt 0\). Protože body \(A\) a \(B\) leží nad osou \(x\), musí být jejich y-ová souřadnice kladná, tedy \(3-x^2/4 \gt 0\), tedy \(x \lt 2\sqrt{3}.\)
Definiční obor proměnné \(x\) je
\(x \in ( 0, 2\sqrt{3}) .\)
4. Nyní přepíšeme vztah \(s = 3x-x^3/4\) pro \(x \in ( 0, 2\sqrt{3})\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(s\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = 3x-\dfrac{1}{4}x^3\) s definičním oborem \(D(f) = ( 0, 2\sqrt{3}) .\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální maximum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = 3-\dfrac{3}{4}x^2.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, 2\sqrt{3} )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\).
Stacionární body splňuji rovnici \(3-\dfrac{3}{4}x^2 = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = 2.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 2\) globální maximum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 2\sqrt{3} )\) spojitá. Její derivace je na tomto intervalu všude definovaná. Navíc tam má jediný stacionární bod \(x = 2\). Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 2 \rangle\) klesající a na intervalu \(\langle 2, 2\sqrt{3} )\) rostoucí;
(b) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 2 \rangle\) rostoucí a na intervalu \(\langle 2, 2\sqrt{3} )\) klesající;
(c) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 2\sqrt{3} )\) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 2\):
\(f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{3}{2}x.\)
Platí, že \(f^{\prime\prime}(2) = -3 \lt 0\). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 2\) ostré lokální maximum.
Proto nemohou platit možnosti (a) a (c). Musí tedy platit možnost (b). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 2\) globální maximum.
6. Zapíšeme řešení.
Trojúhelník má maximální obsah pro \(x = 2\), tedy pro \(|AB| = 4.\)
Obsah takového trojúhelníku je \(f(2) = 4.\)
Odkazy na příklady
