Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímky \(AB\) od přímky \(S_{BF}E\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{S_{BF}E}|}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{S_{BF}E}|}\]
(Vektor \(\overrightarrow{BA}\) je směrovým vektorem přímky \(AB\) a \(\overrightarrow{S_{BF}E}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{BF}E\).)
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{BA}=(-4;0;0),\quad\overrightarrow{S_{BF}E}=(-4;0;2)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;0)\cdot(-4;0;2)|}{|(-4;0;0)|\cdot|(-4;0;2)|}=\frac{|-4\cdot (-4)|}{\sqrt{(-4)^2}\cdot\sqrt{(-4)^2+2^2}}=\frac{|16|}{8\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\] Syntetické početní řešení
Přímku \(S_{BF}E\) jsme posunuli o vektor \(S_{BF}B\), čímž jsme získali přímku \(BS_{AE}\).
Přímky \(AB\), \(BS_{AE}\) svírají hledaný úhel \(\varphi\). Pojďme tedy zjistit jeho velikost.
Použijeme goniometrickou funkci tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|AS_{AE}|}{|AB|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{BF}; S_{BF}\mbox{ je střed strany }BF\)
\(\mbox{3) }P; S_{BF}E\cap AB=\{P\}\)
Provedením konstrukce jsme získali úhel \(S_{BF}PB\), jehož velikost je hledanou odchylkou \(\varphi\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímek \(S_{AE}B\), \(S_{BF}G\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BS_{AE}}\cdot\overrightarrow{S_{BF}G}|}{|\overrightarrow{BS_{AE}}||\overrightarrow{S_{BF}G}|}\] Vektor \(\overrightarrow{BS_{AE}}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{AE}B\) a \(\overrightarrow{S_{BF}G}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{BF}G\).
Pro směrové vektory přímek platí: \[\overrightarrow{BS_{AE}}=(-4;0;2),\quad\overrightarrow{S_{BF}G}=(0;4;2)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek: \[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;2)\cdot(0;4;2)|}{|(-4;0;2)|\cdot|(0;4;2)|}=\frac{|2\cdot 2|}{\sqrt{(-4)^2+2^2}\cdot\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{|4|}{4\cdot 5}=\frac{1}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 78^\circ 28^{'}\]
Pro směrové vektory přímek platí: \[\overrightarrow{BS_{AE}}=(-4;0;2),\quad\overrightarrow{S_{BF}G}=(0;4;2)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek: \[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;2)\cdot(0;4;2)|}{|(-4;0;2)|\cdot|(0;4;2)|}=\frac{|2\cdot 2|}{\sqrt{(-4)^2+2^2}\cdot\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{|4|}{4\cdot 5}=\frac{1}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 78^\circ 28^{'}\]
Syntetické početní řešení
Přímku \(S_{BF}G\) jsme posunuli o vektor \(S_{BF}B\), čímž jsme získali přímku \(BS_{CG}\).
Přímky \(S_{AE}B\), \(BS_{CG}\) svírají hledaný úhel o velikosti \(\varphi\).
Pojďme tedy zjistit hledanou ochylku.
V trojúhelníku \(S_{AE}BS_{CG}\) použijeme kosinovou větu:
\[\cos\varphi=\frac{|S_{AE}S_{CG}|^2-|S_{AE}B|^2-|BS_{CG}|^2}{-2|S_{AE}B||BS_{CG}|}\] Pro délky stran trojúhelníku \(S_{AE}BS_{CG}\) platí:
\[\begin{eqnarray*}|S_{AE}S_{CG}|&=&|AB|\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\
|S_{AE}B|&=&\sqrt{|AB|^2+\biggl(\frac{1}{2}|AE|\biggr)^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\
|BS_{CG}|&=&|S_{AE}B|=2\sqrt{5}\end{eqnarray*}\] Dosaďme jednotlivé délky úseček:
\[\cos\varphi=\frac{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{5})^2-(2\sqrt{5})^2}{-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{16\cdot 2-4\cdot 5-4.5}{-8\cdot 5}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}\Rightarrow \varphi\doteq 78^\circ 28^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AE}; S_{AE}\mbox{ je střed strany }AE\)
\(\mbox{3) } k; k(B,|S_{AE}B|)\)
\(\mbox{4) } l; l(S_{AE},|BE|)\)
\(\mbox{5) } S_{CG}; S_{CG}\in l\cap k\)
Provedením konstrukce jsme získali úhel \(S_{AE}BS_{CG}\), jehož velikost odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) přímek \(S_{AE}B\), \(S_{BF}G\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 5\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímek \(AS_{CD}\), \(CV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{CV}\cdot\overrightarrow{AS_{CD}}|}{|\overrightarrow{CV}||\overrightarrow{AS_{CD}}|}\] Vektor \(\overrightarrow{CV}\) je směrovým vektorem přímky \(CV\) a \(\overrightarrow{AS_{CD}}\) je směrovým vektorem přímky \(AS_{CD}\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{CV}=(-2;-2;5),\quad\overrightarrow{AS_{CD}}=(2;4;0)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(-2;-2;5)\cdot(2;4;0)|}{|(-2;-2;5)|\cdot|(2;4;0)|}\] Vynásobíme vektory po složkách:
\[\cos\varphi=\frac{|(-2)\cdot 2+(-2)\cdot 4+5\cdot 0|}{\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+5^2}\cdot\sqrt{2^2+4^2}}=\frac{|-12|}{\sqrt{33}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{33}\cdot\sqrt{5}}\Rightarrow\varphi\doteq 62^\circ 9^{'}\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(S_{AB}CV\), kde strana \(S_{AB}C\) vznikne posunem úsečky \(AS_{CD}\) o vektor \(\overrightarrow{S_{CD}C}\).
V trojúhelníku \(S_{AB}CV\) zjistíme velikost úhlu \(S_{AB}CV\) (označme jej \(\varphi\)) pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|S_{AB}V|^2-|S_{AB}C|^2-|CV|^2}{-2|S_{AB}C||CV|}\] Protože potřebné délky stran trojúhelníku neznáme, musíme je postupně vypočítat.
Délku strany \(S_{AB}C\) vypočteme z trojúhelníku \(S_{AB}BC\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|S_{AB}C|=\sqrt{|S_{AB}B|^2+|BC|^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\] Délku strany \(CV\) vypočteme z trojúhelníku \(SCV\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|CV|=\sqrt{|SV|^2+|SC|^2}=\sqrt{5^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{25+8}=\sqrt{33}\] Délku strany \(S_{AB}V\) vypočteme z trojúhelníku \(S_{AB}SV\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|S_{AB}V|=\sqrt{|SV|^2+|SS_{AB}|^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\] Nyní známe potřebné délky stran a můžeme dosadit do výše uvedené kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|S_{AB}V|^2-|S_{AB}C|^2-|CV|^2}{-2|S_{AB}C||CV|}\] \[\cos\varphi=\frac{(\sqrt{29})^2-(2\sqrt{5})^2-(\sqrt{33})^2}{-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{33}}=\frac{29-20-33}{-4\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{33}}=\frac{6}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{33}}\Rightarrow\varphi\doteq 62^\circ 9^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je střed strany }AD\)
\(\mbox{3) } S; S\mbox{ je střed úsečy }AC\)
\(\mbox{4) }\triangle S_{AD}SH\mbox{ dle věty }sus; |\angle S_{AD}SH|=90^\circ \wedge |SH|=5\mbox{ cm} \)
\(\mbox{5) }\triangle SCH^{'}\mbox{ dle věty }sus; |\angle CSH^{'}|=90^\circ \wedge |SH^{'}|=5\mbox{ cm} \)
\(\mbox{6) } \triangle S_{AB}CV\mbox{ dle věty }sss; |CV|=|CH^{'}|\wedge |S_{AB}V|=|S_{AD}H|\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{AB}CV\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) přímek \(AS_{CD}\), \(CV\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímek \(BE\), \(AH\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro výpočet odchylky dvou přímek použijeme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AH}|}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{AH}|}\] Vektor \(\overrightarrow{BE}\) je směrovým vektorem přímky \(BE\) a \(\overrightarrow{AH}\) je směrovým vektorem přímky \(AH\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{BE}=(-4;0;4),\quad\overrightarrow{AH}=(0;4;4)\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(-4;0;4)\cdot(0;4;4)|}{|(-4;0;4)|\cdot|(0;4;4)|}=\frac{|(-4)\cdot 0+0\cdot 4+4\cdot 4|}{\sqrt{(-4)^2+4^2}\cdot\sqrt{4^2+4^2}}=\frac{|16|}{\sqrt{32}\cdot\sqrt{32}}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\Rightarrow\varphi=60^\circ\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(ACH\), kde strana \(CH\) vznikne posunem úsečky \(BE\) o vektor \(\overrightarrow{EH}\).
Hledaná odchylka přímek tedy odpovídá velikosti úhlu \(AHC\). Trojúhelník \(ACH\) je rovnostranný trojúhelník. Délky jeho stran odpovídají délce stěnové úhlopříčky krychle \(ABCDEFGH\).
Protože trojúhelník \(ACH\) je rovnostranný, dostáváme:
\(|\angle AHC|=60^\circ\)
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \triangle ACH\mbox{ dle věty }sss; |AC|=|CH|=|AH|\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(AHC\), která odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) přímek \(BE\), \(AH\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom nemuseli počítat normálové vektory obou rovin, převedeme odchylku rovin na odchylku dvou přímek. Těmito přímkami jsou přímky \(AF\), \(BS_{EF}\). Jedná se o přímky, které vznikly jako průnik zadaných rovin a roviny kolmé na obě zadané roviny.
Rovina přední stěny \(ABE\) je naší kolmou rovinou na obě zadané roviny.
Odchylka rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\) je tedy rovna odchylce průsečnic \(AF\), \(BS_{EF}\).
Vektor \(\overrightarrow{AF}\) je směrovým vektorem přímky \(AF\) a \(\overrightarrow{BS_{EF}}\) je směrovým vektorem přímky \(BS_{EF}\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{AF}=(4;0;4),\quad\overrightarrow{BS_{EF}}=(-2;0;4)\] Odchylku můžeme vypočítat užitím vztahu pro odchylku dvou přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BS_{EF}}|}{|\overrightarrow{AF}||\overrightarrow{BS_{EF}}|}\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(4;0;4)\cdot(-2;0;4)|}{|(4;0;4)|\cdot|(-2;0;4)|}=\frac{|4\cdot (-2)+4\cdot 4|}{\sqrt{4^2+4^2}\cdot\sqrt{(-2)^2+4^2}}=\frac{|8|}{4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow\varphi\doteq 71^\circ 34^{'}\]
Syntetické početní řešení
Velikost úhlu \(S_{EF}PF\) (hledanou odchylku), kde \(P\) je průsečíkem přímek \(AF\), \(BS_{EF}\), určíme přes vedlejší úhel \(BPF\).
Přímky \(AF\), \(BS_{EF}\) jsou průsečnicemi zadaných rovin s rovinou \(ABE\).
Velikost úhlu \(BPF\) získáme pomocí zbývajících úhlů v trohúhelníku \(BPF\), jež umíme určit.
Velikost úhlu \(BPF\) zjistíme z trojúhelníku \(BFS_{EF}\) užitím goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle PBF)=\frac{|S_{EF}F|}{|BF|}=\frac{1}{2}\Rightarrow |\angle PBF|\doteq 26^\circ 34^{'}\] Úhel \(BFP\) je roven polovině pravého úhlu \(BFE\):
\[|\angle BFP|=45^\circ\] Odtud dostaneme velikost úhlu \(BPF\):
\[|\angle BPF|=180^\circ -|\angle BFP|-|\angle PBF|=180^\circ -45^\circ -26^\circ 34^{'}=108^\circ 26^{'}\] Odchylka rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\) je tedy rovna velikosti úhlu \(S_{EF}PF\):
\[|\angle S_{EF}PF|=180^\circ -|\angle BPF|=180^\circ -108^\circ 26^{'}=71^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{EF}; S_{EF}\mbox{ je střed strany } EF\)
\(\mbox{3) } P; \overline{AF}\cap\overline{BS_{EF}}=\{P\}\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{EF}PF\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) rovin \(DAF\), \(BS_{EF}S_{GH}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom nemuseli počítat normálové vektory obou rovin, převedeme odchylku rovin na odchylku dvou přímek. Těmito přímkami jsou například přímky \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\). Jedná se o přímky, které vznikly jako průnik zadaných rovin a roviny kolmé na obě dvě zadané roviny.
Rovina přední stěny je naší kolmou rovinou na obě zadané roviny.
Odchylka rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\) je tedy rovna odchylce průsečnic \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\).
Vektor \(\overrightarrow{S_{AE}B}\) je směrovým vektorem přímky \(BS_{AE}\) a \(\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}\) je směrovým vektorem přímky \(S_{AE}S_{BF}\).
Pro směrové vektory přímek platí:
\[\overrightarrow{S_{AE}B}=(4;0;-2),\quad\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}=(4;0;0)\] K určení odchylky průsečnic využijeme vztah pro odchylku dvou přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{S_{AE}B}\cdot\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}|}{|\overrightarrow{S_{AE}B}||\overrightarrow{S_{AE}S_{BF}}|}\] Dosaďme nyní do vztahu pro odchylku přímek:
\[\cos\varphi=\frac{|(4;0;-2)\cdot(4;0;0)|}{|(4;0;-2)|\cdot|(4;0;0)|}=\frac{|4\cdot 4|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{4^2}}=\frac{|16|}{2\sqrt{5}\cdot 4}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické početní řešení
Odchylku rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\) převedeme na odchylku přímek \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\).
Jedná se o přímky, které vznikly jako průnik zadaných rovin a roviny kolmé na obě dvě zadané roviny.
Odchylku \(\varphi\) průsečnic \(BS_{AE}\), \(S_{AE}S_{BF}\) určíme pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|BS_{BF}|}{|S_{AE}S_{BF}|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow \varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AE}; S_{AE}\mbox{ je střed strany }AE\)
\(\mbox{3) } S_{BF}; S_{BF}\mbox{ je střed strany }BF\)
\(\mbox{4) } \overline{S_{AE}B}, \overline{S_{AE}S_{BF}}\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{BF}S_{AE}B\), jež odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) rovin \(BS_{AE}S_{DH}\), \(S_{AE}S_{BF}S_{CG}\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin \(BCV\), \(S_{AV}S_{DV}B\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro zjištění odchylky \(\varphi\) využijme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{BCV}}\cdot\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}{|\overrightarrow{n_{BCV}}||\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}\] Musíme tedy nyní vypočítat normálové vektory rovin. Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{BCV}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{BV}=(-2;2;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\) roviny \(BCV\):
\[\begin{eqnarray*} \overrightarrow{n_{BCV}}&=&\overrightarrow{BV}\times\overrightarrow{BC}\\
&=&(2\cdot 0-4\cdot 4;4\cdot 0-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 4-2\cdot 0)\\
&=&(-16;0;-8)\sim (2;0;1)\end{eqnarray*}\] Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\), \(\overrightarrow{BS_{AV}}=(-3;1;2)\) roviny \(S_{AV}S_{DV}B\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}&=&\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS_{AV}}\\
&=&(4\cdot 2-0\cdot 1; 0\cdot (-3)-0\cdot 2; 0\cdot 1-4\cdot (-3))\\
&=&(8;0;12)\sim (2;0;3)\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme dosadit do vztahu pro výpočet odchylky dvou vektorů:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{BCV}}\cdot\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}{|\overrightarrow{n_{BCV}}||\overrightarrow{n_{S_{AV}S_{DV}B}}|}=\frac{|(2;0;1)\cdot(2;0;3)|}{|(2;0;1)|\cdot|(2;0;3)|}\] \[\cos\varphi=\frac{|2\cdot 2+1\cdot 3|}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{|7|}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{65}}\Rightarrow\varphi=29^\circ 45^{'}\]
Syntetické početní řešení
Odchylku rovin \(BCV\), \(S_{AV}S_{DV}B\) převedeme na odchylku průsečnic \(S_{BC}X\), \(S_{BC}V\), které vznikly jako průnik zadaných rovin s vrcholovou rovinou \(S_{AD}S_{BC}V\).
Odchylku průsečnic \(S_{BC}X\), \(S_{BC}V\) (označme ji \(\varphi\)) určíme pomocí úhlu \(SS_{BC}X\) (označme jeho velikost \(\omega\)). Velikost úhlu \(SS_{BC}X\) vypočítáme z trohúhelníku \(S_{AD}S_{BC}X\) pomocí sinové věty.
Abychom mohli sinovou větu použít, potřebujeme znát délky stran \(S_{BC}X\), \(S_{AD}X\) a velikost úhlu \(VS_{AD}S_{BC}\) (označme ji \(\alpha\)).
Pro odchylku \(\alpha\) platí:
\[\tan\alpha=\frac{|SV|}{|S_{AD}S|}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \alpha\doteq 63^\circ 26^{'}\]
(Pro výpočet jsme použili goniometrickou funkci tangens v trojúhelníku \(S_{AD}SV\).)
Pro délky stran \(S_{BC}X\), \(S_{AD}X\) platí:
\[|S_{AD}X|=\frac{1}{2}\sqrt{|SV|^2+|S_{AD}S|^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+2^2}=\frac{1}{2}\sqrt{20}=\sqrt{5}\] (Pro výpočet jsme použili Pýthagorovu větu v trojúhelníku \(S_{AD}SV\).)
\[|S_{BC}X|^2=|S_{AD}X|^2+|S_{AD}S_{BC}|^2-2|S_{AD}X||S_{AD}S_{BC}|\cos\alpha=(\sqrt{5})^2+4^2-2\sqrt{5}\cdot 4\cos(63^\circ 26^{'})\doteq 13\] \[|S_{BC}X|=\sqrt{13}\] (Pro výpočet jsme použili kosinovou větu v trojúhelníku \(XS_{AD}S_{BC}\).)
Nyní již můžeme vypočítat \(\omega\) pomocí sinové věty:
\[\frac{|S_{AD}X|}{\sin\omega}=\frac{|S_{BC}X|}{\sin\alpha}\Rightarrow \sin\omega=\frac{|S_{AD}X|}{|S_{BC}X|}\sin\alpha\] \[\sin\omega=\frac{|S_{AD}X|}{|S_{BC}X|}\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\sin(63^\circ 26^{'})\Rightarrow \omega_{1}\doteq 33^\circ 41^{'},\omega_{2}=180^{\circ}-\omega_{1}=146^{\circ} 19^{'}\] Úhel \(\omega_{2}\) nevyhovuje, neboť \(\omega_{2}+\alpha>180^{\circ}\), tedy \(\omega=\omega_{1}\).
Pro odchylku průsečnic \(S_{BC}X\), \(S_{BC}V\) platí:
\[\varphi=\alpha-\omega\] \[\varphi=63^\circ 26^{'}-33^\circ 41^{'}=29^\circ 45^{'}\] Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je střed strany }AD\)
\(\mbox{3) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je střed strany }BC\)
\(\mbox{4) } S; S\mbox{ je střed úsečky }S_{AD}S_{BC}\)
\(\mbox{5) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{S_{AD}S_{BC}} \wedge S\in m\)
\(\mbox{6) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{7) } V; V\in m\cap k \)
\(\mbox{8) } X; X\mbox{ je střed úsečky }S_{AD}V\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(XS_{BC}V\), která odpovídá hledané odchylce \(\varphi\) rovin \(BCV\), \(S_{AV}S_{DV}B\).
Je dán pravidelný čtyřstěn \(ABCD\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku rovin dvou libovolných stěn.
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný čtyřstěn jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro zjištění odchylky \(\varphi\) využijme vztah:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot\overrightarrow{n_{ABD}}|}{|\overrightarrow{n_{ABC}}||\overrightarrow{n_{ABD}}|}\] Musíme tedy vypočítat normálové vektory rovin. Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{ABC}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{AB}=(0;4;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{3};2;0)\) roviny \(ABC\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{ABC}}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\\
&=&(4\cdot 0-0\cdot 2;0\cdot 2\sqrt{3}-0\cdot 0;0\cdot 2-4\cdot 2\sqrt{3})\\
&=&(0;0;-8\sqrt{3})\sim (0;0;1)\end{eqnarray*}\] Normálový vektor \(\overrightarrow{n_{ABD}}\) vypočteme vektorovým součinem směrových vektorů \(\overrightarrow{AB}=(0;4;0)\), \(\overrightarrow{AD}=\Big(\frac{2}{3}\sqrt{3};2;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Big)\) roviny \(ABD\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{ABD}}&=&\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\\
&=& \Big(4\cdot 4\sqrt{\frac{2}{3}}-0\cdot 2;0\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}-0\cdot 4\sqrt{\frac{2}{3}};0\cdot 2-4\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\Big)\\
&=& \Big(16\sqrt{\frac{2}{3}};0;\frac{-8}{3}\sqrt{3}\Big)\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme dosadit do vztahu pro výpočet odchylky dvou vektorů:
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{ABC}}\cdot\overrightarrow{n_{ABD}}|}{|\overrightarrow{n_{ABC}}||\overrightarrow{n_{ABD}}|}=\frac{|(0;0;1)\cdot(16\sqrt{\frac{2}{3}};0;\frac{-8}{3}\sqrt{3})|}{|(0;0;1)|\cdot|(16\sqrt{\frac{2}{3}};0;\frac{-8}{3}\sqrt{3})|}\] \[\cos\varphi= \frac{|1\cdot \frac{-8}{3}\sqrt{3}|}{1\cdot\sqrt{16^2\cdot \frac{2}{3}+\frac{64}{9}\cdot 3}}=\frac{|\frac{-8}{3}\sqrt{3}|}{1\cdot 8\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\Rightarrow\varphi\doteq 70^\circ 32^{'}\]
Syntetické početní řešení
Proložme čtyřstěnem \(ABCD\) rovinu, která prochází body \(C\), \(D\) a je kolmá na rovinu podstavy
\(ABC\). Tato rovina \(CDS_{AB}\) je kolmá i k rovině \(ABD\). Průnikem roviny \(CDS_{AB}\) s rovinou \(ABC\) je přímka \(S_{AB}C\), s rovinou \(ABD\) přímka \(S_{AB}D\). Odchyku dvou stěn vypočítáme tedy pomocí trojúhelníku
\(S_{AB}CD\), jenž vznikl řezem čtyřstěnu rovinou \(CDS_{AB}\). Odchylka dvou stěn je rovna velikosti úhlu \(DS_{AB}C\).
Velikost úhlu \(DS_{AB}C\) (označme jej \(\varphi\)) vypočítáme užitím kosinové věty v trojúhelníku
\(S_{AB}CD\), kde \(|S_{AB}C|=|S_{AB}D|=\frac{|AB|}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) a \(|CD|=|AB|=4\mbox{ cm}\):
\[\cos\varphi=\frac{|CD|^2-|S_{AB}C|^2-|S_{AB}D|^2}{-2\cdot |S_{AB}C|\cdot |S_{AB}D|}=\frac{4^2-(2\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}{-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}\Rightarrow \varphi\doteq 70^\circ 32^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) trojúhelník } ABC \mbox{ dle věty }sss; |AB|=|BC|=|AC|= 4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany } AB\)
\(\mbox{3) } k; k(C,|AB|)\)
\(\mbox{4) } l; l(S_{AB},|S_{AB}C|)\)
\(\mbox{5) } D; D\in l\cap k\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(CS_{AB}D\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) dvou stěn v čtyřstěnu.
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímky \(EC\) od roviny \(BGD\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom mohli zjistit odchylku \(\varphi\) přímky \(EC\) od roviny \(BGD\), musíme znát normálový vektor roviny a směrový vektor přímky.
Pro směrový vektor přímky platí:
\[\overrightarrow{CE}=(-4;-4;4)\] Normálový vektor roviny \(BGD\) určíme pomocí vektorového součinu směrových vektorů \(\overrightarrow{BD}=(-4;4;0)\), \(\overrightarrow{BG}=(0;4;4)\).
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{BGD}}&=&\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BG}\\
&=&(4\cdot 4-0\cdot 4;0\cdot 0-(-4)\cdot 4;(-4)\cdot 4-4\cdot 0)\\
&=&(16;16;-16)\end{eqnarray*}\] Můžeme nahlédnout:
\[\overrightarrow{n_{BGD}}=k\cdot\overrightarrow{CE}\mbox{, kde }k=-4\] Vektory \(\overrightarrow{n_{BGD}}\), \(\overrightarrow{CE}\) jsou tedy navzájem rovnoběžné, tj. normálový vektor roviny je rovnoběžný s přímkou \(EC\). Protože normálový vektor roviny je kolmý na danou rovinu, tak platí:
\[\varphi=90^\circ\]
Syntetické početní řešení
Přímkou \(EC\) proložíme rovinu \(ACG\), která je kolmá na rovinu \(BGD\). Průnikem rovin \(ACG\), \(BGD\) je přímka \(SG\), kde bod \(S\) je střed úhlopříčky \(BD\).
Odchylka \(\varphi\) přímky \(EC\) od roviny \(BGD\) je tedy rovna odchylce přímek \(EC\), \(SG\). Odchylka odpovídá velikosti úhlu \(EPG\) (označme jej \(\varphi\)),
kde \(P\) je průsečík přímek \(EC\), \(SG\).
Velikosti úhlů \(GEP\), \(EGP\) lze snadno vypočítat, proto k zjištění odchylky \(\varphi\) využijeme součet velikostí úhlů v trojúhelníku.
Velikost úhlu \(GEP\) zjistíme z trojúhelníku \(ECG\) pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle GEP)=\frac{|CG|}{|EG|}=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow |\angle GEP|\doteq35^\circ 16^{'}\] Velikost úhlu \(EGP\) zjistíme z trojúhelníku \(S_{EG}SG\) též pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle EGP)=\frac{|S_{EG}S|}{|S_{EG}G|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow |\angle EGP|\doteq54^\circ 44^{'}\] Z vlastnosti součtu velikostí úhlů v trojúhelníku, jenž musí být roven \(180^\circ\), dostáváme odchylku \(\varphi\):
\[\varphi=180^\circ-|\angle EGP|-|\angle GEP|=180^\circ-54^\circ 44^{'}-35^\circ 16^{'}\] \[\varphi=90^\circ\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; S\mbox{ je střed úsečky }AC \)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow o; o\perp AC \wedge A\in o\)
\(\mbox{4) } \leftrightarrow p; p\perp AC \wedge C\in p\)
\(\mbox{5) } k; k(C,|AB|)\)
\(\mbox{6) } l; l(A,|AB|)\)
\(\mbox{7) } E; E\in l\cap o \)
\(\mbox{8) } G; G\in k\cap p\wedge G\in\mbox{ polorovině } ACE\)
\(\mbox{9) } P; \overline{EC}\cap\overline{SG} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(EPG\), jež odpovídá odchylce \(\varphi\) přímky \(EC\) od roviny \(BGD\).
Je dán pravidelný šestiboký jehlan \(ABCDEFV\) s podstavou \(ABCDEF\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete odchylku roviny podstavy jehlanu od přímky \(AS_{FV}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný šestiboký jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom mohli zjistit odchylku \(\varphi\) přímky \(AS_{FV}\) od roviny podstavy musíme znát normálový vektor roviny a směrový vektor přímky.
Pro směrový vektor přímky \(AS_{FV}\) platí:
\[\overrightarrow{AS_{FV}}=(3;\sqrt{3};3)\] Normálový vektor roviny podstavy určíme pomocí vektorového součinu směrových vektorů \(\overrightarrow{AF}=(2;2\sqrt{3};0)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;-2\sqrt{3};0)\).
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{podstava}}&=&\overrightarrow{AF}\times\overrightarrow{AB}\\
&=& \Big(2\sqrt{3}\cdot 0-0\cdot (-2\sqrt{3});0\cdot 2-2\cdot 0;2\cdot (-2\sqrt{3})-2\sqrt{3}\cdot 2\Big)\\
&=& (0;0;-8\sqrt{3})\sim (0;0;1)\end{eqnarray*}\] Nyní již pomocí vztahu pro odchylku přímky od roviny vypočteme hledanou odchylku:
\[\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{n_{podstava}}\cdot\overrightarrow{AS_{FV}}|}{|\overrightarrow{n_{podstava}}||\overrightarrow{AS_{FV}}|}=\frac{|(0;0;1)\cdot(3;\sqrt{3};3)|}{|(0;0;1)|\cdot|(3;\sqrt{3};3)|}\] \[\sin\varphi=\frac{|3|}{1\cdot\sqrt{21}}=\frac{3}{\sqrt{21}}\Rightarrow\varphi\doteq 40^\circ 54^{'}\]
Syntetické početní řešení
Pravoúhlým průmětem bodu \(S_{FV}\) do podstavy je bod \(P\), který je středem úsečky \(FS\).
Poloha bodu \(P\) vyplývá z vlastností středních příček v tojúhelníku \(FSV\). Pravoúhlým průmětem přímky
\(AS_{FV}\) je tedy přímka \(AP\).
Odchylka přímky \(AS_{FV}\) od roviny podstavy odpovídá odchylce přímek \(AS_{FV}\), \(AP\). Hledáme tedy nyní velikost úhlu \(S_{FV}AP\).
K výpočtu využijeme trojúhelník \(S_{FV}AP\). Z vlastností středních příček trojúhelníku \(FSV\) plyne:
\[|FP|=|PS|\quad\mbox{ a }\quad|PS_{FV}|=\frac{1}{2}|SV|\] Odchylku \(\varphi\) můžeme tedy vypočítat pomocí goniometrické funkce tangens v trojúhelníku \(S_{FV}AP\), kde \(|AP|\) odpovídá délce výšky v rovnostranném trojúhelníku \(AFS\):
\[\tan\varphi=\frac{|S_{FV}P|}{|AP|}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 40^\circ 54^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) pravidlený šestiúhelník } ABCDEF; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; \overline{AD}\cap\overline{CF}=\{S\}\)
\(\mbox{3) } \triangle ASV\mbox{ dle věty }sus; |SV|=6\mbox{ cm}, |\angle ASV|=90^\circ\)
\(\mbox{4) } \triangle EDV^{'}\mbox{ dle věty }sss; |EV^{'}|=|DV^{'}|=|AV|\)
\(\mbox{5) } S_{V^{'}E}; S_{V^{'}E}\mbox{ je středem strany }V^{'}E\)
\(\mbox{6) } k; k(A,|S_{V^{'}E}D|)\)
\(\mbox{7) } l; l(E,|S_{V^{'}E}D|)\)
\(\mbox{8) } S_{FV}; S_{FV}\in l\cap k \)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{FV}AE\), jež odpovídá odchylce přímky \(AS_{FV}\) od roviny podstavy.
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete odchylku přímky \(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Abychom mohli zjistit odchylku přímky \(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\), musíme znát normálový vektor roviny a směrový vektor přímky.
Pro směrový vektor přímky platí:
\[\overrightarrow{AS_{BF}}=(4;0;2)\sim (2;0;1)\] Normálový vektor roviny \(EFG\) můžeme určit buď pomocí vektorového součinu směrových vektorů roviny, nebo z vlastností krychle. My jej určíme na základě kolmosti roviny \(EFG\) k bočním hranám krychle.
Pro normálový vektor tedy platí:
\[\overrightarrow{n_{EFG}}=(0;0;-4)\sim (0;0;1)\] Nyní již pomocí vztahu pro odchylku přímky od roviny vypočteme hledanou odchylku:
\[\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{AS_{BF}}\cdot\overrightarrow{n_{EFG}}|}{|\overrightarrow{AS_{BF}}||\overrightarrow{n_{EFG}}|}=\frac{|(2;0;1)\cdot(0;0;1)|}{|(2;0;1)|\cdot|(0;0;1)|}\] \[\sin\varphi=\frac{|1|}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot\sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické početní řešení
Posunutím přímky \(AS_{BF}\) o vektor \(S_{BF}F\) získáme přímku \(S_{AE}F\). Odchylka přímky
\(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\) odpovídá odchylce přímky \(S_{AE}F\) od roviny \(EFG\).
Odchylka je tedy rovna velikosti úhlu \(S_{AE}FE\), kterou zjistíme pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|ES_{AE}|}{|EF|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 26^\circ 34^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AE}; S_{AE}\mbox{ je střed strany }AE\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{AE}FE\), jež odpovídá odchylce přímky \(AS_{BF}\) od roviny \(EFG\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete odchylku roviny \(BS_{CV}D\) od přímky \(SV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Převedeme odchylku přímky od roviny na odchylku dvou přímek. Těmito přímkami jsou přímky \(SV\), \(SS_{CV}\).
Přímka \(SS_{CV}\) je kolmým průmětem přímky \(SV\) do roviny \(BS_{CV}D\). Přímku \(SS_{CV}\) jsme
získali proložením přímky \(SV\) rovinou \(ACV\). Rovina \(ACV\) je kolmá k rovině \(BS_{CV}D\).
Pro směrové vektory přímek \(SV\), \(SS_{CV}\) platí:
\[\overrightarrow{SV}=(0;0;6)\sim (0;0;1)\quad\mbox{ a }\quad\overrightarrow{SS_{CV}}=(1;1;3)\] Určíme odchylku \(\varphi\) těchto přímek, čímž dostaneme odchylku přímky \(SV\) od roviny \(BS_{CV}D\):
\[\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{SV}\cdot\overrightarrow{SS_{CV}}|}{|\overrightarrow{SV}||\overrightarrow{SS_{CV}}|}=\frac{|(0;0;1)\cdot (1;1;3)|}{|(0;0;1)|\cdot|(1;1;3)|}=\frac{|1\cdot 3|}{1\sqrt{1+1+9}}=\frac{3}{\sqrt{11}}\Rightarrow\varphi\doteq 25^\circ 14^{'}\]
Syntetické početní řešení
Odchylka přímky \(SV\) od roviny \(BS_{CV}D\) odpovídá odchylce přímky \(SV\) od jejího kolmého průmětu
do roviny \(BS_{CV}D\). Kolmým průmětem přímky do roviny je přímka \(SS_{CV}\). Přímku \(SS_{CV}\) jsme
získali proložením kolmé roviny \(ACV\) k rovině \(BS_{CV}D\) přímkou \(SV\). Přímka \(SS_{CV}\) je tedy průnikem rovin
\(ACV\), \(BS_{CV}D\).
Odchylku přímek \(SV\), \(SS_{CV}\) určíme pomocí doplňkového úhlu \(S_{CV}SC\) do pravého úhlu. Velikost úhlu \(S_{CV}SC\)
vypočítáme z trojúhelníku \(SS_{CV}X\), kde bod \(X\) je kolmým průmětem bodu \(S_{CV}\) do podstavy jehlanu. Ze středních příček trojúhelníku \(SCV\) plyne:
\[|SX|=|XC|\quad\wedge\quad|S_{CV}X|=\frac{1}{2}|SV|\] Pro velikost úhlu \(S_{CV}SX\) platí:
\[\tan(S_{CV}SX)=\frac{|S_{CV}X|}{|SX|}=\frac{\frac{1}{2}|SV|}{\frac{1}{4}|AC|}=\frac{3}{\sqrt{2}}\Rightarrow \varphi\doteq 64^\circ 46^{'}\] Pro velikost úhlu \(VSS_{CV}\) platí:
\[|\angle VSS_{CV}|=90^\circ-|\angle S_{CV}SX|=90^\circ-64^\circ 46^{'}=25^\circ 14^{'}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; S\mbox{ je průsečíkem úhlopříček ve čtverci }ABCD\)
\(\mbox{3) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{4) } V; V\in SD\cap k \)
\(\mbox{5) } S_{CV}; S_{CV}\mbox{ je středem úsečky }CV\)
Provedením konstrukce jsme získali velikost úhlu \(S_{CV}SV\), čímž jsme dostali odchylku přímky \(SV\) od roviny \(BS_{CV}D\).
