Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), kde \(|AB|=4 \mbox{ cm}\), a bod \(M\), který je průsečíkem úhlopříček stěny \(ABF\). Určete vzdálenost bodů \(C\), \(M\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Víme, že vzdálenost dvou bodů lze vypočítat pomocí vztahu: \[|MC| = \sqrt{(x_{C}-x_{M})^2+(y_{C}-y_{M})^2+(z_{C}-z_{M})^2}\] Tedy pro \(M=[x_M;y_M;z_M]=[2;0;2]\) a \(C=[x_C;y_C;z_C]=[4;4;0]\) platí:
\[|MC| = \sqrt{(4-2)^2+(4-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\doteq 4,9\mbox{ cm}\].
Syntetické početní řešení
Ze zadání víme: \[|AB|=4 \mbox{ cm}\] Kolmý průmět bodu \(M\) do hrany \(AB\) označíme \(P\).
Pomocí Pýthagorovy věty v \(\triangle MPC\) lze určit délku úsečky \(MC\). Abychom mohli určit délku úsečky \(MC\), musíme nejdříve vypočítat délky úseček \(MP\), \(PC\):
\[|MP| = \frac{1}{2}|AE| = 2\] Délku úsečky \(PC\) zjistíme z \(\triangle PBC\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|PC| = \sqrt{|PB|^2+|BC|^2} = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] Nyní můžeme vypočítat délku úsečky \(MC\):
\[|MC| = \sqrt{|MP|^2+|PC|^2} = \sqrt{2^2+(2\sqrt{5})^2} = \sqrt{4+20} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\doteq 4,9 \mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany }AB\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{S_{AB}C}\wedge S_{AB}\in o\)
\(\mbox{4) } k; k(S_{AB},\frac{1}{2}|AB|)\)
\(\mbox{5) } M; M\in o\cap k \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(C\), \(M\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4 \mbox{ cm}\). Dále jsou dány body \(K\), \(L\). Bod \(K\) náleží hraně \(DV\) a platí \(|KV|=\frac{1}{4}|DV|.\) Bod \(L\) je středem hrany \(BV\). Určete vzdálenost bodů \(K\), \(L\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Určeme souřadnice bodů \(K\) a \(L\):
Bod \(L\) je středem hrany \(BV\), jeho souřadnice jsou tedy \(L=[3;1;2]\).
K výpočtu souřadnic bodu \(K\) využijeme bod \(S_{DV}=[1;3;2]\), jenž je středem hrany \(DV\). Bod \(K\) je nyní středem úsečky \(S_{DV}V\), platí tedy \(K=[\frac{3}{2};\frac{5}{2};3]\).
Vzdálenost bodů \(K\), \(L\) vypočítáme pomocí vztahu pro vzdálenost dvou bodů:
\[|KL| = \sqrt{(x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2+(z_L-z_K)^2}\] \[|KL| = \sqrt{\Bigl(3-\frac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(1-\frac{5}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2-3\Bigr)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{22}\doteq 2,35\mbox{ cm}\].
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme podobnost trojúhelníků \(DSV\) a \(S_{DV}S'V\) (bod \(S_{DV}\) je středem hrany \(DV\), bod \(S\) je středem úsečky \(DB\) a bod \(S'\) je středem úsečky \(S_{DV}L\)) dle věty \(uu\):
\[\frac{|DV|}{|DS|}=\frac{|S_{DV}V|}{|S_{DV}S^{'}|}=\frac{\frac{1}{2}|DV|}{|S_{DV}S'|}\] Odtud pro \(|S_{DV}S'|\) platí:
\[|S_{DV}S^{'}|=\frac{\frac{1}{2}|DV||DS|}{|DV|}=\frac{1}{2}|DS|=\sqrt{2}\] Pro úsečku \(S_{DV}L\) platí: \(|S_{DV}L|=2|S_{DV}S'|=|DS|=\frac{1}{2}|AB|\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).
Ze zadání víme, že: \(|S_{DV}K|=|KV|=\frac{1}{4}|DV|\) K určení délky \(|S_{DV}K|\) tedy využijeme trojúhelník \(DSV\): \[|S_{DV}K|=\frac{1}{4}\sqrt{\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2+4^2}=\frac{1}{4}\sqrt{24} = \frac{\sqrt{6}}{2}\] Abychom mohli určit délku úsečky \(KL\) pomocí kosinové věty, potřebujeme zjistit velikost úhlu \(\varphi=|\angle SDV|=|\angle S'S_{DV}V|\) v trojúhelníku \(DSV\): \[\tan\varphi=\frac{|VS|}{|DS|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow\varphi\doteq 54^\circ 44'\] Nyní již pomocí kosinové věty v \(\triangle S_{DV}LK\) určíme délku \(KL\): \[|KL|^2=|S_{DV}K|^2+|S_{DV}L|^2-2|S_{DV}K||S_{DV}L|\cos\varphi\] \[|KL|^2=\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2-2\frac{\sqrt{6}}{2}2\sqrt{2}\cos(54^\circ 44')\] \[|KL|\doteq 2,35 \mbox{ cm}\]
Ze zadání víme, že: \(|S_{DV}K|=|KV|=\frac{1}{4}|DV|\) K určení délky \(|S_{DV}K|\) tedy využijeme trojúhelník \(DSV\): \[|S_{DV}K|=\frac{1}{4}\sqrt{\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2+4^2}=\frac{1}{4}\sqrt{24} = \frac{\sqrt{6}}{2}\] Abychom mohli určit délku úsečky \(KL\) pomocí kosinové věty, potřebujeme zjistit velikost úhlu \(\varphi=|\angle SDV|=|\angle S'S_{DV}V|\) v trojúhelníku \(DSV\): \[\tan\varphi=\frac{|VS|}{|DS|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow\varphi\doteq 54^\circ 44'\] Nyní již pomocí kosinové věty v \(\triangle S_{DV}LK\) určíme délku \(KL\): \[|KL|^2=|S_{DV}K|^2+|S_{DV}L|^2-2|S_{DV}K||S_{DV}L|\cos\varphi\] \[|KL|^2=\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2-2\frac{\sqrt{6}}{2}2\sqrt{2}\cos(54^\circ 44')\] \[|KL|\doteq 2,35 \mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S;\overline{BD}\cap \overline{AC}=\{S\}\)
\(\mbox{3) } l; l(S,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{4) } V; V\in l\cap\leftrightarrow AC \)
\(\mbox{5) } \triangle DBV\)
\(\mbox{6) } K; |KV|=\frac{1}{4}|DV|\wedge K\in DV\)
\(\mbox{7) } L; |LV|=|BL|\wedge L\in BV\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(K\) a \(L\), tj. \(|KL|\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodů \(S_{AV}\), \(C\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Vzdálenost bodů \(S_{AV}\) a \(C\) vypočítáme pomocí vztahu:
\[|S_{AV}C|=\sqrt{(x_C-x_{S_{AV}})^2+(y_C-y_{S_{AV}})^2+(z_C-z_{S_{AV}})^2},\] kde \(S_{AV}=[x_{S_{AV}};y_{S_{AV}};z_{S_{AV}}]\) a \(C=[x_C;y_C;z_C]\).
Nyní za jednotlivé souřadnice bodů \(S_{AV}\) a \(C\) dosadíme hodnoty dle vhodného umístění do kartézské soustavy souřadnic: \[|S_{AV}C|=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{3^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\doteq 5,2\mbox{ cm}\]
Nyní za jednotlivé souřadnice bodů \(S_{AV}\) a \(C\) dosadíme hodnoty dle vhodného umístění do kartézské soustavy souřadnic: \[|S_{AV}C|=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{3^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\doteq 5,2\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K určení velikosti úsečky \(S_{AV}C\) využijeme kosinovou větu v \(\triangle ACS_{AV}\):
\[|S_{AV}C|^2=|S_{AV}A|^2+|AC|^2-2|S_{AV}A||AC|\cos\varphi\] Chybí nám tedy zjistit velikosti úseček \(S_{AV}A\), \(AC\) a jejich odchylku \(\varphi\):
Pro \(|S_{AV}A|\) podle Pýthagorovy věty v \(\triangle ASV\) platí:
\[|S_{AV}A|=\frac{1}{2}|AV|=\frac{1}{2}\sqrt{|SV|^2+\biggl(\frac{1}{2}|AC|\biggr)^2}\] Víme, že \(|SV|=6\mbox{ cm}\) a \(|AC|=|AB|\sqrt{2}=4\sqrt{2} \mbox{ cm}\), proto:
\[|S_{AV}A|=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+\biggl(\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\biggr)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+4\cdot 2}=\sqrt{11}\] Nyní zbývá určit velikost úhlu \(\varphi\). Jeho velikost zjistíme pomocí funkce \(\tan\) v \(\triangle ASV\):
\[\tan\varphi=\frac{|SV|}{\frac{1}{2}|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 64^\circ 46^{'}\] Dosaďme do kosinové věty:
\[|S_{AV}C|^2=\bigl(\sqrt{11}\bigr)^2+\bigl(4\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{11}\cdot 4\sqrt{2}\cos(64^\circ 46^{'})\] \[|S_{AV}C|\doteq 5,2\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; \overline{AC}\cap \overline{BD} =\{S\}\)
\(\mbox{3) } l; l(S, 6\mbox{ cm})\)
\(\mbox{4) } V; V\in l\cap \leftrightarrow BD \)
\(\mbox{5) } \triangle ACV\)
\(\mbox{6) } S_{AV}; S_{AV} \mbox{ je středem } \overline{AV}\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S_{AV}\) a \(C\).
