Analytická geometrie

Důkaz provedeme v rovině, protože je názornější, v prostoru by se postupovalo obdobně.

Jestliže u = o, pak z definice plyne, že ku = o, tedy pro libovolné reálné číslo k je ku = o = (0; 0) = (k∙0; k∙0).

Je-li u ≠ o, u = (u1; u2) = B - A pro nějaké A[a1; a2], B[b1; b2]. Z definice je ku = C - A pro nějaké C[c1; c2], pro které platí:

1. |AC| = |k|·|AB|.
2. Je-li k ≥ 0, leží bod C na polopřímce AB; je-li k < 0, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB.

Zvolme si takové umístění vektoru u, že bod A bude ležet v počátku námi volené kartézské soustavy souřadnic (souřadnice vektoru nezávisí na volbě jeho umístění).

1. k ≥ 0

   Situace vypadá následovně:

   

   Obrázek k důkazu

   Z podobnosti trojúhelníků ABB' a ACC' na obrázku plyne, že

   • |c1| = |k|⋅|b1|, (i)
   • |c2| = |k|⋅|b2|. (ii)

   Podle toho, v jakém kvadrantu se nachází bod B, mohou nastat 4 možné případy. V každém případě se ale bod C bude nacházet ve stejném kvadrantu a znaménka u x-ové nebo y-ové souřadnice budou pro oba body stejné. Zpracováním rovnic (i) a (ii) získáme následující:

   b1 < 0, c1 < 0	b1 ≥ 0, c1 ≥ 0	b2 < 0, c2 < 0	b2 ≥ 0, c2 ≥ 0
   -c1 = |k|(-b1) -c1 = |k|(-b1) /(-1) c1 = kb1 [protože k ≥ 0] c1 = kb1 c1 = ku1	c1 = |k|b1 c1 = kb1 [protože k ≥ 0] c1 = kb1 c1 = ku1	-c2 = |k|(-b2) /(-1) c2 = |k|b2 c2 = kb2 [protože k ≥ 0] c2 = kb2 c2 = ku2	c2 = |k|b2 c2 = kb2 [protože k ≥ 0] c2 = kb2 c2 = ku2

   Bez ohledu na umístění bodu B platí ku = (ku1; ku2).

2. k < 0

   Teď situace vypadá trochu jinak:

   

   Obrázek k důkazu

   Z podobnosti trojúhelníků ABB' a ACC' na obrázku znovu plyne, že

   1. |c1| = |k|⋅|b1|, (iii)
   2. |c2| = |k|⋅|b2|. (iv)

   Podobně jako v předchozím případě, i nyní mohou nastat 4 možné případy v závislosti na poloze bodu B. Bod C se vždy bude nacházet v kvadrantu protilehlém a pro jeho souřadnice platí, že mají opačné znaménko než souřadnice bodu B. Zpracováním rovnic (iii) a (iv) získáme:

   b1 < 0, c1 > 0	b1 ≥ 0, c1 ≤ 0	b2 < 0, c2 > 0	b2 ≥ 0, c2 ≤ 0
   c1 = |k|(-b1) c1 = |k|(-b1) c1 = -k(-b1) [protože k < 0] c1 = kb1 c1 = ku1	-c1 = |k|b1 -c1 = (-k)b1 [protože k < 0] c1 = kb1 c1 = ku1	c2 = |k|(-b2) c2 = (-k)(-b2) [protože k < 0] c2 = kb2 c2 = ku2	-c2 = |k|b2 -c2 = (-k)b2 [protože k < 0] c2 = kb2 c2 = ku2

   Tedy ku = (ku1; ku2) i pro k < 0.