|
|
Poznámky k zápočtovým testůmTabulka úspěšnosti testů
| TEST | psalo studentů | Počet bodů
| | 25-30 | 20-24 | 15-19 | 10-14 | 5-9 | 0-4
| | Test 1, Kruh 3 | 18 | 0 | 5 | 4 | 5 | 2 | 2
| | Test 1, Kruh 4 | 17 | 4 | 2 | 5 | 5 | 1 | 0
| | Test 2, Kruh 3 | 18 | 10 | 3 | 2 | 2 | 0 | 1
| | Test 2, Kruh 4 | 17 | 7 | 4 | 1 | 3 | 1 | 1
| | Test 3, Kruh 3 | 16 | 1 | 7 | 4 | 4 | 0 | 0
| | Test 3, Kruh 4 | 15 | 2 | 4 | 2 | 2 | 3 | 0
|
| Počet bodů po druhém testu
| | 50-60 | 40-49 | 30-39 | 20-29 | 10-19 | 0-9
| | Kruh 3 | 0 | 10 | 3 | 3 | 2 | 0
| | Kruh 4 | 6 | 2 | 4 | 2 | 2 | 0
|
| Počet bodů po třetím testu
| | 80-90 | 70-79 | 60-69 | 50-59 | 40-49 | 30-39 | <30
| | Kruh 3 | 0 | 4 | 2 | 4 | 5 | 2 | 1
| | Kruh 4 | 1 | 5 | 2 | 4 | 4 | 2 | 2
|
Udělování zápočtů - výsledky
Kruh 3:
- 11 studentů splnilo postačující podmínku pro zápočet (alespoň 21 účastí a 50 bodů z testů),
ti mají zapsán zápočet.
- 2 studenti splnili nutnou podmínku pro zápočet, nikoli postačující podmínku a chybějící body
nahradili dobrovolnými domácími úkoly během semestru. Ti mají zapsaný zápočet.
- 2 studenti splnili nutnou podmínku pro zápočet, nikoli postačující podmínku a pro získání zápočtu
musí správně vyřešit individuální domácí úkol.
- 1 student nesplnil nutnou podmínku pro zápočet (ze tří testů získal méně než 40 bodů).
- 2 studenti nedorazili na třetí test bez udání důvodu. Tito nesplnili nutnou podmínku pro zápočet
(po dvou testech měli méně než 40 bodů, na třetí test nedorazili).
Kruh 4:
- 9 studentů splnilo postačující podmínku pro zápočet (alespoň 21 účastí a 50 bodů z testů),
ti mají zapsán zápočet.
- 1 student splnil nutnou podmínku pro zápočet, nikoli postačující podmínku a chybějící body
nahradil dobrovolnými domácími úkoly během semestru. Též má zapsaný zápočet.
- 3 studenti splnili nutnou podmínku pro zápočet, nikoli postačující podmínku a pro získání zápočtu
musí správně vyřešit individuální domácí úkoly.
- 2 studenti nesplnili nutnou podmínku pro zápočet (ze tří testů získali méně než 40 bodů).
- 2 studenti nedorazili na třetí test bez udání důvodu. Tito nesplnili nutnou podmínku pro zápočet
(po dvou testech měli méně než 40 bodů, na třetí test nedorazili).
Test 3, Kruh 3
Řešení a orientační bodování testu
Poznámky k odevzdaným řešením:
- Test psalo 16 studentů. Z toho jeden psal test na cvičení kruhu 4, tedy test určený pro kruh 3 psalo 15
studentů.
- Z prvního příkladu 7 studentů získalo 10 bodů, 7 studentů 6-8 bodů, 1 student 0 bodů. Chyby byly spíše drobnějšího
charakteru (až na onoho studenta, který v tomto příkladu nespočítal nic).
- Z druhého příkladu 5 studentů získalo 8-10 bodů, 2 studenti 6 bodů, 7 studentů 2-4 body a 1 student 0 bodů.
- Z třetího příkladu 4 studenti získali 10 bodů, 4 studenti 6-8 bodů, 6 studentů 2-4 body a 1 student 0 bodů.
Test 3, Kruh 4
Poznámky k odevzdaným řešením:
- Test psalo 15 studentů z kruhu 4 a jeden student z kruhu 3, celkem tedy 16 studentů.
- Z prvního příkladu 3 studenti získali 10 bodů, 4 studentů 7-9 bodů, 4 studenti 4-6 bodů 5 studentů 0-2 body.
- Třebaže příklad byl zcela standardní, několik studentů netušilo, co s ním provést. To nedokážu více
komentovat.
- K častým chybám patřily chyby ve znaménku (při použití věty o substituci pro určitý integrál nebo při
integraci některých z parciálních zlomků).
- Z druhého příkladu 3 studenti získali 10 bodů, 5 studentů 7-9 bodů, 2 studentů 4-5 bodů a 4 student 0-2 body.
K chybám patřilo mj. chybné počítání limit, což je oblast, v níž už se předpokládá jistá zručnost.
- Z třetího příkladu 4 studenti získali 9-10 bodů, 4 studenti 6-7 bodů, 5 studentů 4-5 bodů a 3 student 1-3 body.
K častým chybám patřilo:
- Někteří studenti si neuvědomili, že obor platnosti vzorce pro derivaci podle x se liší
od oboru platnosti vzorce pro derivaci podle y, a uváděli jako společnou množinu průnik těchto
oborů.
- Někteří studenti si neuvědomili, kdy přesně je x.sin|x|=0 (nebo x.cos|x|=0). Buď trvrdili,
že pouze v nule, nebo že nikdy.
- Asi dva studenti počítali, jako by limita funkce sgn(x) v nule byla nula. To není pravda, funkce
sgn není v nule spojitá.
Řešení a orientační bodování testu
Test 2, Kruh 3
Řešení a orientační bodování testu
Poznámky k odevzdaným řešením:
- Test psalo 18 studentů. Z toho jeden psal test na cvičení kruhu 4, tedy test určený pro kruh 3 psalo 17
studentů.
- Z prvního příkladu 3 studenti získali 10 bodů, 6 studentů 8-9 bodů, 4 studenti 5-6 bodů a 4 studenti 0-2 body.
- Nejsnazší postup řešení byl s využitím Eulerovy substituce, využilo ho 8 studentů. Z nich 7 získalo 8-10 bodů.
K nejčastějším chybám patřilo opomenutí určení příslušných intervalů, případně chyby v jejich výpočtu. Jeden student výpočet nedokončil
a získal 6 bodů.
- Dva studenti se příklad pokoušeli řešit pomocí hyperbolických funkcí. To je přípustný postup,
byť jsme se mu na cvičení nevěnovali. Jeho správná verze je uvedena mezi alternativami řešení.
Nicméně tito dva studenti substituci neprovedli správně případně nedopočítali. Získali 5 resp. 2 body.
- 4 studenti použili substituci y=√((x-2)/(x+2)) resp. y=√((x-3)/(x+3)).
To je možné řešení, ale početně náročnější, protože vyjde složitější racionální funkce. Dva získali 8 bodů - postupovali
zcela správně, jen výpočet nedokončili. Dva získali 5-6 bodů - kromě toho, že výpočet nedokončili, měli v něm další chyby.
- 2 studenti první příklad neřešili, jeden se pokusil použít zcela nesmyslnou substituci.
- Druhý příklad byl standardní parciální zlomek. 13 studentů ho řešilo správně, získali 8-10 bodů. Chyby byly
buď numerické, případně opomenutí intervalu existence. 3 studenti příklad neřešili a jeden student uvedl jen
samotný začátek výpočtu (získal 1 bod).
- Za třetí příklad 16 studentů získalo 8-10 bodů. K chybám patřilo: opomenutí výpočtu poloměru konvergence
nebo podivný výpočet, opomenutí součtu v bodě x=0, chyba v integraci funkce 1/(1-x) - primitivní funkce
je -ln(1-x). Jeden student získal 3 body - nedokázal správně sečíst geometrickou řadu ani zintengrovat funkci x2/(1-x).
Test 2, Kruh 4
Řešení a orientační bodování testu
Poznámky k odevzdaným řešením:
- Test psalo 16 studentů z kruhu 4 a jeden student z kruhu 3, celkem tedy 17 studentů. Navíc jeden student
z kruhu 4 psal test na jiném cvičení.
- Z prvního příkladu 6 studentů získalo 10 bodů, 5 studentů 8-9 bodů, jeden student 4 body a 5 studentů 0-2 body.
- 8 studentů použilo standardní postup, z nich 7 získalo 8-10 bodů. Chyby byly numerické případně podivný
zápis substituce. Jeden student získal 4 body. Použil sice standardní substituci, ale krkolomným způsobem
a s chybou, takže mu nevyšla racionální funkce.
- 5 studentů začal0 substitucí x=sin(t). Jeden provedením substituce skončil a získal 2 body.
Čtyři následně (téměř) správně použili substituci y=tg(t/2) a dopočítali, získali 8-10 bodů.
- 4 studenti prováděli nikam nevedoucí úpravy či substituce, místy zcela nesmyslní. Získali 0-1 bod.
- Z druhého příkladu 10 studentů získalo 10 bodů, 2 získali 8-9 bodů (chybějící interval existence či numerické
chyby při výpočtu), 4 získali 5-6 bodů (špatné derivování, nesrozumitelný či chybějící závěr)
a jeden nula bodů (naprosto nesmyslné počítání).
- Z třetího příkladu 11 studentů získalo 8-10 bodů. Mezi chyby patřilo špatné derivování funkce 1/(1-x)
(derivace je 1/(1-x)2), podivné zacházení s bodem x=0, který žádné speciální zacházení
nepotřebuje, ne zcela správná práce se sčítacími indexy, ne zcela správný výpočet poloměru konvergence.
6 studentů získalo 0-4 body. Některým větší část řešení chyběla, někteří špatně používali větu o derivaci
mocninné řady.
Test 1, Kruh 3
Řešení a orientační bodování testu
Poznámky k odevzdaným řešením:
- Test psalo 18 studentů.
- První příklad byl snadný - 9 studentů získalo 10 bodů (plný počet), 5 studentů získalo 7-9 bodů, 4 studenti získali 0-2 body. K závažným chybám patřilo
špatné derivování, nesmyslná práce s Taylorovými rozvoji a systematicky špatné uvádění zbytků.
- Druhý příklad téměř spočítali dva studenti (získali 7 a 6 bodů) - neověřili kladnost základu. Jeden student získal 4 body - ten měl dobré nápady, které
by mohly vést k řešení (viz třetí varianta řešení), nicméně nebyly dotaženy do konce. Zbylých 15 studentů získalo 0-3 body. K častým chybám:
- Derivace funkce ln|x| je 1/x, ne 1/|x|. To víme například z počítání primitivních funkcí, nebo z věty o derivaci složené funkce
- derivace vyjde 1/|x|.sgn(x)=1/x.
- Limita ln(x)/(x-1) je rovna 1 pro x−>1, ne pro x−>0.
- Definice obecné mocniny je ab=exp(b.ln(a)), nikoli ab=exp(b.a)
- Derivace cosh(x2) je sinh(x2).2x, nikoli sinh(x2).2 nebo
2.cosh(x2).sinh(x2)
- Z třetího příkladu 3 studenti získali 10 bodů, 5 studentů 7-8 bodů a ostatní 0-4 body.
K častým chybám:
- Někteří zřejmě vůbec nevěděli, co s tím, což je překvapivé, neboť je to přímá analogie příkladu IV/10 ze cvičení.
- Někteří udělali jen první krok (viz první varianta řešení), takže výsledkem nebyla mocninná řada o středu 1.
- Někteří druhý krok udělali, ale nedotáhli. Například řady opět sečetli bez patřičného posunu indexu, čímž se
dostali zpět k výsledku prvního kroku.
Test 1, Kruh 4
Řešení a orientační bodování testu
Poznámky k odevzdaným řešením:
- Test psalo 17 studentů.
- První příklad: 6 studentů získalo 10 bodů (plný počet), zbylých 11 studentů 1-5 bodů.
K častým chybám:
- Někteří při použití l'Hospitalova pravidla špatně počítali derivaci, například za derivaci konstantní funkce
považovali onu konstantu, nikoli nulu, jak by bylo správné.
- Někteří používali neplatné vzorce pro úpravy exponenciály. Konkrétně platí exp(a+b)=exp(a).exp(b),
ale nikoli exp(a.b)=exp(a)+exp(b).
- Někteří neověřovali předpoklady l'Hospitalova pravidla, nebo dokonce tvrdili, že jde o limitu typu něco/nekonečnem.
- Někteří dělali chyby v úpravách výrazů, např. při převádění na společného jmenovatele.
- Někteří nejprve provedli substituci y=1/x, což sice není chyba, ale je to zcela zbytečné, výpočet
to nijak neusnadní.
- Někteří se snažili rozvinout funkci (1-x)1/x (resp. (1+x)2/x)
do Taylorova polynomu o středu nula. To je legitimní postup, na cvičení jsme to dělali při řešení příkladů II/5,16;
je však třeba vytknout 1/e (resp. e2) tak, jak jsme to dělali na cvičení a jak je
to uvedeno v řešení.
- Objevilo se i tzv. částečné limitění, tj. nijak nezdůvodněné nahrazení jakési části nějakého výrazu její limitou,
což je častá chyba v prvním semestru.
- Druhý příklad byl velmi snadný, 7 studentů získalo 10 bodů, 8 studentů získalo 6-8 bodů, 2 studenti získali 1-2 body.
K častým chybám patřilo:
- Špatné derivování (nedůsledné derivování složené funkce, znaménko derivace funkce arccos).
- Špatné použití známé limity ln(x)/(x-1). Tato limita je rovna 1 pro x−>1, ne pro x−>0.
Navíc, limita ln(x)/(1-x) pro x−>1 je -1, nikoli 1.
- Použití špatného vztahu mezi arcsin a arccos, platí arccos(x)=π/2-arcsin(x),
nikoli arccos(x)=π/2+arcsin(x).
- Třetí příklad: 4 studenti získali 10 bodů, dva získali 6-7 bodů, 7 studentů získalo 4-5 bodů, 4 studenti získali 0 bodů.
K častým chybám:
- Poloměr konvergence je nezáporné číslo nebo +∞, rozhodně ne i, 1/i nebo něco podobného.
Při jeho výpočtu se počítá n-tá odmocnina z absolutní hodnoty an.
- Někteří neuvedli žádný výpočet poloměru konvergence, jen vzorec a výsledek.
- Někteří na kružnici nevyšetřovali absolutní konvergenci.
- K předpokladům Dirichletova kritéria patří monotonie příslušné posloupnosti.
- Onen bod na kružnici, který se liší (a kde řada diverguje) není z=1, ale ten, který splňuje
-iz=1 (resp. iz=1), tj. z=i (resp. z=-i).
|
