Stisknutím ESC nebo kliknutím na obrázek se vrátíte zpět
Úlohy II
Úloha 4.9.1
Vypočtěte objem V_j pravidelného osmibokého jehlanu KLMNOPQRV. Podstavná hrana jehlanu měří a = 8,3 cm a výška v jehlanu je 14,6 cm. Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa.
Obrázek 4.9.1: Ilustrace k úloze 4.9.1
Pro objem V_j jehlanu platí: V_j = \frac{1}{3} S_pv. Výšku v jehlanu známe: v = 14,6 cm.
Obsah podstavy S_p jehlanu je roven obsahu pravidelného osmiúhelníku KLMNOPQR. Pravidelný osmiúhelník rozložíme na osm shodných rovnoramenných trojúhelníků (obr. 4.9.1): S_p = 8 \cdot \frac{a\ \cdot\ v_a}{2}. Je třeba vypočítat v_a.
Z \triangle S_{KL}LP_v vyjádříme v_a; v_a = \cot 22,5° \cdot \frac {a}{2} \doteq 2,414 \cdot 4,150 m \doteq 10,018 m.
Dosadíme do vzorce pro výpočet objemu jehlanu: V = \frac{1}{3} S_pv = \frac{1}{3} \cdot 332,598 \cdot 14,6 cm^3 \doteq 1~618,64 cm^3.
Objem V_j pravidelného osmibokého jehlanu KLMNOPQRV je po zaokrouhlení 1~618,64 cm^3.
Úloha 4.9.2
Vypočtěte povrch S šestibokého jehlanu A_1A_2A_3A_4A_5A_6V, jehož podstava je vepsána do obdélníku OPQR o rozměrech x = 14 m a y = 12 m (obr. 4.9.2). Podstava A_1A_2A_3A_4A_5A_6 je osově souměrná podle osy A_3A_6. Znáte |OA_1| = 4 m, |A_1 A_2| = 6 m, |A_2 P| = 4 m, |P A_3| = 6 m a |A_3 Q| = 6 m. Bod T je těžištěm podstavy a současně patou tělesové výšky a také středem obdélníku OPQR. Výška v_a trojúhelníku A_1A_2V je zároveň těžnicí t_a tohoto trojúhelníku a měří 12 m. Výška v_b trojúhelníku A_2A_3V měří 11,91 m. Výsledek zaokrouhlete na dvě desetinná místa.
Obrázek 4.9.2: Ilustrace k Úloze 4.9.2
Pro povrch S jehlanu platí: S = S_p + S_{pl}.
Obsah podstavy S_p jehlanu je roven obsahu šestiúhelníku A_1A_2A_3A_4A_5A_6, který vypočítáme tak, že od obsahu S_1 obdélníku OPQR odečteme součet čtyř obsahů pravoúhlých trojúhelníků (obr. 4.9.2): \triangle OA_1A_6, \triangle A_2PA_3, \triangle A_3QA_4 a \triangle A_5RA_6.
Pro obsah S_1 obdélníku OPQR platí: S_1 = xy = 14 \cdot 12 m^2 = 168 m^2.
Jelikož se obsahy pravoúhlých trojúhelníků OA_1A_6, A_2PA_3, A_3QA_4 a A_5RA_6 rovnají, stačí vypočítat obsah jednoho z nich: S_{\triangle A_1A_6O} = \frac{|OA_1|\ \cdot\ |OA_6|}{2} = \frac{4\ \cdot\ 6}{2} m^2 = 12 m^2.
Plášť tohoto jehlanu je složen ze šesti trojúhelníků. Trojúhelník A_1A_2V je rovnoramenný, protože v_a = t_a. Jelikož je podstava A_1A_2A_3A_4A_5A_6 osově souměrná podle osy A_3A_6, platí: \triangle A_1A_2V \cong \triangle A_4A_5V. Zbylé čtyři trojúhelníky A_2A_3V, A_3A_4V, A_5A_6V a A_6A_1V jsou shodné podle věty sss: \triangle A_2A_3V \cong \triangle A_3A_4V \cong \triangle A_5A_6V \cong \triangle A_6A_1V.
Pro obsah \triangle A_1A_2V platí: S_{\triangle A_1A_2V} = \frac{a\ \cdot\ v_a}{2} = \frac{6\ \cdot\ 12}{2} m^2 = 36 m^2.
Pro obsah \triangle A_2A_3V platí: S_{\triangle A_2A_3V} = \frac{b\ \cdot\ v_b}{2}. Základnu tohoto \triangle A_2A_3V vypočítame z Pýthagorovy věty pomocí pravoúhlého trojúhelníku A_2A_3P: b = \sqrt{|A_2 P|^2 + |P A_3|^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} m \doteq 7,211 m. Tedy S_{\triangle A_2A_3V} = \frac{b\ \cdot\ v_b}{2} = \frac{7,211\ \cdot\ 11,91}{2} m^2 \doteq 42,942 m^2.
Obsah pláště S_{pl} je roven součtu obsahů všech jeho bočních stěn a platí: S_{pl} = 2S_{\triangle A_1A_2V} + 4S_{\triangle A_2A_3V} = 2 \cdot 36 m^2 + 4 \cdot 42,942 m^2 = 243,768 m^2.
Dosadíme do vzorce pro výpočet povrchu S jehlanu: S = S_p + S_{pl} = 120 m^2 + 243,768 m^2\doteq 363,77 m^2.
Povrch S šestibokého jehlanu A_1A_2A_3A_4A_5A_6V je po zaokrouhlení 363,77 m^2.
Úloha 4.9.3
Určete délku x boční hrany čtyřstěnu XYZV. Podstavou čtyřstěnu je rovnostranný \triangle XYZ o straně délky a = 10 dm. Odchylka hrany čtyřstěnu a roviny podstavy je \alpha = 60°. Pata výšky čtyřstěnu leží v těžišti podstavy v bodě T. Body S_{XZ}, S_{YZ} jsou středy příslušících stran trojúhelníku. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
Obrázek 4.9.3: Ilustrace k úloze 4.9.3
Pro výpočet délky x boční hrany čtyřstěnu budeme vycházet z pravoúhlého \triangle XTV. Nyní potřebujeme vypočítat délku základny XS_{YZ} trojúhelníku \triangle XS_{YZ}V.
Při určení délky základny, která je zároveň těžnicí rovnostranného \triangle XYZ o straně délky a = 10 dm, vycházíme například z pravoúhlého \triangle XYS_{YZ} a vypočítáme ji pomocí Pýthagorovy věty: |XS_{YZ}| = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} dm \doteq 8,66 dm (obr. 4.9.3).
Pro určení délky boční hrany x čtyřstěnu XYZV vycházíme z pravoúhlého \triangle XTV a platí: x = \frac{|XT|}{\cos 60°} = \frac{5,77}{\cos 60°} dm \doteq 11,5 dm.
Délka boční hrany x čtyřstěnu XYZV je po zaokrouhlení 11,5 dm.
Úloha 4.9.4
Vypočtěte objem V a povrch S pravidelného pětibokého komolého jehlanu ABCDEFGHIJ. Délka hrany dolní podstavy a_1 = 10 cm, délka hrany horní podstavy a_2 = 5,11 cm a délka boční hrany pravidelného pětibokého komolého jehlanu l = 7,3 cm. Výsledek zaokrouhlete na jedno desetinné místo.
Obrázek 4.9.4: Ilustrace k úloze 4.9.4
Pro objem V komolého jehlanu platí: V=\frac{1}{3}(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)v. Potřebujeme vypočítat obsah S_1 dolní podstavy, obsah S_2 horní podstavy a jeho výšku v. Bod T_1 je těžištěm dolní podstavy; bod T_2 je těžištěm horní podstavy.
Obsah S_1 dolní podstavy tohoto komolého jehlanu je roven obsahu pravidelného pětiúhelníku o straně a_1 = 10 cm. Pravidelný pětiúhelník rozložíme na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků (obr. 4.9.4); S_{\triangle BCT_1} = \frac{a_1 v_{a_1}}{2}. Z \triangle BS_{BC}T_1 vyjádříme v_{a_1}; v_{a_1} = \cot 36° \cdot \frac {a_1}{2} \doteq \cot 36° \cdot 5 cm \doteq 6,88 cm. Tedy S_{\triangle BCT_1} = \frac{10\ \cdot\ 6,88}{2} cm^2 \doteq 34,40 cm^2. Tudíž S_1 = 5 \cdot 34,40 cm^2 \doteq 172,00 cm^2.
Obsah S_2 horní podstavy tohoto komolého jehlanu je roven obsahu pravidelného pětiúhelníku o straně a_2 = 5,11 cm. Pravidelný pětiúhelník rozložíme na pět shodných rovnoramenných trojúhelníků; S_{\triangle GHT_2} = \frac{a_2 v_{a_2}}{2}. Z \triangle GS_{GH}T_2 vyjádříme v_{a_2}; v_{a_2} = \cot 36° \cdot \frac {a_2}{2} \doteq \cot 36° \cdot 2,56 cm \doteq 3,52 cm. Tedy S_{\triangle GHT_2} = \frac{5,11\ \cdot\ 3,52}{2} cm^2 \doteq 8,99 cm^2. Tudíž S_2 = 5 \cdot 8,99 cm^2 \doteq 44,95 cm^2.
Pro určení výšky v jehlanu vycházíme z pravoúhlého lichoběžníku T_1CT_2H; délku dolní základny T_1C tohoto lichoběžníku označíme jako |T_1C| = x_1; délku horní základny T_2H tohoto lichoběžníku označíme jako |T_2H| = x_2.
Pro určení délky x_1 vycházíme například z rovnoramenného trojúhelníku BCT_1, který rozdělíme podle jeho výšky (ta je zároveň těžnicí) na dva pravoúhlé trojúhelníky. Pravoúhlý \triangle S_{BC}CT_1 má při vrcholu T_1 úhel, pro který platí |\angle S_{BC}T_1C| = 36°. Pro x_1 platí: x_1 = \frac{\frac{a_1}{2}}{\sin 36°} \doteq 8,51 cm.
Pro určení délky x_2 vycházíme například z rovnoramenného trojúhelníku GHT_2, který rozdělíme podle jeho výšky (ta je zároveň těžnicí) na dva pravoúhlé trojúhelníky. Pravoúhlý \triangle S_{GH}HT_2 má při vrcholu T_2 úhel, pro který platí |\angle S_{GH}T_2H| = 36°. Pro x_2 platí: x_2 = \frac{\frac{a_2}{2}}{\sin 36°} \doteq 4,35 cm.
Pro určení výšky v tohoto komolého jehlanu vycházíme z pravoúhlého lichoběžníku T_1CT_2H; P_v je pata kolmice z bodu H k dolní základně x_1. Pro výšku jehlanu platí: |T_1T_2| = |P_vH| = v. Nyní vycházíme z pravoúhlého \triangle P_vHC a délku v vypočítáme pomocí Pýthagorovy věty; |P_vH| = v; |CH| = l = 7,3 cm; |P_vC| = x_1 - x_2 = 4,16 cm: v = \sqrt{l^2 - |P_vC|^2} = \sqrt{7,3^2 - 4,16^2} cm \doteq 6,00 cm.
Pro objem V komolého jehlanu platí V=\frac{1}{3}(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)v = \frac{1}{3}(172,00 + \sqrt{172,00 \cdot 44,95} + 44,95) \cdot 6,00 cm^3 \doteq 609,8 cm^3.
Pro povrch S komolého jehlanu platí S = S_1 + S_2 + S_{pl}. Plášť pravidelného pětibokého komolého jehlanu se skládá z pěti shodných rovnoramenných lichoběžníků. Bod P_{v_s} je patou výšky boční stěny tohoto komolého jehlanu. Vypočítáme obsah jednoho z nich, k tomu potřebujeme určit Pýthagorovou větou délku v_s výšky tohoto lichoběžníku; |P_{v_s}F| = v_s; |AF| = l = 7,3 cm; |P_{v_s}A| = \frac{a_1 - a_2}{2} \doteq 2,45 cm: v_s = \sqrt{l^2 - |P_{v_s}A|^2} = \sqrt{7,3^2 - 2,45^2} cm \doteq 6,88 cm. S_{ABFG} = a_1 \cdot v_s = 10 \cdot 6,88 cm^2= 68,80 cm^2.
Pro obsah pláště tohoto komolého jehlanu platí: S_{pl} = 5 \cdot S_{ABFG} = 5 \cdot 68,8 cm^2\doteq 344 cm^2.
Pro povrch tohoto komolého jehlanu platí: S = S_1 + S_2 + S_{pl} = 172,00 cm^2 + 44,95 cm^2+ 344 cm^2\doteq 561,0 cm^2.
Objem V pravidelného pětibokého komolého jehlanu ABCDEFGHIJ je po zaokrouhlení 609,8 cm^3 a povrch S pravidelného pětibokého komolého jehlanu ABCDEFGHIJ je po zaokrouhlení 561,0 cm^2.
