Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom nemuseli počítat normálové vektory obou rovin, převedeme odchylku rovin na odchylku dvou přímek. Těmito přímkami jsou přímky \(AF\), \(BS_{EF}\). Jedná se o přímky, které vznikly jako průnik zadaných rovin a roviny kolmé na obě zadané roviny.
Rovina přední stěny \(ABE\) je naší kolmou rovinou na obě zadané roviny.
Odchylka rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\) je tedy rovna odchylce průsečnic \(AF\), \(BS_{EF}\).
Vektor \(\overrightarrow{AF}\) je směrovým vektorem přímky \(AF\) a \(\overrightarrow{BS_{EF}}\) je směrovým vektorem přímky \(BS_{EF}\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{AF}=(4;0;4),\quad\overrightarrow{BS_{EF}}=(-2;0;4)\] Odchylku můžeme vypočítat užitím vztahu pro odchylku dvou přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BS_{EF}}|}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{BS_{EF}}|}\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(4;0;4)\cdot(-2;0;4)|}{|(4;0;4)|\cdot|(-2;0;4)|}=\frac{|4\cdot (-2)+4\cdot 4|}{\sqrt{4^2+4^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+4^2}}=\frac{|8|}{4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow\varphi\doteq 71^\circ 34^{'}\]
Syntetické početní řešení
Velikost úhlu \(S_{EF}PF\) (hledanou odchylku), kde \(P\) je průsečíkem přímek \(AF\), \(BS_{EF}\), určíme přes vedlejší úhel \(BPF\).
Přímky \(AF\), \(BS_{EF}\) jsou průsečnicemi zadaných rovin s rovinou \(ABE\).
Velikost úhlu \(BPF\) získáme pomocí zbývajících úhlů v trohúhelníku \(BPF\), jež umíme určit.
Velikost úhlu \(BPF\) zjistíme z trojúhelníku \(BFS_{EF}\) užitím goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle PBF)=\frac{|S_{EF}F|}{|BF|}=\frac{1}{2}\Rightarrow |\angle PBF|\doteq 26^\circ 34^{'}\] Úhel \(BFP\) je roven polovině pravého úhlu \(BFE\):
\[|\angle BFP|=45^\circ\] Odtud dostaneme velikost úhlu \(BPF\):
\[|\angle BPF|=180^\circ -|\angle BFP|-|\angle PBF|=180^\circ -45^\circ -26^\circ 34^{'}=108^\circ 26^{'}\] Odchylka rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\) je tedy rovna velikosti úhlu \(S_{EF}PF\):
\[|\angle S_{EF}PF|=180^\circ -|\angle BPF|=180^\circ -108^\circ 26^{'}=71^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{EF}; S_{EF}\mbox{ je střed strany } EF\)
\(\mbox{3) } P; \overline{AF}\cap\overline{BS_{EF}}=\{P\}\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{EF}PF\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom nemuseli počítat normálové vektory obou rovin, převedeme odchylku rovin na odchylku dvou přímek. Těmito přímkami jsou například přímky \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\). Jedná se o přímky, které vznikly jako průnik zadaných rovin a roviny kolmé na obě dvě zadané roviny.
Rovina přední stěny je naší kolmou rovinou na obě zadané roviny.
Odchylka rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\) je tedy rovna odchylce průsečnic \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\).
Vektor \(\overrightarrow{S_{AE}B}\) je směrovým vektorem přímky \(BS_{AE}\) a \(\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{AE}S_{BF}\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{S_{AE}B}=(4;0;-2),\quad\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}=(4;0;0)\] K určení odchylky průsečnic využijeme vztah pro odchylku dvou přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{S_{AE}B}\cdot\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}|}{|\overrightarrow{S_{AE}B}||\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}|}\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(4;0;-2)\cdot(4;0;0)|}{|(4;0;-2)|\cdot|(4;0;0)|}=\frac{|4\cdot 4|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{4^2}}=\frac{|16|}{2\sqrt{5}\cdot 4}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické početní řešení
Odchylku rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\) převedeme na odchylku přímek \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\).
Jedná se o přímky, které vznikly jako průnik zadaných rovin a roviny kolmé na obě dvě zadané roviny.
Odchylku \(\varphi\) průsečnic \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\) určíme pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|BS_{BF}|}{|S_{AE}S_{BF}|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AE}; S_{AE}\mbox{ je střed strany }AE\)
\(\mbox{3) } S_{BF}; S_{BF}\mbox{ je střed strany }BF\)
\(\mbox{4) } \overline{S_{AE}B}, \overline{S_{AE}S_{BF}}\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{BF}S_{AE}B\), jež odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin \(BCV\), \(S_{AV}S_{DV}B\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro zjištění odchylky \(\varphi\) využijme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{BCV}}\cdot\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}{|\overrightarrow{n_{BCV}}||\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}\] Musíme tedy nyní vypočítat normálové vektory rovin. Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{BCV}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{BV}=(-2;2;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\) roviny \(BCV\):
\[\begin{eqnarray*} \overrightarrow{n_{BCV}}&=&\overrightarrow{BV}\times\overrightarrow{BC}\\
&=&(2\cdot 0-4\cdot 4;4\cdot 0-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 4-2\cdot 0)\\
&=&(-16;0;-8)\sim (2;0;1)\end{eqnarray*}\] Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\), \(\overrightarrow{BS_{AV}}=(-3;1;2)\) roviny \(S_{AV}S_{DV}B\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}&=&\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS_{AV}}\\
&=&(4\cdot 2-0\cdot 1; 0\cdot (-3)-0\cdot 2; 0\cdot 1-4\cdot (-3))\\
&=&(8;0;12)\sim (2;0;3)\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme dosadit do vztahu pro výpočet odchylky dvou vektorů:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{BCV}}\cdot\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}{|\overrightarrow{n_{BCV}}||\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}=\frac{|(2;0;1)\cdot(2;0;3)|}{|(2;0;1)|\cdot|(2;0;3)|}\] \[\cos\varphi=\frac{|2\cdot 2+1\cdot 3|}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{65}}\Rightarrow\varphi=29^\circ 45^{'}\]
Syntetické početní řešení
Odchylku rovin \(BCV\), \(S_{AV}S_{DV}B\) převedeme na odchylku průsečnic \(S_{BC}X\), \(S_{BC}V\), které vznikly jako průnik zadaných rovin s vrcholovou rovinou \(S_{AD}S_{BC}V\).
Odchylku průsečnic \(S_{BC}X\), \(S_{BC}V\) (označme ji \(\varphi\)) určíme pomocí úhlu \(SS_{BC}X\) (označme jeho velikost \(\omega\)). Velikost úhlu \(SS_{BC}X\) vypočítáme z trohúhelníku \(S_{AD}S_{BC}X\) pomocí sinové věty.
Abychom mohli sinovou větu použít, potřebujeme znát délky stran \(S_{BC}X\), \(S_{AD}X\) a velikost úhlu \(VS_{AD}S_{BC}\) (označme ji \(\alpha\)).
Pro odchylku \(\alpha\) platí:
\[\tan\alpha=\frac{|SV|}{|S_{AD}S|}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \alpha\doteq 63^\circ 26^{'}\]
(Pro výpočet jsme použili goniometrickou funkci tangens v trojúhelníku \(S_{AD}SV\).)
Pro délky stran \(S_{BC}X\), \(S_{AD}X\) platí:
\[|S_{AD}X|=\frac{1}{2}\sqrt{|SV|^2+|S_{AD}S|^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{20}=\sqrt{5}\] (Pro výpočet jsme použili Pýthagorovu větu v trojúhelníku \(S_{AD}SV\).)
\[|S_{BC}X|^2=|S_{AD}X|^2+|S_{AD}S_{BC}|^2-2|S_{AD}X||S_{AD}S_{BC}|\cos\alpha=(\sqrt{5})^2+4^2-2\sqrt{5}\cdot 4\cos(63^\circ 26^{'})\doteq 13\] \[|S_{BC}X|=\sqrt{13}\] (Pro výpočet jsme použili kosinovou větu v trojúhelníku \(XS_{AD}S_{BC}\).)
Nyní již můžeme vypočítat \(\omega\) pomocí sinové věty:
\[\frac{|S_{AD}X|}{\sin\omega}=\frac{|S_{BC}X|}{\sin\alpha}\Rightarrow \sin\omega=\frac{|S_{AD}X|}{|S_{BC}X|}\sin\alpha\] \[\sin\omega=\frac{|S_{AD}X|}{|S_{BC}X|}\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\sin(63^\circ 26^{'})\Rightarrow \omega_{1}\doteq 33^\circ 41^{'},\omega_{2}=180^{\circ}-\omega_{1}=146^{\circ} 19^{'}\] Úhel \(\omega_{2}\) nevyhovuje, neboť \(\omega_{2}+\alpha>180^{\circ}\), tedy \(\omega=\omega_{1}\).
Pro odchylku průsečnic \(S_{BC}X\), \(S_{BC}V\) platí:
\[\varphi=\alpha-\omega\] \[\varphi=63^\circ 26^{'}-33^\circ 41^{'}=29^\circ 45^{'}\] Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je střed strany }AD\)
\(\mbox{3) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je střed strany }BC\)
\(\mbox{4) } S; S\mbox{ je střed úsečky }S_{AD}S_{BC}\)
\(\mbox{5) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{S_{AD}S_{BC}} \wedge S\in m\)
\(\mbox{6) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{7) } V; V\in m\cap k \)
\(\mbox{8) } X; X\mbox{ je střed úsečky }S_{AD}V\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(XS_{BC}V\), která odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) rovin \(BCV\), \(S_{AV}S_{DV}B\).
Je dán pravidelný čtyřstěn \(ABCD\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin dvou libovolných stěn.
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný čtyřstěn jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro zjištění odchylky \(\varphi\) využijme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot\overrightarrow{n_{ABD}}|}{|\overrightarrow{n_{ABC}}||\overrightarrow{n_{ABD}}|}\] Musíme tedy vypočítat normálové vektory rovin. Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{ABC}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{AB}=(0;4;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{3};2;0)\) roviny \(ABC\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{ABC}}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\\
&=&(4\cdot 0-0\cdot 2;0\cdot 2\sqrt{3}-0\cdot 0;0\cdot 2-4\cdot 2\sqrt{3})\\
&=&(0;0;-8\sqrt{3})\sim (0;0;1)\end{eqnarray*}\] Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{ABD}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{AB}=(0;4;0)\), \(\overrightarrow{AD}=\Big(\frac{2}{3}\sqrt{3};2;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Big)\) roviny \(ABD\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{ABD}}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\\
&=& \Big(4\cdot 4\sqrt{\frac{2}{3}}-0\cdot 2;0\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}-0\cdot 4\sqrt{\frac{2}{3}};0\cdot 2-4\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\Big)\\
&=& \Big(16\sqrt{\frac{2}{3}};0;\frac{-8}{3}\sqrt{3}\Big)\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme dosadit do vztahu pro výpočet odchylky dvou vektorů:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot\overrightarrow{n_{ABD}}|}{|\overrightarrow{n_{ABC}}||\overrightarrow{n_{ABD}}|}=\frac{|(0;0;1)\cdot(16\sqrt{\frac{2}{3}};0;\frac{-8}{3}\sqrt{3})|}{|(0;0;1)|\cdot|(16\sqrt{\frac{2}{3}};0;\frac{-8}{3}\sqrt{3})|}\] \[\cos\varphi= \frac{|1\cdot \frac{-8}{3}\sqrt{3}|}{1\cdot\sqrt{16^2\cdot \frac{2}{3}+\frac{64}{9}\cdot 3}}=\frac{|\frac{-8}{3}\sqrt{3}|}{1\cdot 8\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\Rightarrow\varphi\doteq 70^\circ 32^{'}\]
Syntetické početní řešení
Proložme čtyřstěnem \(ABCD\) rovinu, která prochází body \(C\), \(D\) a je kolmá na rovinu podstavy
\(ABC\). Tato rovina \(CDS_{AB}\) je kolmá i k rovině \(ABD\). Průnikem roviny \(CDS_{AB}\) s rovinou \(ABC\) je přímka \(S_{AB}C\), s rovinou \(ABD\) přímka \(S_{AB}D\). Odchyku dvou stěn vypočítáme tedy pomocí trojúhelníku
\(S_{AB}CD\), jenž vznikl řezem čtyřstěnu rovinou \(CDS_{AB}\). Odchylka dvou stěn je rovna velikosti úhlu \(DS_{AB}C\).
Velikost úhlu \(DS_{AB}C\) (označme jej \(\varphi\)) vypočítáme užitím kosinové věty v trojúhelníku
\(S_{AB}CD\), kde \(|S_{AB}C|=|S_{AB}D|=\frac{|AB|}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) a \(|CD|=|AB|=4\mbox{ cm}\):
\[\cos\varphi=\frac{|CD|^2-|S_{AB}C|^2-|S_{AB}D|^2}{-2\cdot |S_{AB}C|\cdot |S_{AB}D|}=\frac{4^2-(2\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}{-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\Rightarrow \varphi\doteq 70^\circ 32^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) trojúhelník } ABC \mbox{ dle věty }sss; |AB|=|BC|=|AC|= 4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany } AB\)
\(\mbox{3) } k; k(C,|AB|)\)
\(\mbox{4) } l; l(S_{AB},|S_{AB}C|)\)
\(\mbox{5) } D; D\in l\cap k\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(CS_{AB}D\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) dvou stěn v čtyřstěnu.
