Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost přímky \(EG\) od přímky \(S_{AB}S_{BC}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
K řešení využijeme doplnění na rovnoběžník \(ES_{AB}NG\) (viz obrázek), jehož výška (\(PS_{AB}\)) je rovna hledané vzdálenosti
přímek \(EG\), \(S_{AB}S_{BC}\).
Výšku rovnoběžníku \(ES_{AB}NG\) odvodíme z jeho obsahu. Obsah rovnoběžník získáme vektorovým součinem vektorů \(\overrightarrow{EG}=(4;4;0)\), \(ES_{AB}=(2;0;-4)\).
\[\begin{eqnarray*}S&=&|\overrightarrow{EG}\times\overrightarrow{ES_{AB}}|\\
&=&\bigl|(4\cdot (-4)-0\cdot 0;0\cdot 2-4\cdot (-4);4\cdot 0-4\cdot 2)\bigr|\\
&=&|(-16;16;-8)|\\
&=&24\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme vypočítat hledanou výšku rovnoběžníku \(ES_{AB}NG\):
\[|PS_{AB}|=\frac{S}{|EG|}=\frac{24}{\sqrt{4^2+4^2+0^2}}=\frac{24}{\sqrt{32}}=\frac{24}{4\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\doteq 4,24\mbox{ cm}\]
\[|PS_{AB}|=\frac{S}{|EG|}=\frac{24}{\sqrt{4^2+4^2+0^2}}=\frac{24}{\sqrt{32}}=\frac{24}{4\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\doteq 4,24\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Můžeme nahlédnout, že průsečík \(X\) přímky \(S_{AB}S_{BC}\) s úsečkou \(BD\) je středem úsečky \(S_{AC}B\). Vzdálenost bodů \(S_{FH}X\) lze tedy vypočítat pomocí Pýthagorovy věty v trojúhelníku \(S_{FH}S_{AC}X\).
\[|S_{FH}X|=\sqrt{|S_{AC}X|^2+|S_{AC}S_{FH}|^2}\] \[|S_{FH}X|=\sqrt{\Biggl(\frac{1}{4}|AC|\Biggr)^2+|S_{AC}S_{FH}|^2}=\sqrt{\Bigl(\sqrt{2}\Bigr)^2+4^2}=\sqrt{2+16}=\sqrt{18}\doteq 4,24\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow n; n\perp \overline{DB} \wedge B\in n\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{DB} \wedge D\in m\)
\(\mbox{4) } k; k(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in k\cap m \)
\(\mbox{7) } F; F\in l\cap n \wedge F\in\longmapsto BDH\)
\(\mbox{8) } S_{FH}; S_{FH}\in FH, |FS_{FH}|=|S_{FH}H|\)
\(\mbox{9) } S_{BD}; S_{BD}\in BD\wedge |BS_{BD}|=|S_{BD}D|\)
\(\mbox{10) } X; X\in \overline{S_{BD}B}\wedge |S_{BD}X|=|XB|\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(X\) a \(S_{FH}\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímek \(EG\), \(S_{AB}S_{BC}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost přímky \(EG\) od přímky \(DF\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Parametrické vyjádření přímky \(EG\):
\[\leftrightarrow EG:\quad x=4t,\quad y=4t,\quad z=4,\quad t\in\mathbb{R}\] Parametrické vyjádření přímky \(DF\):
\[\leftrightarrow DF:\quad x=4s,\quad y=4-4s,\quad z=4s,\quad s\in\mathbb{R}\] Bod \(P\) náleží přímce \(DF\). Jeho souřadnice jsou tedy:
\[P=[4s;4-4s;4s]\] K řešení využijeme kolmost vektorů - \(\overrightarrow{EG}\perp\overrightarrow{S_{FH}P}\) a \(\overrightarrow{DF}\perp\overrightarrow{S_{FH}P}\):
\[\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0\wedge\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0\] Pro vektory \(\overrightarrow{EG}\), \(\overrightarrow{S_{FH}P}\) a \(\overrightarrow{DF}\) platí:
\[\overrightarrow{EG}=(4;4;0)\quad\overrightarrow{DF}=(4;-4;4)\quad\overrightarrow{S_{FH}P}=(4s-2;4-4s-2;4s-4)\] Nyní vypočítejme parametr \(s\in\mathbb{R}\) pomocí soustavy rovnic:
\[\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0\] \[\underline{\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0}\] \[(4;4;0)\cdot(4s-2;4-4s-2;4s-4)=0\] \[\underline{(4;-4;4)\cdot(4s-2;4-4s-2;4s-4)=0}\] \[16s-8+16-16s-8=0\] \[\underline{16s-8-16+16s+8+16s-16=0}\] \[0s=0 \Rightarrow s\in\mathbb{R}\] \[48s=32 \Rightarrow s=\frac{2}{3}\] Bod \(P=[\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}]\), velikost vektoru \(\overrightarrow{S_{FH}P}\) je tedy rovna:
\[|\overrightarrow{S_{FH}P}|=\Biggl|\biggl(\frac{2}{3};-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\biggr)\Biggr|=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{24}{9}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\doteq 1,63\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Během řešení se budeme pohybovat v trojúhelníku \(DFS_{FH}\). Nejprve vypočteme velikost úhlu \(S_{FH}FD\) (označíme \(\varphi\)),
jenž využijeme během výpočtu délky úsečky \(S_{FH}P\) v trojúhelníku \(S_{FH}PF\).
Velikost úhlu \(\varphi\) určíme pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|DS_{FH}|^2-|S_{FH}F|^2-|DF|^2}{-2|DF||S_{FH}F|}\] Platí:
\[|DS_{FH}|=\sqrt{|DH|^2+\biggl(\frac{1}{2}|AB|\sqrt{2}\biggr)^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\] \[|S_{FH}F|=\frac{1}{2}|AB|\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\] \[|DF|=\sqrt{|DB|^2+|BF|^2}=\sqrt{\bigl(|AB|\sqrt{2}\bigr)^2+|AB|^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=\sqrt{3\cdot 16}=4\sqrt{3}\] Dosaďme do kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{\bigl(2\sqrt{6}\bigr)^2-\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^2-\bigl(4\sqrt{3}\bigr)^2}{-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{-32}{-16\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \varphi\doteq 35^\circ 15^{'}\] Užitím goniometrické funkce sinus v trojúhelníku \(S_{FH}PF\) získáme \(|S_{FH}P|\):
\[\sin\varphi=\frac{|S_{FH}P|}{|S_{FH}F|}\Rightarrow |S_{FH}P|=|S_{FH}F|\cdot\sin\varphi =2\sqrt{2}\cdot\sin(35^\circ 15^{'})\doteq 1,63\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{DB} \wedge B\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp \overline{DB} \wedge D\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(B,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(D,|AB|)\)
\(\mbox{6) } F; F\in k\cap o \)
\(\mbox{7) } H; H\in l\cap p \wedge H\in \longmapsto BDF\)
\(\mbox{8) } S_{FH};S_{FH}\in FH\wedge |FS_{FH}|=|S_{FH}H|\)
\(\mbox{9) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{DF} \wedge S_{FH}\in m\)
\(\mbox{10) } P; m\cap \overline{DF} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(P\) a \(S_{FH}\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímek \(EG\) a \(DF\).
Je dán pravidelný čtyřstěn \(ABCD\), \(|AB|=4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost hran \(AB\) a \(DC\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný čtyřstěn jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
X -ovou souřadnici bodu \(C\) jsme získali výpočtem výšky v rovnostranném trojúhelníku \(ABC\).
Souřadnice bodu \(D\) jsme odvodili na základě souřadnic těžiště \(T\) trojúhelníku \(ABC\) a na základě pravoúhlého trojúhelníku \(TCD\).
Určeme parametrická vyjádření přímek \(AB\) a \(CD\):
\[\leftrightarrow AB:\quad x=0,\quad y=4t,\quad z=0,\quad t\in\mathbb{R}\] \[\leftrightarrow CD:\quad x=2\sqrt{3}+\biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\biggr)s,\quad y=2,\quad z=4\sqrt{\frac{2}{3}}s,\quad s\in\mathbb{R}\] Směrovým vektorem přímky \(AB\) je vektor \(\overrightarrow{AB}=(0;4;0)\) a směrovým vektorem přímky \(CD\) je vektor \(\overrightarrow{CD}=\Bigl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3};0;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Bigr)\).
K výpočtu vzdálenosti obou přímek využijeme kolmost vektorů \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{S_{AB}P}\) a \(\overrightarrow{CD}\perp\overrightarrow{S_{AB}P}\)
(\(S_{AB}P\) je kolmá příčka přímek \(AB\), \(CD\) a \(P\in CD\)):
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\wedge\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\] \[P=\Biggl[2\sqrt{3}+(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3})s;2;4\sqrt{\frac{2}{3}}s\Biggr]\wedge\overrightarrow{S_{AB}P}=\Biggl(2\sqrt{3}+\Biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Biggr)s;0;4\Biggr)\] Můžeme nahlédnout, že řešením rovnice \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\) je \(s\in\mathbb{R}\). Zkusme vypočítat druhou rovnici:
\[\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\] \[\biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3};0;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)\cdot\Biggl(2\sqrt{3}+(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3})s;0;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)=0\] \[4-4\cdot 3+\Biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Biggr)^2s+16\cdot \frac{2}{3}s=0\] \[\Biggl(\frac{4}{3}+12-2\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\Biggr)s+\frac{32}{3}s=8\] \[4s+36s-24s+32s=24\] \[48s=24\] \[s=\frac{1}{2}\] Parametr \(s=\frac{1}{2}\) dosadíme do vektoru \(\overrightarrow{S_{AB}P}\):
\[\overrightarrow{S_{AB}P}=\Biggl(2\sqrt{3}+\Bigl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Bigr)\frac{1}{2};0;2\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)\] \[|\overrightarrow{S_{AB}P}|=\sqrt{\Biggl(2\sqrt{3}\frac{1}{3}\sqrt{3}-\sqrt{3}\Biggr)^2+\Biggl(2\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)^2}\] \[|\overrightarrow{S_{AB}P}|=\sqrt{\Biggl(\frac{4}{3}\sqrt{3}\Biggr)^2+\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{16}{9}\cdot 3+\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\doteq 2,83\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Řezem čtyřstěnu rovinou kolmou k hraně \(AB\) a procházející hranou \(CD\) je rovnoramenný trojúhelník \(S_{AB}CD\) s rameny \(S_{AB}D\), \(S_{AB}C\).
Délky ramen \(S_{AB}C\), \(S_{AB}D\) jsou rovny výšce v rovnostranném trojúhelníku \(ACB\), tj. \(|S_{AB}C|=\frac{|AC|}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\).
Vzdálenost hran \(AB\) a \(CD\) je rovna výšce v trojúhelníku \(S_{AB}CD\) k základně \(CD\).
Výšku \(S_{AB}P\) v rovnoramenném trojúhelníku \(S_{AB}CD\) určíme z pravoúhlého trojúhelníku \(S_{AB}CP\):
\[|S_{AB}P|=\sqrt{|S_{AB}C|^2-|CP|^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\doteq 2,83\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) } \mbox{rovnostranný trojúhelník } ABC; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany }AB\)
\(\mbox{3) } \triangle S_{AB}DC; |CD|=4\mbox{ cm, }|S_{AB}D|=|S_{AB}C| \)
\(\mbox{4 } m; m\perp\overline{CD}\wedge S_{AB}\in m \)
\(\mbox{5) } P; m\cap \overline{CD} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S_{AB}\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímek \(AB\) a \(DC\).
