Linearni algebra a geometrie

NMAG102: Linearni algebra a geometrie 2, letni semestr 2013-2014

PREDNASEJICI

Jiri Tuma, St, Ct 15:40 - 17:10 v K1
Libor Barto, Ut 14:00 - 15:30 v M1, Ct 10:40 - 12:10 v K1

Konzultace po dohode (osobne nebo emailem)

web: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/LA1314leto.html
web zimniho semestru: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/LA1314zima.html

OZNAMENI

4.6. Diky za upozorneni na chyby a preklepy ve skriptech! Zatim nejzavaznejsi chyba byla v tvrzeni 9.74.bod(4) o Jordanove tvaru, kde misto spravneho "krome l koncovych" bylo "krome l pocatecnich".
15.5. Nize najdete blizsi informace o zkousce.
13.5. Prednaska L. Barta se v utery 20.5. nekona. Ctvrtecni prednaska bude, prednaset bude J. Tuma.
13.5. Termin odevzdani 11. DU se kvuli rektorskemu dni presouva na ctvrtek 15.5. 12:00
7.5. Podivejte se na ukazku pouziti komprese obrazku pomoci singularniho rozkladu na strance Andrewa Kozlika.
23.4. Byly vypsany terminy zkousek a termin opravne zapoctove pisemky. Pozor: 26.5. neni termin zkousky, jde o opravny zapoctovy test. 29.5. je zkouska ze zimniho semestru.
3.4. Pro reseni prvniho prikladu v 6. DU se pouzije tvrzeni o matici sdruzeneho operatoru, ktere jsme na prednasce jeste neprobrali. Podivejte se do skript.
3.4. Opravovani 4.DU se zpozdilo. Omlouvame se.
24.3. Na teto strance jsou informace o cviceni "LA2 pro pokrocile", konane na Male Strane. Jde o cviceni, ktere rozsiruje latku probiranou na (informatickych) prednaskach LA.
26.2. Zadani prvniho DU je v tabulce nize.
17.2. Vitejte v novem semestru!

OBSAH PREDNASKY

Linearni zobrazeni, jednoznacnost urceni na bazi, matice vzhledem k bazim. Skladani a invertovani. Typy linearnich zobrazeni (mono, epi, izo, endo, auto), jadro a obraz, kriteria pro mono, epi, izo. Prostor linearnich zobrazeni, linearni formy, radkovy pohled na reseni soustavy, reprezentace linearnich forem skalarnim soucinem.

Vlastni cisla a vektory, podobnost, charakteristicky polynom, algebraicka nasobnost. Diagonalizovatelne operatory, linearni nezavislost vlastnich vektoru, geometricka nasobnost, charakterizace diagonalizovatelnych operatoru. Reseni diferencnich a diferencialnich rovnic. Matice v Jordanove kanonickem tvaru, jejich mocneni, Jordanuv retizek, "jordanizovatelne" operatory. Linearni nezavislost zobecnenych vlastnich vektoru, iterovana jadra a obrazy operatoru, veta o Jordanove kanonickem tvaru. Invariantni podprostory. Sdruzene linearni zobrazeni, normalni, hermitovske, symetricke, pozitivne (semi)definitni, unitarni a ortogonalni operatory, spektralni vety, ortogonalni operatory v dimenzich 2 a 3. Singularni rozklad, singularni hodnoty, spektralni norma, aplikace.

Bilinearni forma, prislusna kvadraticka forma, matice vzhledem k bazi. Rozklad na symetrickou a antisymetrickou cast. Ortogonalni baze, metoda symetrickych uprav. Signatura (nad R), zakon setrvacnosti, pozitivne definitni formy. Ortonormalni diagonalizace.

Afinni prostor, afinni eukleidovsky prostor. Soustava souradnic, prechodove vztahy. Smysluplne linearni kombinace bodu. Barycentricke souradnice. Podprostory, parametricky, bodovy a rovnicovy popis. Afinni zobrazeni, vytvorene linearni zobrazeni, souradnicovy popis. Charakterizace izometrii.

Studijni materialy

Zapisky z prednasek (verze z 4.6.2014).
Primocare pocetni ulohy (verze z 14.5.2013), ulohy podobnych typu muzete cekat u testu na cvicenich.
Slajdy k prednasce pana Tumy (verze z 20.5.2014), 1 slajd na stranku, 2 slajdy na stranku, 4 slajdy na stranku.
Dalsi zdroje naleznete uplne dole

KALENDAR

Tyden Napln prednasek Domaci ukol Odevzdat do

1) 17.2 - 21.2 Linearni zobrazeni, matice - -

2) 24.2 - 28.2 Typy linearnich zobrazeni, linearni formy 1. DU 5.3. 15:30

3) 3.3 - 7.3 Vlastni cisla a vektory. Charakteristicky polynom 2. DU 12.3. 15:30

4) 10.3 - 14.3 Diagonalizovatelnost. 3. DU 19.3. 15:30

5) 17.3 - 21.3 Diagonalizovatelnost, Jordanuv tvar. 4. DU 26.3. 15:30

6) 24.3 - 28.3 Jordanuv tvar. 5. DU 2.4. 15:30

7) 31.3 - 4.4 Jordanuv tvar, unitarni diagonalizovatelnost. 6. DU 9.4. 15:30

8) 7.4 - 11.4 Unitarni diagonalizovatelnost. 7. DU 16.4. 15:30

9) 14.4 - 18.4 Unitarni diagonalizovatelnost. Singularni rozklad. 8. DU 23.4. 15:30

10) 21.4 - 25.4 Singularni rozklad. Bilinearni formy. 9. DU 30.4. 15:30

11) 28.4 - 2.5 Ortogonalni baze. (jen 1 prednaska) 10. DU 7.5. 15:30

12) 5.5 - 9.5 Ortogonalni baze. (jen 1 prednaska) 11. DU 15.5. 12:00

13) 12.5 - 16.5 Afinni prostor. Podprostory 12. DU 21.5. 12:00

14) 19.5 - 23.5 Afinni zobrazeni. - -

ZAPOCET

Na kazdem cviceni pocinaje 3. tydnem bude kratky test (cca 10 min) na primocary pocetni priklad
Dohromady 10 testu, pocita se 8 nejlepsich, na zapocet je potreba alespon 60% bodu
Zadne omluvy (ani nemoc apod.) se nepripousti (proto se pocita pouze 8 nejlepsich testu)
Jedina moznost opravy je jeden opravny termin na zacatku zkouskoveho obdobi
Opravny test bude obsahovat 9 prikladu, bude trvat 90 min. a bude sestaven z primocarych pocetnich prikladu, podobne jako testy na cvicenich. K ziskani zapoctu je treba alespon 60%, vysledky testu ze cviceni nehraji zadnou roli.
Termin opravneho testu je 26.5.2014 od 9:00 v K6. Hlaste se v SISu.

DOMACI UKOLY

Zadani naleznete v kalendari vzdy alespon 1 tyden pred odevzdanim
Termin odevzdani je vzdy ve stredu 15:30, misto odevzdani je schranka za vchodem na katedru algebry (preferuje se) nebo osobne
Dohromady 12 ukolu, pocita se 10 nejlepsich, body se pocitaji ke zkousce! Z jednoho DU je mozne dostat maximalne 15 bodu. Pocet bodu ke zkousce tedy bude roven vazenemu prumeru vysledku 10 nejlepsich ukolu.
Nekdy bude zadan tez bonusovy priklad. To je zpravidla tezsi priklad nad ramec pozadavku. Muzete jej odevzdat, ale reseni nebude mit vliv na vysledek DU.
Zadne omluvy (ani nemoc apod.) se nepripousti (proto se pocita pouze 10 nejlepsich DU)
Je mozne konzultovat reseni se spoluzaky apod. Reseni vsak vzdy musi byt psana samostatne a sepsane reseni se nesmi ukazovat spoluzakum. Pokus o podvod muze mit vazne nasledky.

FORMAT ZAPOCTU A DOMACICH UKOLU

Prvni odevzdanou praci podepiste jmenem a zvolte prezdivku (napr. jedinecne cislo, apod.), pod kterou budete uvedeni ve vysledcich domacich ukolu a zapoctovych testu nize. Dalsi prace podepisujte radeji svojim jmenem.
U domacich ukolu vzdy uvedte cislo kruhu. Budou vam totiz predavany opravene na vasich cvicenich.

VYSLEDKY

Body z DU a zapoctovych testu

ZKOUSKA

15% domaci ukoly, 85% pisemny test
Termin zkousky k prvnimu semestru: 29.5.2014 12:00 K1
Terminy zkousek: 5.6.2014 9:00 M1, 11.6.2014 9:00 K1, 26.6.2014 9:00 M1, 4.9.2014 9:00 K1, 18.9.2014 9:00 K1 Nutnou podminkou ucasti je zapocet. Zkouskova pisemka bude trvat 3 hodiny (180 min).
Blizsi informace o zkousce
- Na zkousku je potreba se hlasit nebo odhlasovat alespon 24h predem (nikoliv do pulnoci).
- Struktura zkouskovych pisemek bude jako v zimnim semestru:
  - 8 bodu: Jednoduche otazky Ano/Ne, netreba zduvodnovat
  - 12 bodu: Definice pojmu
  - 12 bodu: Jednoduche pocetni (nebo jine) priklady, kde staci spravna odpoved
  - 12 bodu: Pocetni priklady, kde je potreba psat postup
  - 9 bodu: Formulace jednodussich tvrzeni
  - 9 bodu: Dukazy jednodussich trvzeni
  - 16 bodu: Priklady na zamysleni. K vyreseni vetsiny z nich staci dobre rozumet pojmum a tvrzenim z prednasky a geometricky nazor.
  - 7 bodu: Formulace + dukaz tezsiho tvrzeni z prednasky. Muzeme vyzadovat dukazy pomocnych tvrzeni, dukaz jen nektere z implikaci, vyjadrit hlavni myslenku dukazu vlastnimi slovy, apod.
    - Charakterizace linearni zavislosti forem pomoci pruniku jader (veta 8.45)
    - Reprezentace linearnich forem skalarnim soucinem (veta 8.46)
    - Linearni nezavislost vlastnich vektoru prislusnych ruznym vlastnim cislum (veta 9.44)
    - Charakterizace diagonalizovatelnych operatoru (veta 9.51)
    - Cayley-Hamiltonova veta (veta 9.97)
    - Spektralni veta pro normalni operatory (veta 9.116)
    - Singularni rozklad (veta 9.133)
    - Existence ortogonalni baze pro symetricke bilinearni formy (veta 10.22)
    - Setrvacnost kvadratickych forem (veta 10.25)
    - Charakterizace pozitivne definitnich matic (veta 10.32)
- Celkove zastoupeni temat v pisemce (nikoliv v jednotlivych prikladech) bude zhruba odpovidat casu venovanemu tematum na prednasce.
- Z pisemky jde maximalne ziskat 85 bodu, k tomu se prictou body z DU, maximalne 15. Na trojku je potreba 55 bodu, na dvojku 70 bodu a na jednicku 85 bodu.
- Pripadne ustni zkouseni s moznou zmenou znamky jakymkoliv smerem (o jakoukoliv hodnotu)

DOPLNUJICI MATERIALY

Online kurzy. Napisete-li do vyhledavace heslo video lectures linear algebra, najdete radu odkazu

Nejznamejsi je kurs Linear Algebra prof. Gilberta Stranga na MIT
Jiny kurs je na serveru Educator.com
Pan Tuma nezastira svoji inspiraci kursem Introduction to Linear Dynamical Systems prof. Stevena Boyda na Stanford University

Volne dostupne zdroje anglicky
- Pekna je kniha Jima Hefferona
- Kurs linearni algebry na University of California in Davis najdete zde
- Vice numericky zamerena je kniha C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM 2000. Ke stazeni zde
- Databaze odkazu na vsechno mozne o linearni algebre je zde.
Volne dostupne zdroje cesky
- Na strankach pana Slovaka je ucebnice a resene priklady.
- Motl, Zahradník: Pestujeme linearni algebru
- Vyborny, Zahradnik: Pouzivame linearni algebru
Dalsi knihy
- T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer Verlag London,2002,
- S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E.Spence, Linear Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., 1997
- L. Bican, Linearni algebra a geometrie, Academia, Praha 2000.
- J. Becvar, Vektorove prostory I, II, III, SPN Praha 1978, 1981, 1982.
- J. Becvar, Sbirka uloh z linearni algebry, SPN Praha 1975.
- L. Bican, Linearni algebra, SNTL Praha 1979.
- L. Bican, Linearni algebra v ulohach, SPN Praha 1979.